数学专业论文范文

关于无穷积分的求法 1111，数学与计算机科学学院 摘  要：无穷积分是微积分学中广义积分的一种类型，是积分知识的一个难点内容.本文主要介绍了无穷积分的计算方法：牛顿—莱布尼兹公式（直接积分法），换元积分法，分部积分法，拉普拉斯（Laplace）变换求解无穷积分，用留数计算方法求无穷积分和一些特殊积分的求法.这些求法在计算过程中可以使积分的计算大大简化，而且为定义不能解决的无穷积分算法提供了思路. 关键字：无穷积分；牛顿—莱布尼兹公式；拉普拉斯（Laplace）变换 About inwersion formule proving 1111, School of Mathematics and Computer Science Abstract: Infinite integral is a type of improper integral in calculi, and it is also a difficult point in integral. The paper mainly introduces the calculating of infinite limited integral calculus direct integration ,change factor of integration, subsection integration, Laplace transform integration, apple residue theorem integration and give a evaluation formula for a special class of infinite integrals. These methods in the calculation process can be greatly simplified integral calculation and provide a way for the algorithm of infinite integral which the definition cannot be solved. Key words: integration for infinity; Newton-Leibniz formula; Laplace transform integration 引言 在讨论定积分时有两个基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中，往往需要突破这些限制，把积分区间从有限推广到无限区间，形成了无穷广义积分.同时无穷积分是微积分学中广义积分的一种类型，是积分知识的一个难点内容.无穷积分在平常的应用中涉及面比较广，但对其的计算往往成为一个难点. 本文从基本方法引入，结合了分部积分法和换元积分法，给出了其他几种积分方法.当无穷积分的被积函数不存在初等函数的原函数时，我们无法或不方便利用基本算法求它们的值，却可以利用其他的方法，如拉普拉斯（Laplace）变换法，用留数计算法和一些针对特殊积分的方法等.这些方法是初等方法的补充，具有很大的实用价值.当然，无穷积分的计算方法还有很多，以上几种方法适用于不同的情况，也有其局限性，但是它们对于那些用除等方法难以解决的适当类型的无穷限积分有很好的应用. 主要内容 定义 1 设函数 定义在无穷区间[ , 上，且在任何有限区间 ， 上可积.如果存在极限 ,                                                则称此极限 为函数 在[ , 上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作 , 并称 收敛. 性质 1设 、 在[ , 可积，那么 也在[ , 可积，并且 . 1  基本方法 ①牛顿—莱布尼兹公式（直接积分法） 定理 1 设 是 在[ , 的一个原函数（即当 时， ）且极限 存在极限，则 收敛，且有公式 ， ， . 例1 求无穷积分 的值. 解法（一）利用定义求值 法（二）直接积分法 显然法一比法二简便.在题中 ，且极限 存在极限，即满足定理1的条件，由性质1得 ，再由定理1得出最终结果. ② 换元积分法 定理 2 设 在 上连续，做代换 ，其中 在闭区间 上有连续导数 ，当 时， ，且 ，则 . 例2求无穷积分 的值. 解 设 ，则 ，当 时， ；当 时， 于是      在此题中， 在 上连续， ，且当 时， 则由定理2得 ，然后计算可得结果. ③ 分部积分法 性质 2 设 、 、 、 在 上连续，如果下面的等式中有两项存在，则第三项也存在，且 . 性质2对于区间 、 上的无穷积分同样成立 例3求无穷积分 的值. 解 现将原式做个变换 ，此时满足性质2的条件，且 ， ， ， ，代入性质4的公式中即得结果. 除了掌握用基本方法求解无穷积分，还应讨论一些特殊类型的无穷积分的求解方法. 