论文 函数凸性证明不等式的应用
函数凸性在证明不等式中的应用
摘 要
本文首先从解析定义、几何解释和直观描述性定义三个方面介绍了凸函数的定义,随后揭示凸函数的判定定理和凸函数的性质～其中重点把握凸函数的Jensen不等式。在此基础上～建立凸函数框架统一证明初等不等式～并推证一些著名不等式～如Holder不等式等～显示出函数凸性在不等式证明中的重要性,最后进一步研究函数凸性在几何和三角函数不等式中的精巧妙用～以及在数学
分析
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中的应用。
关键词:函数凸性 证明不等式 Jensen不等式
1
函数凸性证明不等式的应用
1 凸函数的定义
函数凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凸性定义的更一般的三种形式。 1.1解析定义
,,,1.1.1定义 设定义在上。，，及，恒有 ,,0,1，，,,a,bxx,,,a,b,，，fxx,x1212
，，，，，，，，，，f,x，1,,x,,fx，1,,fx1212, ?
，，,,fxa,b，，,,fxa,b则称为上的凸函数，并称曲线在上是上凸的;如果不等号的方向相反，
,,，，a,bfx那么称函数在上是下凸的。
若不等式当且仅当时成立，则称是在上的严格凸函数。 ，，,,x,xfxa,b12
xx，，,,,,，，fxa,ba,bx,x,12,12 1.1.2定义 设函数在上连续，，,有
，，，，x，xfx，fx,,1212f,,,22,, ， ? 那么称函数为上的凸函数，并称函数在上是上凸的;如果不等号的方，，fx,,a,b，，,,fxa,b
向相反，那么称函数在上是下凸的。 ，，,,a,bfx
注:若为区间上的下凸函数，则为区间上的凸函数。从而上凸函,,1，，,,，，,,fxa,b-fxa,b数特征的讨论对下凸函数也适用。
1,定义2是定义1中仅取时的情形，从而定义2的
条例
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弱于定义1。 ,,22
1.2几何解释
1.2.1上凸函数是描述平面所定义区域上一条“上凸曲线”，图象的任一弦上，，fxxOy
的某点，在对应的弧上的点的下侧如(图1)
图1
1
同理，下凸函数的情况只是反向的，即。 ，，，，，，，，，，，，fxf,x，1,,x,,fx，1,,fx1212
1.2.2在初等数学中，函数的凸性可根据图象来判定，如图1-2所示，在上，，，，fxa,b
上是下凸的。 是上凸的，而在，，b,c
图 2
1.2.3在数学分析中函数的凸性是由函数的二阶导数的符号来判定的:对任意的x， ,，，a,b
''如果<0，那么在上是上凸的; f(x)，，，，fxa,b
''如果>0，那么在上是下凸的。 ，，fx，，，，fxa,b
1.3直观描述性定义
1.3.1如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方，则相应的函数称为凸函数。
1.3.2如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方，则相应的函数是凸函数。
2 函数为凸的必要充分条件(即判定定理) 2.1函数为凸的必要充分条件
nRSSy 设是凸集上的凸函数的充要条件是对任意的，，单变量函数xf,,
是上的凸函数。 ，，，，，，g,,f,x，1,,y,,0,1
,0, 证明:(1)充分性:设g()是[0，1]上的凸函数，取，，则对<<1，x,1x,012有，即 ，，，，，，，，，，，，,g1，1,,g0,g,,1，1,,,0,g,
，，，，，，，，，，,fx，1,,fy,f,x，1,,y
2
S故为上的凸函数。 ，，fx
, (2)必要性:设为S上的凸函数，假定，，O<
0，，，取，则 x,x，hx,x，，，，，，x,x,hFx,fx，h,fx321
fx,fxfx,fx，，，，，，，，3221,x,xx,x3221上式可写成 ,0x,x31
Fx,Fx,h，，，，。 ,022h
由中值定理，存在，使 ,,,,x,h,x
'''。 ，，，，，，，，，，Fx,Fx,h,hF,,，，f,，h,f,h再用一次中值定理，便得
3
2''， ，，，，，，Fx,Fx,h,hf,1
