2004年湖南高考数学真题

2004年湖南高考数学真题 2004年高考试题湖南卷数学试题(理工类) 第?卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项最符合题目要求的。 14(1)复数的值是 (1)，t 4t,4t(A) (B) (C) (D) 4,4 22xy(2)如果双曲线,,1上点P到右焦点的距离等于，那么点P到右准线的距离是 131312 135(A) (B)13 (C)5 (D) 513 ,,11,1fab(),(3)设是函数的反函数，若，则的值是 [1()][1()]8，，,fafbfxx()log(1),，fx()2 3(A) (B) (C) (D) 12log32 (4)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点且当棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的度数为 ,,,,90604530(A) (B) (C) (D) (5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为?;在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为?。则完成?、?这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A)分层抽样法，系统抽样法 (B)分层抽样法，简单随机抽样法 ( (C)系统抽样法，分层抽样法 (D)简单随机抽样法，分层抽样法 2,xbxcx，，,0,„fff(4)(0),(2)2,,,,,fxx(),(6) 设函数若，则关于x的方程的个数为 fx(),,2,0. x,, 3(A) (B) (C) (D)4 12 ab,,0,0(7)设，则以下不等式中不恒成立的是 1133222||abab,,…(A) (B) (C) (D) abab，…2abab，，，222…()()4ab，，…ab 16*lim()aaa，，,,,，,aaan,，,,a,,N(8)数列中，，则 ,,12nnnn，11n，1,n055 2214(A) (B) (C) (D) 57425 Uxyx,,,{(,)|R,yR}Axyxym,,，,{(,)|20}Bxyxyn,，,{(,)„0}(9)设集合，，，那么点 的充要条件是 PACB(2,3)(),:U mn,,,1,5mn,,,1,5mn,,,1,5mn,,,1,5(A) (B) (C) (D) (10)从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为 (A)56 (B)52 (C)48 (D)40 (11)农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元)，预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于 (A)4200元~4400元 (B)4400元~4600元 (C)4600元~4800元 (D)4800元~5000元 fx()gx()fxgxfxgx?()()()()0,,x,0(12)设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当时，且g(3)0,,fxgx()()0,。则不等式的解集是 (3,0)(3,),,:x(3,0)(0,3),:(,3)(3,),,,xx:(,3)(0,3),,x:(A) (B) (C) (D) 第?卷 二、填空题:本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 a,(cos,sin),,,|2|ab,(13)已知向量向量则的最大值是 。 b,,(3,1), ,,0E,,(14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示结果中没有正面向上，则 。 13n(15)若的展开式中常数项为84，则 。 x，()n, xx 22xy，,1(16)设F是椭圆，且椭圆上至少有21个不同的点，使组Pi(1,2,3,),,,,||,||,||,FPFPFP,,,112376 成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 。 三、解答题:本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17)(本小题满分12分) ( ,,,,122sintancot1,,,，,,已知，求的值。 ，,,, sin(2)sin(2),(,),,,,44442 (18)(本小题满分12分) 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是 11一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、乙两台机床412 2加工的零件是一等品的概率为。 9 (?)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (?)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率。 (19)(本小题满分12分) ,PABCD,中， 如图，在底面是菱形的四棱锥PB,，,,,ABCPAACa60,, P ，点E在PD上，且PE:ED=2:1。 PDa,2 PAABCD,平面(?)证明; E ,(?)