杆系结构Ansys分析

杆系结构Ansys分析 第3章 杆系结构的有限元法 3(1连续梁问题的有限元法 为了对有限元位移法有一个粗略而又清晰的了解，我们通过连续梁来作为有限元法的入门向导。有限元法的基本步骤: 离散化——单元分析——整体分析——解方程——计算结果 我们首先按照这个步骤用位移法计算一个简单的连续梁，然后从中了解有限元位移法 的一些基本概念。 图3-1所示为一个连续梁，在铰接点处分别作用有力矩载荷，，求连续梁MMM312的内力。 图3-1受力矩载荷作用的连续梁 3(1(1离散化 在杆系结构中，因为各杆具有自然的划分，所以，进行杆系结构离散化划分单元，通常将每一个杆就取为一个单元，成为杆单元，记为e。图3-2所示的连续梁可划分为两个单元，分别称为单元?、?，各个铰接点称为节点，统一编码为l、2、3称为节点总码，而，M1 ，称为节点力矩载荷，如图3-2所示。 MM32 图3-2 离散化后的连续梁 3(1(2 单元分析 单元分析就是对已划分的单元进行力学分析，没有必要对每一个单元都进行分析，而只需要对一个典型单元进行分析即可。为此，任取一个单元e进行分析，首先对该单元的两个 eei,jm端点重新编码为称为局部码。在该单元的两个端点分别作用有和两个力矩，称为mji i,j杆端力矩。在这两个力矩的作用下杆发生变形，如图3-3所示，在节点处分别产生了转 ee,角和，称为节点转角。 ,ji 图3-3 连续梁单元分析 由力学只是可知: e1)当单元e仅在i点作用力矩时，如图3-4所示。 mi 1 e图3-4 单元仅在点作用力矩 imii,j在点的转角为 emlei, , (2-1) ii3EI emlei,,, (2-2) ji6EI l式中——杆长; ——弹性截面; E ——截面惯性矩。 I ejm2)当单元仅在点作用力矩时，如图3-5所示。 j ejm如图3-5单元仅在点作用力矩 j emlje,,, (2-3) ij6EI emlje,, (2-4) jj3EI eeeei,ji,j,m当单元的点同时作用有力矩和时，根据叠加原理，两点的转角和就m,jjii 应为1)，2)两种情况的叠加。 eemlmljeeei,，,,,,, (2-5) iiiij3EI6EI eemlmljeeei,，,,，,,, (2-6) jjijj6EI3EI将上述(2-5)，(2-6)写成矩阵形式为 lL，，ee,,m,,,,,,ii3EI6EI , (2-7) ,,,,,,Ll,mjj,,,,,,,6EI3EI，， 2 有 ee,m,,,,ii,1,,,f (2-8) ,,,,m,jj,,,,其中 11114EI2EI，，，，，，22,,,,,,1112EI,13EI6EI3EI6EIllfadjf,,,,,,,,,,,,,,22211112EI4EIf,,lll,,,,,,,22226EI3EI6EI3EIll，，，，，，9EI36EI EI记i,，则 l 4i2i，，,1 (2-9) f,,,,,2i4i，， 若记 ekk4i2i，，，，iiijek,, ,,,,kk2i4ijijj，，，，则有 eeee,,mkk,,,,,,，，iiiiiije,,k (2-10) ,,,,,,,,kk,,mjijjjjj，，,,,,,,或简写作 eeem,k, (2-11) 其中 em,,iem, ,,mj,,称作单元e的杆端力矩向量。 e,,,ie,, ,,,j,,称作单元e的节点转角向量。 ekk，，iiijek, ,,kkjijj，，称作单元e 的刚度矩阵。 ek由此看出，单元分析的只要任务就是求出单元刚度矩阵。 ek单元刚度矩阵的物理意义: 3 eeekkj,,11)中的每个元素都是一个刚度系数。元素表示当点产生单位转角时，j e其它节点位移为零时，在点产生的杆端力矩。 imi e,,k,,iieek2)在中，第一列向量的两个元素是当点产生单元转角时在两个杆端i,,1,,iek,,jj,, 分别引起的力矩。 eeek,,kk3)在中，第1个行向量的两个元素是当两个节点产生单元转角时在点产iiiij e生的杆端力矩。 mi eeekk,k)由于，因此是一个对称矩阵。 4ijij 3(1(3整体分析 整体分析的主要任务就是在单元分析的基础上得到整体刚度矩阵。在图3-1所示的连续梁中，各个节点上作用有节点力矩为，，，产生的节点转角为，，如图M,MM,,3312122-6所示。 