浙江省2002年4月高等教育自学考试
初等数论
试题
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参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
课程代码：10021
一、填空题(每小题4分，共40分)
1. 819 96
2. 5
3.
4. x≡14， 47， 80(mod99)
5. x=17+67t, y=5+28t, t∈Z
6. 499
7. 29
8.π(x)～
9. 0，1，3，4，5，9
10. -1
二、计算题(第1小题7分，第2，3小题各8分，共23分)
1.等价于
因(15，16)=1，(15，50)｜(14－4)，（16，50）｜（14－10）
故方程组有解，且等价于
列表计算如下
mi Ci Mi Mi′ CiMiMi′
3 1 400 1 400
16 10 75 3 2250
25 14 48 12 8064
得解x≡1114（mod1200）
2.显然
是整数，设此数为k，则
x=
， k∈Z
于是 ［
］=k
故 ［
-k］=0
从而 0≤-3k+8＜10
解得
＜k≤
， 于是k=0，1，2，
x=
,
, 33.方程x3-2x+12≡0（mod3）有一解x
0(mod3)
故x=3t1, f(x)=x3-2x+12, f′(x)=3x2-2
f(0)=12, f′(0)=-2
解12-2·3t1≡0(mod32)， 得t1≡2(mod3)
t1=2+3t2， x=6+32t2
f(6)=216,f′(6)=106，解
216+106·32t2≡0(mod33)
t2≡0(mod3)，故
t2=3t3，x=6+33t3
再解216+106·33t3≡0(mod34)
即8+t3≡0(mod3)
得t3≡1(mod3),故
t3=1+3t4， x=33+34t4
原方程的解为x≡33(mod81)
三、论证题(第1、2题各8分，第3题10分，第4题11分，共37分)
1.若n不是素数，则可设
n=ab,a＞1， b＞1
则2n-1=(2a)b-1, 记2a=c, 则c≥4
2n-1=cb-1,
=(c-1)(cb-1 +cb-2 +…+c+1)
显然c-1＞1，而后一式中有b-1≥1，故
cb-1 +…+c+1≥c+1＞1
这就表明2n-1可分解为两个大于1的整数之积
此与2n-1是素数矛盾，故n必是素数
2.欧拉定理：若(a,m)=1,则
证：设
x1,x2,…,x
(1)
是模m的一个简化剩余系，则
ax1,ax2,…,a
(2)
也是模m的简化剩余系
因而(2)的每一个数，与且仅与(1)中的一数关于模m同余，故
ax1·ax2…a
≡x1x2…
(mod m)
即
x1x2…
≡x1x2…
（mod m）
但(xi,m)=1, i=1,2,…,
,故
(x1x2…
,m)=1
于是可从同余式两边除去x1x2…
，得
3.改写为
2Z=x2y+1-1
=(x-1)(x2y+…+x+1)
由原方程知x≠1, 2｜x,故x≥3，上面第二个因式
x2y+…+x+1共有2y+1项，每项都是奇数，因而是一个大于1的奇数，于是产生了大于1的奇数整除2Z的矛盾，故方程无正整数解。
4.已知
20022002＜(211)2002=213·11·154＜(104)1694
=106774
故20022002至多有6774位数字，于是
f(20022002)≤9·6774=60984
进而
f(f(20022002))≤5+9·4=41
f(f(f(20022002)))≤3+9=12
另一方面，由Euler定理得
20022002≡42002 ≡46·333+4≡44 ≡4(mod 9)
而f(a)≡a(mod 9)，故
f(f(f((20022002)))≡f(f(20022002))
≡f(20022002)≡20022002≡4(mod9)
这样f(f(f(20022002)))既要小于12，又要关于模9同余于4，此范围内只有一个数4，因而
f(f(f((20022002)))≡4
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