[中学]三角函数 三角恒等变换知识点总结

[中学]三角函数 三角恒等变换知识点 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 苏教版必修4 三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制, (1)在直角坐标系内讨论角: 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的x 角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 0(2)?与角终边相同的角的集合:,{,|,,360k，,,k,Z}或{,|,,2k,，,,k,Z} 与角终边在同一条直线上的角的集合: ;, 与角终边关于轴对称的角的集合: ;,x 与角终边关于轴对称的角的集合: ;y, 与角终边关于轴对称的角的集合: ;y,x, ?一些特殊角集合的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示: 终边在坐标轴上角的集合: ; 终边在一、三象限的平分线上角的集合: ; 终边在二、四象限的平分线上角的集合: ; 终边在四个象限的平分线上角的集合: ; (3)区间角的表示: ?象限角:第一象限角: ;第三象限角: ; 第一、三象限角: ; ?写出图中所表示的区间角: y y x x O O (4)正确理解角: oo要正确理解“间的角”= ; 0~90 “第一象限的角”= ;“锐角”= ; o“小于的角”= ; 90 ,(5)由的终边所在的象限，通过 来判断所在的象限。,2 ,来判断所在的象限 3 (6)弧度制:正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零;任一 ll||,,已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，,,r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 r (7)弧长公式: ;半径公式: ; 扇形面积公式: ; 二、任意角的三角函数, (1)任意角的三角函数定义: 以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个,,x sin,,P异于原点的点，点到原点的距离记为，则 ; ;cos,,P(x,y)r tan,,cot,, ; ; ; ;sec,,csc,, cos,，2sin,, 如:角的终边上一点，则 。注意r>0,(a,,3a) (2)在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线; , y y y y a a x a x x a O O O O ,sinxtanxx,(0,)x比较，，，的大小关系: 。2 (3)特殊角的三角函数值: ,,,,,3 ,,0 26432 sin , cos , tan, cot, 三、同角三角函数的关系与诱导公式, (1)同角三角函数的关系 商数关系 倒数关系 ,平方关系 tan?cot=1 sin, =tan ,11cos,2222 sin+ cos=1， 1+tan=， 1+cot= ,,,22cossin,, 作用,已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 (2)诱导公式: 2k,，,,,: ， ， ; : ， ， ;,，,,, : ， ， ;,,,, : ， ， ;,,,,, 2,,,,,: ， ， ; ,,,,,: ， ， ;2 ,，,,,: ， ， ;2 ,3,,,,: ， ， ;2 ,3: ， ， ;，,,,2 诱导公式可用概括为: ,,32K?,-,?,?,?的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数,,22 作用,“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路,即 利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负,利用三角函 oooo数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0,360)或[0,180)内的三角函数 ——脱周,利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐. (3)同角三角函数的关系与诱导公式的运用: ?已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。 注意:用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以 讨论。 ?求任意角的三角函数值。 步骤: oo公式三、一 公式一 任意负角的 任意正角的 0~360角的 公式二、 三角函数 三角函数 三角函数 四、五、 六、七、 oo0~90角的 八、九 求值 三角函数 ?已知三角函数值求角:注意:所得的解不是唯一的，而是有无数多个( 步骤: ?确定角,所在的象限; ,?如函数值为正，先求出对应的锐角;如函数值为负，先求出与其绝对值对1 ,应的锐角; 1 0~2,,?根据角所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限; ,,,,，,2,,,则它是;如果在第三或第四象限，则它是或;111 ?如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有 角的集合。 ,3sin,,tan,,m如，则 ， ; ;sin(,,),cos,,2 ,15_________。 