图2-6 连续梁受力矩作用分析 节点力矩向量M M,,1,, MM,,,2 ,,M3,, ,节点转角向量 ,,,1,,,,, ,,2 ,,,3,, ,由节点转角向量求节点力矩向量M，有 ,M,,KKK,,,,，，11111213,,,,,,,,,MKKK, (2-13) ,,,,,,22122232,,,,,,,,,,KKKM,31323333，，,,,,,, 或 M,K, (2-14) 式中K——整体刚度矩阵，有 4 KKK，，111213,,K,KKK (2-15) 212223,, ,,KKK313233，， ej,,1 K中的元素称为整体刚度系数，它表示仅当节点产生单位转角时，在点Kiijj需加的节点力矩。 Mi 根据叠加原理，整体刚度系数是由有关单元的单元刚度系数集成的。具体的作法如下: ek 分别考虑每个单元变形的影响，因此可以利用已知的单元刚度矩阵来推导整体刚度 矩阵K。 12kk(1)对单元?、?分别求出单元刚度矩阵和，得出单元刚度方程如下。 11,,,,,M4i2i，，,,,,ii11 单元?:,,,,,,,112i4iM,,,,,，，11jj,,,, 2,,M2,,,4i2i，，,,,,i22单元?:, ,,,,,,22M2i4i,,,,,j，，22j,,,, (2)虽然结构的总变形是两个单元变形的叠加，但整体刚度矩阵K并不是两个单元刚 12kk度矩阵和。的简单叠加。这是因为: 1)单元刚度矩阵中的元素是按节点局部码排列的，而整体刚度矩阵K中的元素是按节点总码排列的。 ek2)两类矩阵的阶数不同，是2×2阶，而K是3×3阶。 因此，在进行叠加之前，需要对单元刚度矩阵加以改造: ek第一，把由2×2阶扩大为同整体刚度矩阵同阶的矩阵3×3阶。 ek第二，把中的4个元素按照总码的顺序在扩大后的矩阵中重新排列，并在空白处用零元素填补起来。 根据改造后的单元刚度矩阵可写出刚度方程如下: i,1,,单元?:局部码总码 ,,j,2,, ,M420ii,,,,，，1111 ,,,,,, ,Mii240,,,,,2112,,,,,,,,000M,33，，,,,, i,2,,单元?:局部码总码 ,,j,3,, 5 ,M000,,,,，，11 ,,,,,, ,Mii042,,,,,2112,,,,,,,,024iiM,2233，，,,,, 上面各单元的扩大刚度矩阵也叫做单元的贡献矩阵，它们表示每个单元单独变形时对 整体刚度矩阵提供的贡献。 (3)将各单元的贡献矩阵叠加，即得出整体刚度矩阵，如下所示 ,M4i2i0,,,,，，1111,,,,,,,M2i4i4i2i ,， (2-16) ,,,,211112,,,,,,,,02i4iM,2232，，,,,, 整体刚度矩阵是直接利用单元刚度系数集成的，这个方法叫作刚度集成法。 对于图2-7中的连续梁n个节点，n,1个单元，利用刚度集成法，可得出整体刚度矩阵K(n×n阶)，如下面方程所示。 图2-7 节点连续梁 M,,,,,42ii，，1111,,,,,,M2422iiii，,221122,,,,,,,,,,M,,2442iiii，？,332233,,,,,,M244iii，,,,,,44334,,,,,,,,,？？？,,,,,,,,,,？442iii，Mnnn,,,322nn,,22,,,,,,,,,2442iiii，Mnnnn,,,,2211,,,,nn,,11,,,,,,,244iii，M,,，，nnn,,11nn,,,,, (2-17) 可以看出，矩阵K的非零元素都集中在主对角线及其两侧另外两条对角线上。三条对角线上的元素分布有以下规律: 主对角线上的元素 ,K4i,111,K4i, (2-18) ,nnn ,K4i4i;(j2,3,4,？,n1),，,,jjj,1j, 另外两条对角线上的元素 K,K,2i(j,2,3,？,n) (2-19) jj,1j,1jj,1 3(1(4支承条件的引入 在有限元法中，通常是在整体刚度矩阵K建立以后，引入支承条件。 下面结合图中的连续梁进行讨论。在节点1和2处，转角和是未知量，节点力矩,,12 6 ，是已知量，等于给定的节点力矩载荷,。而节点3是固定端，节点力矩是MMMPP31212 未知量，转角是已知量。即,0。 ,,33 图2-8 连续梁 计算时，我们分两步考虑。 