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小; A D C B (?)在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC,证明你的结论。 (20)(本小题满分12分) 2axae„0,已知函数，其中为自然对数的底数。 fxxe(), fx()(?)讨论函数的单调性; fx()(?)求函数在区间[0，1]上的最大值。 (21)(本小题满分12分) 2Pmm(0,)(0),如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点Pxy,4 关于原点的对称点。 ,,,,,,,,,,,,,,,, AB,(?)设点P分有向线段所成的比为，证明; QPQAQB,,(), xy,，,2120(?)设直线AB是方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处共同的切线，求圆C y A 的方程。 P B O x (22)(本小题满分14分) Q 111如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点，过点lPlykxkkk:1(0,) y ,，,,,,lyx: ,，1112222 作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线直线于点，过点作x轴的垂线交直线于点PQQlPPll11112222 x，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…。点的横坐标构成数列。 QPQPQPn(1,2,),,,,,,n21122n y 1*(?)证明; xxn,,,,1(1),Nnn，1k2 Q1 P2 l2x(?)求数列的通项公式; ,,n P 222(?)比较与的大小。 2||PP4||5kPP，n1Q 2P 3 x O P 1 l 1 2004年普通高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题参考答案 1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C 11.B 12.D 1113(4 14(0.75 15(9 16( [,,0),(0,]1010 ,,,,17(解:由 sin(，,2),sin(,2,),sin(，2,),cos(，2,)4444 ,111 ,sin(，4,),cos4,,,2224 15,,,得 又 cos4,,.,(,),所以,.,,2421222,,,sincos2cos2,,2于是 ,,,,,2sintancot1cos2cos2，,,,,，,,，sin,cos,sin2, 5535,, ,,(cos2，2cot2),,(cos，2cot),,(,,23),3.,,6622 18(解:(?)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 11,,P(A,B),,P(A),(1,P(B)),,? ,,44,,11,, 由题设条件有P(B,C),,即P(B),(1,P(C)),,,,? 1212,,22,,P(A,C),.P(A),P(C),.,,? 99,, 92 由?、?得 代入?得 27[P(C)],51P(C)+22=0. P(B),1,P(C)8 211P(C),或解得 (舍去). 39 112将 分别代入 ?、? 可得 P(C),P(A),,P(B),.334 112即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 ,,.343 (?)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 2315则 P(D),1,P(D),1,(1,P(A))(1,P(B))(1,P(C)),1,,,,.3436 5P故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 .6 19((?)证明 因为底面ABCD是菱形，?ABC=60?， 所以AB=AD=AC=a， 在?PAB中， 2222E由PA+AB=2a=PB 知PA?AB. 同理，PA?AD，所以PA?平面ABCD. (?)解 作EG//PA交AD于G， AG由PA?平面ABCD. D知EG?平面ABCD.作GH?AC于H，连结EH， HB,则EH?AC，?EHG即为二面角的平面角. C 123又PE : ED=2 : 1，所以 EG,a,AG,a,GH,AGsin60:,a.333 EG3tan,,,,,,30:.从而 GH3 (?)解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴， 建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为 3131zA(0,0,0),B(a,,a,0),C(a,a,0). 2222 21P D(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a).33 2131AE,(0,a,a),AC,(a,a,0).所以 3322 31EAP,(0,0,a),PC,(a,a,,a). F22 31DBP,(,a,a,a). A22 y31BPF,PC,(a,a,,a),其中0,,1,,,,,,设点F是棱PC上的点，则 C22x 3131BF,BP，PF,(,a,a,a)，(a,,a,,,a,) 2222 31,(a,(,1),a(1，,),a(1,,)). 