27-空间向量运算的坐标表示
3.1.5空间向量运算的坐标表示
教材分析
本节内容是数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何第五节 空间向量运算的坐标表示，本小节是在
介绍了空间向量的正交分解的基础上，通过类比平面向量的运算，从二维平面拓展到三维空间.完成了从
几何运算到代数运算的转换.
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解用空间向量的坐标表示平行,垂直,模与夹角的问题,为下一
步解决空间几何问题打下基础.
教学目标
重点:空间直角坐标系，空间向量的坐标表示.
新疆王新敞奎屯难点:空间向量的坐标的确定及运算
知识点:掌握空间向量坐标运算的规律
能力点:用空间向量解决简单的立体几何问题.
教育点:用类比的方法研究空间向量问题.
自主探究点:用空间向量基本定理研究空间几何问题.
考试点:证明平行与垂直,求角和距离.
易错易混点:基底和坐标系的选取与使用.
拓展点:求平面的法向量.
教具准备 多媒体
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课堂模式 学案导学
一、 引入新课
(1)复习平面向量的坐标运算
新疆王新敞奎屯1平面向量的坐标表示
新疆王新敞奎屯 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，yxa
ji有且只有一对实数、，使得=+ yyxax
(x,y),(,)xy把叫做向量的(直角)坐标，记作 aa
其中叫做在轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标， 特别地， xaxa
新疆王新敞奎屯,(1,0),(0,1),(0,0)ji ， ， 0
2(平面向量的坐标运算
b若， ，则 ,(,)xy,(,)xya2211
ab，(1) ， ,(x，x,y，y)1212
1
ab,(2) ， ,(x,x,y,y)1212
新疆王新敞奎屯,(,),,xy,(3) a
ab,,(4) abab，1122
(5)a?b (b,0)的充要条件是xy-xy=0 1221
ab,(6) ,xx，yy,01212
22(7) ||()()axxyy,,，,1212
abab，1122ab,(8)cos,,, 2222aabb，，1212
(2)复习空间向量坐标的定义
【师生活动】师:请同学们回顾一下空间向量坐标的定义,
ijk,,生:设是空间中三个两两垂直的向量,且有公共起点(对于空间任一向量,根据空间向量基本定理,p
xyz,,存在唯一的一个有序实数组使得 ,,
,，，xiyjzk,(,,)xyz ,记作 pp
b师:设,,请同学们根据坐标定义计算: ,(,,)bbb,(,,)aaaa123123
ab，,
ab,,
,a,
ab,,
【设计意图】 通过回顾空间向量的坐标的定义,引出本课题( 【设计说明】既空间向量坐标的定义,又自然地引出坐标运算的话题，类比平面向量，由二维空间推广到三
维空间.
二、探究新知
b师:,,表达了什么信息? ,(,,)bbb,(,,)aaaa123123
ijk,,生:(如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量， a
z则存在唯一的有序实数组，使 (,,),(,,)aaabbb123123
A(x,y,z),b， ,，，bibjbkaiajak，，a123123
kab，则， ,，，，(,,)ababab112233yOjiab,， ,,,,(,,)ababab112233x
2
,a， ,,(,,)(),,,,aaaR123
ab,， ,，，ababab112233
ab// ， ,,,,,abababR,,,,,,()112233
ab,( ,，，,ababab0112233
三、理解新知
(,)xy(,,)xyz与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而已即由变成了. [设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.
四、运用新知
新疆王新敞奎屯,,(2,3,5),,,(3,1,4)||ab，ab,8ab,b例1 已知，，求，，，，( aaa
,,，,,,,,(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab，解:，
,,,,,,,(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab,，
222,，,，,2(3)538||， a
,,,,8(2,3,5)(16,24,40)8， a
,,,,,,,(2,3,5)(3,1,4)29ab,(
[设计意图]让学生练习运用向量的坐标进行运算.
ab,,,,,(1,2,2),(2,4,4)cx,,(2,,4)例2(已知向量，(
b(1) 判断与的位置关系; a
|ac//(2) 若，求|; c
bc,(3) 若，求在方向上的投影. ca
ba,,,,,,,,(2,4,4)2(1,2,2)2ab// 解:(1),所以,;
24x,222？,,？,，，,,cc(2,4,4),||24(4)6;x,4,(2),得 ？ac//,？,,122,
？bcbc,？,,,0？,,,c(2,5,4)x,,5(3),得,,所以在方向上的投影为 ca
ac,,，2108 . ||cos,||0cacc,,,，,,||||3ac，
[设计意图]让学生练习两个向量平行与垂直的的向量坐标表示.
3
EF,例3(在正方体中，分别是的中点，求证平面( ADEABCDABCD,BBCD,DF,111111
Oxyz,证明:不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，如图建立空间直角坐标系， 1
1,,(1,0,0)则，， ADDF,,(0,,1)12
1， ADDF,,,,,,(1,0,0)(0,,1)012
?， ADDF,1
111又，， AEAEDF,,(0,1,),,,,(0,1,)(0,,1)01222
ADAEA:,?，， DFAE,1
所以，平面( ADEDF,1
[设计意图]运用坐标法解决空间几何中的线面垂直问题,让学生体会空间向量是解决立体几何问题的有效工具.
五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法,学生作答: 1(知识:空间向量的坐标运算(
2(思想:类比思想、数形结合的思想(
教师
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
: 本节课,我们从平面向量的坐标定义及坐标运算,运用类比的方法,结合上节课学习的平面向量基
本定理和空间向量坐标的运算,完成了由二维平面到三维空间的拓展,与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而
已.
[设计意图] 让学生充分认识到知识的发展过程,从整体上把握住本节的知识体系( 六、布置作业
1(阅读教材P95—96;
2.书面作业
必做题:P97 练习2,3. P98习题 7,8,9,10
选做题:如图，直三棱柱ABC,ABC的底面ABC中，CA,CB,1，?BCA,90?，棱AA,2，M、N分1111别是AB、AA的中点( 111
?(1)求BN的模;
(2)求异面直线BA与CB所成角的余弦值; 11
(3)求证:AB?CM. 11
七、教后反思
1.先复习平面向量的坐标定义及其运算，用类比的方法由二维平面直接到三维空间;
4
2.教会学生准确的选择基底，用空间向量基本定理解决空间几何的线面关系; 3. 教会学生准确的建立坐标系，用空间向量坐标解决空间几何的线面关系;
八、板书设计
3(1(4空间向量的正交分解及其坐标表示 复习 例1 例2 例3
拓展
作业
5
浙公网安备 33021202002483