1) 暂不引入支承条件和载荷情况，先建立整体刚度矩阵K，写出M与,之间的转换 关系，即 ,M4i2i0,,,,，，1111,,,,,,,M2i4i4i2i,， (2-20) ,,,,211112,,,,,,,,02i4iM,1133，，,,,, 2) 在节点1和2引入载荷值，在固定端引入支承条件，将上式修改为 ,,03 ,P420ii,,,,，，1111,,,,,, (2-21) 2442iiiiP，,,,,,,112122,,,,,,,,024ii0M11，，3,,,, 为了求解未知转角、，我们将式(2-21)展开有 ,,12 ,,，,4i2iP,11121 (2-22) ,2i,，(4i，4i),,P121222, 写成矩阵形式有 ,P4i2i,,,,，，1111, (2-23) ,,,,,,2i4i，4i,P112，，22,,,, 上式就是引入支承条件和载荷情况后得到的位移法基本方程，由此可解出基本未知量、。 ,,12 将式(2-23)和(2-21)比较，可以看出:如果在式(2-21)中把K的第3行和第3列划去(即把与零转角对应的行和列划去)，同时把右边向量中的相应元素划去，就可直接得,3 出式(2—23)。因此，引入支承条件的问题就归结为划去对应的行与列的问题。 为了便于编写计算程序，我们希望修改后的矩阵仍然保留原矩阵K的阶数和排列顺序。为此，可将式扩大成如下形式 7 ,420Pii,,,,，，1111,,,,,,,24，42, (2-24) iiiiP,,,,112122,,,,,,,,001,0，，3,,,, 式(2-24)完全等效于基本方程(2-20)和支承条件。 ,,03 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 起来，为了把刚度方程(2-21)修改成位移法基本方程(2-24)，首先，把节点力向量M换成节点载荷向量P，然后再根据支承条件进行修改。修改办法是: 1)在矩阵K与零转角对应的行列中，主对角线元素改为1，其他元素改为0。 2)在载荷向量P中，与零转角对应的元素改为0。 这种引入方法可以将支承约束条件精确引入，这使其具有显著的优点。但它需修改K与F矩阵，且修改所涉及的元素比较多，故机时耗费也较大。 3(1(5非节点载荷的处理 以上讨论了连续梁在节点力矩载荷作用下的计算问题，现在进一步讨论在非节点载荷作用下的计算问题。 图2-9为一连续梁，载荷如图2-9所示。 图2-9受力连续梁 1(变形分析 在图2-9所示的连续梁的节点2上，先固定一个可以随着节点2自由转动的附加连接，然后施加载荷P，则连续梁的两个单元将发生第一次弯曲，附加连接也随着节点2转过一个小角度;接着，在附加连接上施加载荷M，此时节点2随着附加连接又转过一个小角度，则节点2最后产生转角连续梁的两个单元也最后弯曲成图2-10a所示的形状，按叠加原,2 理，这与P、M同时加在连续梁上所产生的变形是完全一样的。 将上面的加载过程改为如图2-10b、c所示的两种状态的叠加，即:在单元?上施加载荷P的同时，在附加连接上加上一个力矩，使节点2保持成为一个固定端，这时只M02 有单元?发生弯曲变形，而单元?没有变形，节点2也不发生转动，如图2-10b所示。然后在附加联接上施加力矩，此时节点2产生了一转角，两个单元也同时发生弯曲M，(,M)02 变形，如图2-10c所示。由图2-10a、b、c可以看出，图2-10b和图2—10c所加载荷的效果与图2-10a完全相同，因此，图2-10b的变形加上图2-10c的变形也应当与图2-10a的变形完全一样。所以图2-10c中节点2的转角应当等于图2-10a中节点2的转角。由上面的分,2析，可以得到如下结论，即:可以用图2-10b、c的分析代替对图2-10a的分析，这样问题就变得简单而明确，图2-10b中只需计算一个两端固定梁单元?，这在材料力学中早已解决，图2-10c中只需计算一个只受节点力的连续梁。M已知，是单元?作为两端固定时的M02 固端反力。由此可以看出，等效节点载荷由非节点载荷引起，其值为非节点载荷所在单元的 8 固端力矩的“,”值。 图2-10 连续梁变形分解 2(求等效节点载荷 以图2-11受非节点载荷的连续梁为例。 图2-11 受非节点载荷的连续梁 单元?、?产生固端力矩(加脚标0表示固端力矩，杆端采用单元局部编码)。 