令 BF,,AC，,AE 得 1222 ,33,,,(,1),,aa,1,,,,1,,221,,1124,,,,,,,,(1，),，,1，,，,aaa即 ,,12122233,, 11,,(1,,),,.1,,,,.aa22,,33,, 113131解得 即 时， ,,,,,,,,,.,BF,,AC，AE.,12222222 亦即，F是PC的中点时，、、共面. ACBFAE 又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC. , P解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下， 证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ? M1由 知E是MD的中点. EM,PE,ED,2 连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. ,EF所以 BM//OE. ? 由?、?知，平面BFM//平面AEC. 又 BF平面BFM，所以BF//平面AEC. D,A证法二 O11B因为 BF,BC，CP,AD，(CD，DP)C22 1313,AD，CD，DE,AD，(AD,AC)，(AE,AD)2222 31,AE,AC.22 所以 、、共面. ACBFAE 又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC. , ax,20(解:(?) f(x),x(ax，2)e. ,(i)当a=0时，令 f(x),0,得x,0. ,若上单调递增; x,0,则f(x),0,从而f(x)在(0,，,) ,若上单调递减. x,0,则f(x),0,从而f(x)在(,,,0) 2,(ii)当a<0时，令 f(x),0,得x(ax，2),0,故x,0或x,,.a ,若上单调递减; x,0,则f(x),0,从而f(x)在(,,,0) 22,若上单调递增; 0,x,,,则f(x),0,从而f(x)在(0,,)aa 22,若上单调递减. x,,,则f(x),0,从而f(x)在(,,，,)aa f(x)f(1),1.(?)(i)当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是 af(x),2,a,0(ii)当时，在区间[0，1]上的最大值是. f(1),e 24f(x)a,,2f,,(iii)当时，在区间[0，1]上的最大值是 ().22aae2y,kx，m,21(解:(?)依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 x,4y 2x,4kx,4m,0. ? 设A、B两点的坐标分别是 、、x是方程?的两根. (x,y)(x,y),则x211221 所以 xx,,4m.12 ,由点P(0，m)分有向线段所成的比为， AB ,x，xx121,,,0,即,.得 ，x1,2 又点Q是点P关于原点的对称点， QP,(0,2m)故点Q的坐标是(0，,m)，从而. QA,,QB,(x,y，m),,(x,y，m),(x,,x,y,,y，(1,,)m). 11221212QP,(QA,,QB),2m[y,,y，(1,,)m] 1222xxxxxx，4m112112,2m[，,，(1，)n],2m(x，x), 124x4x4x222 ,4m，4m,2m(x，x),,0. 124x2 QP,(QA,,QB).所以 ,2，12,0,xy,(?)由 得点A、B的坐标分别是(6，9)、(,4，4). ,2x,4y,, 1122,由 得 x,yy,x,y,x,42 2,y,3所以抛物线 在点A处切线的斜率为 x,4yx,6 222设圆C的方程是 (x,a)，(y,b),r, b,91,,,,,则 ab,3,2222,(a,6)，(b,9),(a，4)，(b,4)., 323125222解之得 a,,,b,,r,(a，4)，(b,4),.222 32312522所以圆C的方程是 (x，)，(y,),,22222 即x，y，3x,23y，72,0. 22((?)证明:设点P的坐标是，由已知条件得 (x,y)nnn 点Q、P的坐标分别是: nn+1 1111 (x,x，),(x,x，).nnn，1n2222 11由P在直线l上，得 x，,kx，1,k.n+11nn，122 11所以 即 (x,1),k(x,1),x,1,(x,1),n,N*.nn，1n，1n22k 111(?)解:由题设知 又由(?)知 ， x,1,,x,1,,,0,x,1,(x,1)11n，1nkk2k 1所以数列 是首项为公比为的等比数列. {x,1}x,1,n12k 111n,1n 从而x,1,,，(),即x,1,2，(),n,N*.nnk2k2k y,kx，1,k,,,(?)解:由得点P的坐标为(1，1). ,11y,x，,,22, 112222n2n,2PPxkxk所以 2||,2(,1)，2(，1,,1),8，()，2(),nnnkk22 1222222 4k|PP|，5,4k[(1,,1)，(0,1)]，5,4k，9.1k 11122|k|,,即k,,或k,(i)当时，>1+9=10. 4k|PP|，51222 12222而此时 0,||,1,所以2|PP|,8，1，2,10.故2|PP|,4k|PP|，5.nn12k 11122(ii)当时，<1+9=10. 0,|k|,,即k,(,,0),(0,)4k|PP|，5122212222而此时 ||,1,所以2|PP|,8，1，2,10.故2|PP|,4k|PP|，5.nn12k