cot(,,),2 注意,巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度,,3，4，5,,,6，8，10,,,5，12，13,, ,8，15，17,, 四、三角函数图像和性质 1,周期函数定义 定义 对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当取定义域内的每一个xfx() T值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数fxTfx()()，,fx() 叫做这个函数的周期( 请你判断下列函数的周期 y,cosxy,sinxy,|cosx|y,cos|x| y=tan x y=tan |x| y=|tan x| y,|sinx|y,sin|x| k,(x，)例 求函数f(x)=3sin (的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大k,0)53 于1 注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数 f(x),c(c为常数)是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期( 任意的x,R f(x，k),f(x,k) 结论:如函数对于,那么函数f(x)的周期T=2k; 任意的x,Rf(x，k),f(k,x)如函数对于,那么函数f(x)的对称轴是 (x，k)，(k,x) x,,k2 2(图像 3、图像的平移 对函数y,Asin(ωx，,)，k (A,0, ω,0, ,?0, k?0),其图象的基本变换有: (1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的(A,1,伸长;A,1,缩短( (2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的(ω,1，缩短;ω,1,伸长( (3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变化引起的(,,0,左移;,,0，右移( (4)上下平移(纵向平移变换): 是由的变化引起的(,0, 上移;,0,下移kkk 倍角公式 四、三角函数公式, sin2=2sin?cos ,,, 22两角和与差的三角函数关系 cos2=cos-sin ,,, 22=2cos-1=1-2sin ,,sin()=sin?coscos?sin ,,,,,,,, ,2tan,tan2, 21,tan,cos()=cos?cossin?sin ,,,,,,,, ,,tan,tan ,, tan(,),半角公式 积化和差公式 1,tan,,tan, 11cos1cos,,,,，, sin?cos=[sin(+)+sin(-)] ,,,,,, sincos,,,,， 2 2222 1 cos?sin=[sin(+)-sin(-)] ,,,,,,2,,,,1,cos1,cossin tan,,,= 1 sin,1，cos,21，cos,cos?cos=[cos(+)+cos(-)] ,,,,,,2 1 sin?sin= -[cos(+)-cos(-)] ,,,,,,升幂公式 2 ,22cos1+cos= ,和差化积公式 2 ,，,,,,,2 2sincos2sinsin+sin= 1-cos= ,,, 222 ,，,,,,,, 2 2cossinsincos,sin,-sin= 1?sin,=(),2222 22,，,,,,1=sin,+ cos, 2coscoscos,+cos=, ,,22 2sincossin,= ,，,,,,22 2sinsin,cos-cos= -, 降幂公式 22 121cos2,, 2,,,,,tan+ cot= sin sin,,cos,sin2,2 1cos2，,,,,tan- cot= -2cot2 2,,cos ,2 22cos,1+cos= 22,,sin+ cos=1 2 1,233sin2,,,sin?cos= 2sin,1-cos= sin3,,3sin,,4sin,cos3,,4cos,,3cos,三倍角公式:;;22 ,,2sincos,,1?sin=() 22 五、三角恒等变换, 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵 活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能(常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角 之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使 问题获解，对角的变形如: ,,,,32,4,2,3,?是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二,,2224 ,,,,倍;是的二倍;,2,是,,的二倍。 4362 o30,,ooooo1545306045?;问:sin, ;cos, ;,,,,,12122 ,,,，,,,(,,)?;?; ,,(,，,),,424 ,,,2,,(，,)，,(,,),(，,),(,,)?;等等 44 (2)函数名称变换:三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是 基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常 数“1”的代换变形有: 2222oo1,sin,，cos,,sec,,tan,,tan,cot,,sin90,tan45 (4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的 方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对，有时需要 1，cos,升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式 有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 ,,1，tan1,tan,_______________,______________ 如:; ;,,1,tan1，tan tan,，tan,,____________1,tan,tan,,___________;; tan,,tan,,____________1，tan,tan,,___________;; 22tan,, ; ;1,tan,, oooo ; tan20，tan40，3tan20tan40, sin,，cos,, = ; asin,，bcos,, = ; (其中 ;) tan,, 1，cos,,1,cos,, ; ; )三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手; (6 基本规则是:切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有 理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。 ootan,,cot,,如: ; ;sin50(1，3tan10), 24,,,coscoscos, ; 999 35,,,cos，cos，cos, ;推广: 777 246,,,cos，cos，cos, ;推广: 777