xf，，x111''此即说明，，0成立，因此。 ,xfx1，，fx,022
，，xfx133
由上定理1，可得出定理2。
'', 2.2.2定理 若函数是内具有一阶和二阶的导数，，恒有，，，，，fx,0,,，，fxa,bx,a,b则曲线在区间上对定义1、定义2都是上凸的。 ，，,,fxa,b
3 凸函数的性质
''3.1对任意的，如果<0，那么对任意，，？，x，都有 ，，fx，，xx，，x,a,b,a,bn12
fxfxfxx，x，？，x，，，，，，，，？，,,12n12nf ,,,nn,,
''如果>0，则不等号方向相反。等号当且仅当时成立。 ，，x,x,？,xfx12n3.2Jensen不等式
3.2.1定理(Jensen)设为定义在定义1的凸函数，则对任意的实数，，fx
n
,,1，，，且，有 ,,0x,x,？,x，，，，i,1,2,？,ni,1,2,？,nx,,,a,b,ii12ni,1
nn,,， ? ，，f,x,,fx,,,,iiii,1,1,,ii
等号当且仅当时成立。 x,x,？,x12n
证明 用数学归纳法。
n,2?时，由凸函数的定义1中的?式
，，，，，，，，，，,fx，,fx,1,,fx，,fx11222122
,,，，，，,f1,,x，,x,f,x，,x， 21221122且等号仅在时成立，从而结论成立; x,x12
n,k?设时?式成立且等号仅在时成立。 x,x,？,x12n
k，1
n,k，1,,1当时，设，x,x,？,x,x， ,i12kk，1i,1
4
k1*x,，,x记 ,ii1,,,1i，1k
kk11*x,,x,x,,x,x则 ， ,,1i1ikk11,,,,,1,1ii，1，1kk
*从而 x,,,a,b
kkk,1*i，，,,,1,x,1,,x且， ,,,iiik，11,1,,,i,1i,1i,1k，1k，1
k，1,,*有 ,,，，f,x,f1,,x，,x,,,iik，1k，1k，1i,1,,
* ，，，， ,1-,f，，x，,fxk，1k，1k，1
k,,,i,,1- ，， ，，,,fx，,fx,k，1ik，1k，1,,1,,i,1k，1,,等号仅在时成立。又由归纳假设，有 x,x,？,x12n
kk,,,,ii,,,，， fxfx,,ii,,1,,1,,,1,1ii，1，1kk,,
因此
k，1k,,,i1 ，，，，，，f,x,,,fx，,fx,,,,iik，1ik，1k，11,,i,1i,1,,k，1
k
，，，，,,fx，,fx ， ,iik，1k，1i,1
k，1k，1,,即 ， ，，f,x,,fx,,,,iiii,,i,1i,1
且等号仅在，，，从而等号仅在x,x,？,x，，x,x,？,x这时又必有x,xi,1,2,？,k12ki12n
时成立。
综上所述，定理得证。
3.2.2 Jensen不等式还可变形为以下形式:
3.2.2.1设函数为上的严格凸函数，，,>0，且x,,,a,b，，,,，，fxa,bi,1,2,？,nii
n,,,,,,,,？，，，，？，，，，，，，fxfxfxxxx1122nn1122nn,,,,1，则有, ? f,i,,,，,，？，,,,？,，，，i,112n12n,,
5
成立。当且仅当时等号成立。 x,x,？,x12n
3.2.2.2函数为区间上凸函数，当时，有 ,,,,？,,，，fx12n
nn,,11， ? ，，fx,fx,,,,iinn,1,1,,ii
当且仅当时等号成立。 x,x,？,x12n
4 函数凸性在证明不等式中的应用 4.1在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值
证明上述不等式用到数学归纳法，其实这些不等式可在凸函数框架下统一证明。证明时构造一个恰当的函数则是证明的关键。
nxxx，，？，12nn,xx？x 例1:设>0，，证 x，，i,1,2,？,n,12ni111n，，？，xxx12n
全部相等时，等号成立。 当且仅当所有，，x1,i,ni
证明 要利用Jensen不等式来证明，关键是找出合适的凸函数(观察不等式
xxx，，？，12nnxx？x的形式，易知两边取对数变成 ,12nn
xxxxxxln，ln，？，ln，，？，12n12n， ln,nn
1''这就很容易找到合适的凸函数了。首先考察(>0)的凸性。因为，，>0，x，，fx,,lnxfx,2x由定理1知，是上严格凸函数。 ，，，，fx0.,