2  拉普拉斯（Laplace）变换求解无穷积分 定义2 设函数 当 时有定义，而且积分 （ 为一复参数）在 的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数可写为 称此式为函数 的Laplace变换（简称为拉氏变换式），记为 . 定理 3  若 ， 在 上解析，且 收敛，则： 存在，且 例4 计算无穷积分 其中 为第一类零阶Bessel函数 解 因 ，所以由位移性， ， 且由定理3，得： . 定理 4（象函数的积分性质） 若 ，且积分 收敛，则： 例5 求 的值. 解 令 ，且 ，则由定理4得 若积分 存在，令 中的 ，有 ，故可得 . 定理 5设 ，且 与 皆收敛，则 = . 例6 计算无穷积分 的值. 解 因 ，所以由定理5，得： . 此题中 ， ，且 与 都收敛，则由定理5,得 . 以上方法利用了Laplace变换，因此必须满足Laplace变换存在定理，并且只限于求积分 时的情形.主要原因是受到Laplace变换定义的约束，这也是这几种方法的局限之一. 3  用留数计算方法求无穷积分 留数定理计算积分，众多教材都有相关介绍。对于无穷积分，被积函数 在实轴上有有限个极点的情况，文献[6]中的定理的描述时比较全面的： 定理 6 如果 为 的一级极点，那么 . 定理 7 设有理函数 中分母的次数至少比分子的次数高二次，且复变函数 在实轴上无奇点，则积分 存在，且， 其中 为 在上平面内的极点. 例7计算无穷积分 . 解 由定理6知 同理 由定理7，知 . 此题中 有一级级点： ，其中 与 在上半平面内，由定理6得到 ,又它的分母次数是4，分子次数是2，且在实轴上无奇点，满足定理7的条件，得 ，继续计算可得结果. 定理 8 设 是分母的次数至少比分子的次数高一次有理函数，且在实轴上无奇点，则积分 存在，且 . 例8计算无穷积分 的值. 解 因 ，所以 ，又 在上半平面内只有一个一级极点 ，且 故由定理8，得： 所以 . 题中 在上半平面内只有一个一级极点，可由定理6得： ，又 分母次数是2，分子次数是0且在实轴上无奇点,则由定理8得到 . 4  一些特殊积分的求法 ① 求形如 的无穷积分值 定理 9  若函数 在 上连续、有界， 存在，且无穷积分 收敛，则有下列积分公式： 例9计狄利克雷积分 的值. 解 已知积分 收敛，当 时， 连续，且 ，又当 ， 因此， . 题中形式很明显， ，直接代入定理9的公式中，是计算简便很多. ② Possion积分 注意到广义含参变量无穷积分 ，当 时所对应的广义积分就是Possion积分 . 算法1 利用广义含参变量无穷积分积分号下的求导定理 可先利用广义含参变量无穷积分积分号下的求导定理求出广义含参变量无穷积分，然后将 代入，既得Possion积分 的值. 先计算积分 （其中 ， ） 令 则 因为 1） ， 在右半平面连续； 2） 在 上的点收敛； （事实上，在右半平面上有 ，且 收敛） 3） 在 上一致收敛. （事实上，在右半平面上有 且 收敛） 故由积分号下的求导定理得 = = 于是 即 两端积分得 即 又 故 将 代入，就得到Possion积分 的值. 算法2  利用广义重积分 注意到在区域 上二重积分 与在区间 上定积分 有如下关系： 故可以利用无界区域 上的广义重积分 的计算来求Possion积分 的值. 先计算无界区域 上的广义重积分 . 设 是以原点为圆心以 为半径的圆与 的交集，因 ，所以二重积分 的值随着 的增大而增大.由于 所以 故广义重积分 收敛，且 又由 及二重积分的性质知 令 ，则得 所以 ③ 无穷区间 上奇、偶函数的广义积分的简便算法 关于奇、偶函数的定积分有如下结论： 1）若 在 上连续且为偶函数，则 2）若 在 上连续且为奇函数，则 . 此结论给我们计算定积分带来了一定的方便，那么在广义积分中也存在类似的结论： 定理 10若 在 上连续且为偶函数，当 收敛时， ；当 发散时， 发散. 例10求无穷积分 的值. 解 被积函数 为 上连续的偶函数.且 即收敛，由定理10有 ，随即可算出结果. 定理 11 若 在 上连续且为奇函数，当 收敛时， ；当 发散时， 发散. 例11求无穷积分 的值. 解 因为被积函数 为奇函数，并且 即 在 可积， 所以  =0. 题中被积函数是奇函数，且 上收敛，满足定理11的条件，从而有 =0. 参考文献 [1] 华东师大数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001. [2] 程其襄.数学分析[M].高等教育出版社，第2版. [3] 陈传璋等.数学分[M].北京：高等教育出版社，1983.47. [4] 南京工学院数学教研组.积分变换[M].北京：高等教育出版社，1982. [5] 南京工学院数学教研组.积分变换[M].北京：高等教育出版社，1985. [6] 西安交通大学数学教研室，复变函数[M].高等教育出版社，1986. [7] 刘玉琏，付沛仁.数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社,1981.