12MM,,,,ii00 (2-25) ,,,,MMii00,,,, 各节点的约束力矩(节点采用整体编码)分别为该节点的相关单元固端力矩之和。 1,,MM,,0i01,,,,,,12M,M，M (2-26) ,,,,020j0i ,,,,2MM03,,,,0j,, 图2-11中的节点力矩载荷称作原来非节点载荷的等效节点载荷，即 1,,,MP,,0i1,,,,,,12P,,M,M (2-27) ,,,,20j0i ,,,,2P3M,,,,,0j,, 3(求各杆端弯矩 连续梁在非节点载荷作用下的杆端弯矩由两部分组成:一部分是各杆的固端弯矩;另一部分是在等效节点载荷作用下的杆端弯矩。第二部分的计算方法在前面已经详细讨论，即先建立位移法基本方程求出节点转角，然后利用式(2-17)求出杆端弯矩。 将两部分杆端弯矩叠加起来，即得出非节点载荷作用下各杆的杆端弯矩 eee,MkkM,,,,，，,,iiiiij0i, (2-28) ,,,,,,,,kk,MMjijjjj0,,i，，,,,, eeeeee,,,,kk4i,kk2iiijjijji由于 ee,,,,,,ieje，1 9 可写成 ee,,M,4i，2i，M，10ieeeei (2-29) eeM,2i,，4i,，Mjeeee，10j 这就是通常的转角位移方程。 2(1(6解题步骤与例题 用有限元位移法计算连续梁的步骤如下: (1)整理原始数据，进行编码。 (2)求在非节点载荷作用下的固端力矩及等效节点载荷。 ek (3)形成单元刚度矩阵。 (4)形成整体刚度矩阵k。 (5)引入支承条件。 (6)解方程，求节点转角。 (7)求各杆杆端弯矩。 例2-1 求图2-12所示连续梁的内力。已知,，,，,。 I,6i,1I,6i,1I,16i,2331122 图2-12 受力连续梁 解: (1)原始数据及编号，见图2-12。 (2)求固端弯矩及等效节点载荷。 1)对于部分均布载荷固端弯矩(见图2-13) 22,,Gccc,,M,6,8，30i2,,12ll,, (2-30) 3Gcc,,(4,)Mc0j12ll 2)对于垂直集中载荷(如图2-14所示)。 图2-13 部分均布载荷 10 图2-14 垂直集中载荷 22M,Gcd/li0 (2-31) 22M,,Gcd/l0j 3个单元的固端弯矩分别为 123MMM,,,,,,,1200,5000,,,,,,0i0i0i,,,,, ,,,,,,,,,,,,MMM120050000j0j0j,,,,,,,,,,,,等效节点载荷向量为(应用式(2-27)) 1,,,M0iP1200,,,,1,,12,,,,MM,,P,700,,0j0i,,,,2,, ,,,,,,23P,500MM,,30j0i,,,,,, ,,,,,,20P,,4,,M,0j,,(3)求单元刚度矩阵(应用式(2-12))。 42，，1单元?: k,,,24，， 84，，2单元?: ,k,,48，， 42，，3单元?: ,k,,24，， (4)求整体刚度矩阵(应用式(2-19))。 4200，， ,,24，840,,K, ,,044，82 ,,0024，，(5)引入支承条件。 先将基本方程写成 K,,P 然后按支承条件修改。 在图2-12中， 支承条件为，。因此应对矩阵K的第1，第4行与列进行修改(主对角线元,,0,,014 11 素改为1，其他元素改为0)，同时载荷向量P的第1，第4个元素应改为0，因此，基本方 程为 ,42000,,，，,,1,,,,,,,21240,700,,,,2,,, ,,,,,,,04122,5003,,,,,,,,,,00240,，，,,4,,(6)解方程。 解上面的基本方程就求出节点转角如下。 ,0,,,,1,,,,,,50,,,,2, ,,,,,,253,,,, ,,,,0,,,4,,(7)求各杆杆端弯矩(应用式(2-29))。 1M,,420,1200,1300，，,,,,,,i,，,单元?: ,,,,,,,,,,M24,5012001000j，，,,,,,,,, 2M,,84,50,500,1000，，,,,,,,i,，,单元?: ,,,,,,,,,,M48,25500100j，，,,,,,,,, 3M,,42,250,100，，,,,,,,i,，,单元?: ,,,,,,,,,,M2400,50j，，,,,,,,,, 由此可做出弯矩如图2-15所示(单位为kN?m)。 图2-15 弯矩图 12