由Jensen不等式知，当>0，不全相等时有 x，，i,1,2,？,ni
xxxxxx，，？，ln，ln，？，ln12n12n< ln,,nn
111，，？，,,1111xxx12n,,lnlnln,，，，及 <？ ,ln,,nxxxn12n,,
所以有
nxxx，，？，12nn,xx？x成立。 ,12n111n，，？，xxx12n
6
4.2 凸函数的Jensen不等式，可以用来推证许多著名不等式，如:Holder
不等式、Cauchy不等式、平均值不等式、Young不等式等
例:2:(Holder不等式)设，，为正实数，p>0，q>0，，则 ab，，i,1,2,？,np，q,1ii
pqnnn,,,,pq， ? ，，ab,ab,,,,,,,iiii,1,1,1,,,,iii
aaan12,,？,当且仅当时等号成立。 bbb12n
nn11'''A,aB,b 证明 令，，设函数，则fx，>0，，，，，,,，，fx,,lnxfx,,,ii2xxi,1i,1
可知为严格凸函数。 ，，fx,,lnx
ab11令，，,， x,x,,,p,,q1221AB
由Jensen不等式?可知:
abab，，iiiipln，qln,lnp，q， i,1,2,？,n,,ABAB，，
pqabab,,，，,,iii1即:， ,p，qi,1,2,？,n,,,,,,ABAB,,,,，，
pqpqnnnababab,,,,,,,,,,iiiiiipq,，所以:，即 ,1,,,,,,,,,,,,,ABABAB,,,,,,i,1,,,,,1i,1i
整理得Holder不等式:
pqnnn,,,,pq成立。 ，，ab,ab,,,,,,,iiii,1,1,1,,,,iii
abii其中当，时等号成立，即为: ,i,1,2,？,nAB
aaan12,,？,时等号成立。 bbb12n
11b，,1pq 例3:(Young不等式)若>0，>0，>0，>0，>0且，求证: a,pq
pq,ab,,，ab。 q/ppq,
证明 从所求的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对
7
pq,,,ab,,它进行一定的变形。不妨不等式两边同时取自然对数，则有<，，由ln，，lna,bq/p,,pq,,,
此很容易找到合适的凸函数。
1''考虑函数(>0)，因为>0。 ，，x，，fx,,lnxfx,2x
11由定理1知，在>0时为凸函数，因为有>0，>0，，,1，所以pqx，，fxpq
pqpq,,,,,,,ab111,1,,,,,,,ln，,,ln,a,ln,b /qp,,,,,,pqppqp,,,,,,,
pqpq,,,,,,,ab111,1,,,,,,,,，,,ln,a,ln,bln q/p,,,,,,pq,ppqp,,,,,,
,,,,1,1,,,, ,lna,lnb,,,,,,pp,,,,
，，,lnab
于是
pq,,,ab,,ab，，,，lnln， q/p,,pq,,,
pq,abab,，即 。 q/ppq,
,,1 特别地，当，时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。Youngp,q,2
不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广。
4.3 函数凸性在证明一些几何和三角函数不等式中的精巧妙用
，例4:设p,R，，证明: x,,,0,,ii
px，px，？，pxpx，px，？，pxsinsinsin1122nn1122nn,sin p，p，？，pp，p，？，p12n12n
证明 取，它是上的凸函数，由Jensen不等式，得 ，，fx,,sinx,,0,,
px，px，？，pxpx，px，？，pxsinsinsin1122nn1122nn,-sin- p，p，？，pp，p，？，p12n12n
px，px，？，pxpx，px，？，pxsinsinsin1122nn1122nn,sin所以 p，p，？，pp，p，？，p12n12n
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特别地:如果在这个不等式中，令则得 ，，p,1i,1,2,？,n,,1i
xxx，，？，12nn; sin,sinx，sinx，？，sinx12nn
