关于信号单边拉普拉斯变换与傅里叶变换关系的研究
关于信号单边拉普拉斯变换与傅里叶变换
关系的研究 第9卷第2期重庆科技学院(自然科学版)2007年6月 关于信号单边拉普拉斯变换与傅里叶变换关系的研究 褚言正t杨晓非白健民.
(重庆邮电大学,重庆400065;重庆工商大学,重庆400067) 摘要:在传统的信号与系统理论中,单边拉氏变换和傅氏变换关系存在瑕疵.文中
给出的单边拉氏变换和傅氏变
换关系的理论克服了传统理论的瑕疵.
关键词:拉普拉斯变换;傅里叶变换;单极点;重极点 中图分类号:0174文献标识码:A文章编号:1673-1980(2007)02—0ll4—02
设t)为有始信号,则)的单边拉氏变换凡
与)的傅氏变换)之间有一定联系.这种联系
依据)的拉氏变换R的收敛横坐标O-O的值不同 而分成三种情况:
(1)O-O>0,拉氏变换存在而傅氏变换不存在; (2)0<0,R=);
(3)o=0,(I?,但与)都
存在,且有一定的关系.
传统的理论在上述第(3)种情况下,即:当cr0=O 时,R与)之间关系的推导和表述存在瑕疵, 理论上不严谨.当o"0=0时,如何严谨地推导和表述 R与(『?)之间的关系便是笔者所做的工作. 1Oo=o时,FL(S)与FF0之间关系的传统理论 .=0时,FgS)与)之间的关系分为三种
情况.
(1)第一种情况
设位于S平面的轴上的极点都是单极点,共 有?个,其余极点都在轴左侧半平面上,则可写 为:
=+
毒(1)
右边第一项的极点都位于|s平面上轴左侧 半平面上,右边第二项表示有』v个单极点位于? 轴上.上式的拉氏反变换为:
N
)=))+?CkU(t)e(2)
再作傅氏变换:
N
[+一)]
Is
=
?+订?)(3)
(2)第二种情况
设S平面的轴上有一个n重极点,其余极点 都在轴左侧半平面上,则EL(sll可写为: =
Fo(S)+南
注意到拉氏变换公式:
)一
公式(4)的拉氏反变换为:
))+cU(t)e(5)
注意到傅氏变换公式:
f)+可)
公式(5)的傅氏变换为:
):Fo(S)Js_
_
+o+
c
,
+
裔V.)I,??0J.
=
孟6
=
I+c订兰.)(6)
(3)第三种情况
设S平I]]jl~Jjto轴上有?个极点,它们分别是 收稿日期:2007—01—21
作者简介:褚言正(1954一),男,山东枣庄人,副教授,主要研究方向:数学,力学.
?
114?
褚言正,杨晓非,白健民:关于信号单边拉普拉斯变换与傅里叶变换关系的研究
鲰:L婀写堋+雏(S-joJ~)])=+?(7)(S-go~)'上式的拉氏反变换为:
式(7)右边第一项f5)的极点都位于S平面上轴f-l 左半平面上.其氏反变换为:(,))+c^) N.-1
=
fo(t)U(t)+c^
再作傅氏变换:
(13)
(14)
(8)再作傅氏变换:
仃?)=(S)I+
N
Zc,,l-I
)=EL(S)I+Nc,n~-I")(9) 2对传统理论的改进
我们认为.上述推导从第二种情况开始便出现 瑕疵.设S平面的轴上有一个n重极点,其余极 点都在j轴左侧半平面上,公式(4)的正确写法为: EL(S):Fo(S)++—+……+
)(s--j~.)(5-=.) 即:
=+
?—__『(10)
h(5.)
拉氏反变换后为:
At)=(,)u(t)+;c』u(tV1tt-(11)=(,))+c』(11)=1J:
再作傅氏变换:
G(iro)=Fo(S)ls+ 毫[南)]
=
IG兰.)(12)
再看第三种情况:
设S平面的轴上有,,,个极点,它们分别是 重极点,其余极点都在.
轴左侧半平面上,公式
(7)的一般形式应修改为:
=
FoIs和+
雏…
1
.,
-+
斋l-I】)
N,?,
1l1
击l+=I=r.—,1J
l
仃
缸)}
即:)=?I+
上
q-1)!)]
3结语
传统理论在tro=0的情况下,与()之间
关系的理论存在瑕疵.尽管这种瑕疵并不影响计算
结果,但从数学的角度看,理论是不完善的.本文所
提出的单边拉氏变换与傅氏变换的转换关系在理论
上更严谨.
参考文献
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[2】刘永健信号与线性系统[M】.北京:人民邮电出版社,1994. [3】沈元隆,周井泉.信号与系统口北京:AE邮电出版社,20o3. [4】姜建国,曹建中,高玉明.信号与系统分析基础[M】.北京: 清华大学出版社.1994.
OnRelationshipbetweenSingleSideLaplaceTransformation
andFourierTransformation CHUYan-zhendYANGXiao-feiBAIJian—rain
(1.ChongqingUniversityofPostsandTelecommunications,Chongqing400065;2.Chongq
ingTechnologyand
BusinessUniversity,Chongqing400067) Abstract:Intraditionaltheoryofsignalandsystem,therelationshipbetweensinglesideLapla
cetransformation
andFouriertransformationexistsfaults.Thetheoryfromthispaperovercomesthesefaults. Keywords:Laplacetransformation;Fouriertransformation;simplepole;heavypole ?
】】5?
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