【word】 利用解微分方程求幂级数的和函数
利用解微分方程求幂级数的和函数
解题技巧与方法
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◎孙艾明(南京信息工程大学滨江学院210044)
【摘要】本文介绍了三种相关微分方程的解法,并介绍
这三种微分方程在求幂级数的和函数中的应用.
【关键词】幂级数;和函数;微分方程
一
,几种相关微分方程的解法
1.?阶线性微分方程的解法
形如半+P()Y=Q()的方程,我们称之为一阶线性
微分方程,其中’(),p()为已知函数.当9()=o时称
为齐次方程,当p()?0时称为非齐次方程.
_
uy+P()y=o可用分离变量的方法得到通解:
一()ti
y(一eJ-
半+P()Y=Q()口T用常数变易法得到通解:
,一elf()e.dx+CI.
2.阶常系数线性微分方程的解法
形奠【】Y”,)yqY=_厂()的方程我们称之为二阶常系数
线性微分方程,其中P,q为已知常数.当f()=0时称为齐
次方程;_厂()?0时称为非齐次方程.YPYqY=0的
通解可州如下方法得到:
第一步:写出微分方程的特征方程r+pr+q=0.
第步:求出特征方程的两个根r.,r1_
第i步:根据特征方程的两个根的同情况,写{微分
方程的通解,即
若r1?r2,rI,r2为实根,则通解为Y=C1e..+C2e;若
r1=r2,则通解为Y=(cl+C2)e..;若rl=+,r2=一
,则通解为Y=e(C1COS~X+C2sinflx).
Y”,JyqY=_厂(),当f(x)为指数数,多项式函数和
sinflx,”,s肛或它们的乘积形式时,可以根据这种函数形式
来推断Il;特解的形式,冉把形式解带人方程,确定解巾所含
的常数值,这种方法称为待定系数法.
_/)=eP()特解具有形式Q(x)e时,其中
(x)是P()同次的多项式,按A不是特征根,是单
特根或二重特征根依次取0,1,2.
当.八):e[P()COSO)X+P()sinoJx]特解具有形式
e[R()COS~X+R()sinwx]时,其中R(),R()是
m次多项式,m=max(f,n),按A+i?(A—ito)不是特征根
或是特根分别取0或1.
3.n阶常系数线性齐次微分方程的解法
彤如Y+PlY+…+PY+pY=0的方程,我仃J
称之为n阶常系数线性微分方程,其巾P,P,……P为已知
常数.Y+PIY+…+P一1YPnY=0的特方程为
rPr.+…prP=0
,根据特征方程的根(特征
根)的各种不同情况,写出微分方程的通解.详1].
二,利用解微分方程求函数项级数的和函数
例1求无穷级数的和函数5().
n!
解易求得级数的收敛半径R=+,当一..<<+..
时冷s)音,则s()音
S(),解得s()=Ce.又S(0):1,所以S()=e.
例2求无绷数裔忡s).
解易求得级数的收敛半径R=+..,当一<<+
令),),得
s()+s()=e,解得5():e(?e2+c).义s(.)=1,
得c=1
,
所以()=1(e+e).
例3求无旁级数),..帅n
解易求得级数的收敛半径R=+,当一..<<+
令s(x)()一.,则()=
(,s,『((_l高?
S()+S()=0,解得通解为S()=CCOSX+c2sinx.义
S(0)=0,S(0)=1,得C=0,C=1,所以S()=sinx.
例4抓糊数南帅s).
解易求得级数的收敛半径R=+..,一..<<+..
时冷s(测?,.,(
,从而5()+s()+s(戈):e,对应齐次斤样
的通解i[f=Tlt..s2-x+cc2sin.令S.,(小的通解y()=e一丁I.t,1.令”()+
s()+s()=e的特解为y=Ae带入得=了1,所以y=
?C,co+
/
2
3
x+了1e.
.所以丽x3n3e
{?
例5求无穷级数南帅函数5??
解易求得级数的收敛半径R=+..,当一<<+
时,令s()__.,逐项求导四次,得(s())
Z.a4n
寻4一,()!
(4n)!’
又S(0)=0,s(0)=0,stt(0),s(0)=0,解四阶常系
数线性微分方程s”‘()一s()=o,s(o)=s(o)=
s(0)=s(O)=O,得s(x)=1(e+e)1
?s,即
矗=1(ex+e-x)+丁1…
【参考文献】
[1]施庆生,许志成,朱耀亮,薛巧玲.高等数学.北京
高等教育出版社,2009.
数学学习与磅究2011{5
C
2—3
fI
C
得
0l3
=
SS
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