对于三角形的三个内角、、，有 ,,,,2,
，，33,,,sin，sin，sin,3sin, ,,,32
,,,1,cos2x1，cos2xx ,0,例5:设，证明:。 ，，，，sinx，cosx,2,,2,,
22sinxcosx22x，，，，sinx，cosx,2证明 先将原不等式化为，因为为上的凸，，fx,x，，0,,
b>0，>0时，有 函数，故当a
a，b1,,，，，，,,f,fa，fb， ,,22,,
22令，，则 a,sinxb,cosx
1222,,sincos112a，bx，x,,,,,,,,， f,f,f,,,,,,,,,,22222,,,,,,,,
22sinxcosx1122，，而 ，,，， ,,，，，，，，，，fafbsinxcosx,,，，22
1,cos2x1，cos2x所以 ，，，， sinx，cosx,2
x2这道
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
目很难用初等知识证明，但通过构造凸函数，巧妙地令，，，fx,xa,sinx
2，便可很方便地证得。 b,cosx
4.4 对于数学分析、泛函分析中一些重要不等式，利用函数凸性也可以建立
统一框架，简捷方便地进行证明
例6:设在上可积，,是上的凸函数，则 ，，，，，，fx,,a,bm,fx,M,t,,m,M
bb11,,，，,，，，，,fxdx,fxdx。 ,,,,aa,,baba,,
nn,,11证明 由Jensen不等式，有， ，，t,t,,,,,,kknn,1,1,k,k
b,a,,t,fa，k令，则有 ,,kn,,
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nnbabababa,,，，1,,1,,,,,,fakfak。 ,,,，,,,，,,,,,,,,,,bannbann,,,,,,,1,1kk,,，，由于可积，为凸函数，故可积。 ，，，，，，，，fx,t,fx
上式中令，取极限，即得到 n,,
bb11,,，，,fxdx。 ,，，，，,fxdx,,,,aab,a,ba,,
特别地，若在上连续，且>0，取，则有 ，，，，，，fx,,a,bfx,t,,lnt
bb11,,ln，，,ln，，fxdxfxdx。 ,,,,aa,,baba,,
Hardmard前例结合凸函数的定义，可得不等式:
设是区间上的凸函数，,则 ，，,t,,m,M,,,t,t,m,M11
t1t，t,t，，，，，,t2,,1212，，,tdt,。 ,,,,,t122t,t,,21
5 结束语
本文利用凸函数的定义与凸函数的Jensen不等式这两个重要方面来证明不等式，需要巧妙地构造函数及选取适当的，此法虽具有一定的构造性，但是能使十分复杂的问题迎x
刃而解，这也就是J凸函数奇妙之处。
参考文献:
,1, 查鼎盛，余鑫晖，黄培铣.初等数学研究[M].广西师范大学出版社，1997，314. ,2,褚玉明.解析不等式新论[M].哈尔滨工业大学出版社，2009，06
,3,胡克.解析不等式的若干问题[M].武汉大学出版社.2007,100. ,4,崔雅莉.凸函数与不等式[J].科教导刊，2011(22).
,5,尚亚东，游淑军.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].广州大学学报(自然科学版)，2005,4(1). ,6,高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用[J].沧州师范专科学校学报，2003，19(3). ,7,邓卫兵.凸函数与不等式[J].哈尔滨商业大学学报(自然科学版)，2005，21(4). ,8,燕建梁，张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报，2002，20(4) ,9,周再禹.巧用函数凸性证明不等式[J].兰州教育学院学报，2006(4) ,10,寇业富.不等式的证明[J].数学的实践与认识，2003，33(6)
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揭阳职业技术学院毕业论文(
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