梅氏定理

梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。1定理证明 首先给出完整的定理内容： 当直线交 三边所在直线 于点 时， 以及逆定理：在 三边所在直线上有三点 ，且 ，那么 三点共线。 注意：以上定理严格来说应该用有向线段形式，且乘积为-1；另外， 三点 中有偶数个点在线段上时，才有梅氏定理，否则为塞瓦定理. 证明一 过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则 证毕 证明二 过点C作CP∥DF交AB于P，则 BD：DC=FB：PF，CE：EA=PF：AF 两式相乘得 (AF：FB)×(BD：DC)×(CE：EA)=(AF：FB)×(FB：PF)×(PF：AF)=1 证明三 连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。 AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2）， CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC）：（S△ADE+S△FEA）=S△CDF：S△ADF………… （3）（1）×（2）×（3）得 × × = × × 证明四 过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图： 充分性证明： △ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。 连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1 又∵ ∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以 共线 推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1） 此外，用该定理可使其容易理解和记忆： 第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。 该形式的梅涅劳斯定理也很实用。 证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE /sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合) 梅涅劳斯球面三角形定理 在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么[1]  2数学意义 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。[1] 塞瓦定理 塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现。塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。 1证法 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1① ∵△ABD被直线COF所截， ∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②*①得：(DB/BC)×(CE/EA)×(AO/OD)×(BC/CD)×(AF/FB)×(DO/OA)=1 ∴(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 2证明定理 ①利用塞瓦定理逆定理证明三角形三条高线必交于一点: 设△ABC三边的高分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cot∠BAC)/[(CD*cotABC)]*[(AE*cotABC)/(AE*cotACB)]*[(BF*cotACB)/[(BF*cotBAC)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。 ②三角形三条中线交于一点（重心）: 如右图：已知，D、E分别为△ABC的边BC、AC 的中点，连接AD、BE相交于点O，连接CO并延长 塞瓦定理证明三条中线交于一点交AB于F求证：AF=FB 证明：∵BD=DC，CE=EA∴BD/DC=1，CE/EA=1由塞瓦定理得 (AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AF/FB=1∴ AF=FB ，∴CF为AB边上的中线 ∴三角形三条中线交于一点（重心） ③用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1） 3塞瓦定理推论 1.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是： (AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 4数学意义 使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。 托勒密定理 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 1定理提出 一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。 摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 2定理内容 指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 3证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE. 则△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED. BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式： (a?b)(c?d) + (a?d)(b?c) = (a?c)(b?d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。 三、 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC． 证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC． 四、广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m、n，则有： m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C) 4推论 1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。 2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆 5推广 托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。 简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模， 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 6运用要点 1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。 2.四点不限于同一平面。 欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD 梯形蝴蝶定理 平面几何中的重要定理，是相似关系的衍生，由于该定理的几何图形形象奇特，形似蝴蝶，所以以蝴蝶来命名。 1公式 梯形蝴蝶定理 如图，在梯形中，存在以下关系： (1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a^2/b^2 S3: S4=ab：ab (2)S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab ； (3)S3=S4 ； (4)S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出) 蝴蝶定理图片 (5)AO：BO=a︰b 2证明 证明： S1和S2的三角形是相似的（AAA） 所以面积比=边长比的平方即a2：b2 设梯形高为h，S3+S2=1/2bh=S4+S2 (等底等高的三角形面积相等) 所以S3=S4 S1与S2三角形相似，设S1的高为ka，S2的高为kb 三角形AEO与三角形ADB相似，边长比为a:(a+b) 所以EO=ab/(a+b) S1面积=ka2/2，S2面积=kb2/2 S3面积为三角形AEO + 三角形DEO S3面积=ab/(a+b)*k(a+b)/2=kab/2 所以S1：S2：S3=a2：b2：ab 四边形蝴蝶定理 若四边形一条对角线平分另一对角线（比如此图中的AD平分BC，不要求BC平分AD），过其交点G的两条直线PR和QS，与四边交于P.R.Q.S，则连线PQ与SR与被平分的对角线BC的两个交点E.F到对角线交点G距离相等。 证明过程中用到共边比例定理、共角比例定理。 如图：BG=CG,求证：EG=FG 连接CP，BS，BR，CQ EG/BE*CF/FG=S△PGQ/S△PBQ* S△SCR/S△SGR=S△ABD/S△PBQ * S△SCR/S△ACD * S△PGQ/S△SGR =AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG =AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG/RG*QG/SG =S△ABC*S△BCD/S△BCP*BCQ * S△BCS*S△BCR/S△ABC*S△BCD * S△BCP/S△BCR*S△BCQ/S△BCS=1 EG*CF=FG*BE∵EG+BE=CF+FG∴EG=GF 几何之蝴蝶定理 一、 基本知识点 模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系： 即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 S1︰S2 =a︰b ； 模型一的拓展：  等分点结论（“鸟头定理”） 如图，三角形AED占三角形ABC面积的 × =             模型二：任意四边形中的比例关系 （我们把它称作蝴蝶定理） ①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3） 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ①S1︰S3=a2︰b2 ②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;      ③S的对应份数为（a+b）2 模型四：相似三角形性质 ①   ; ②S1︰S2=a2︰A2 二、 例题分析 例1、如图， ， ，已知阴影部分面积为 平方厘米， 的面积是多少平方厘米？ 例2、有一个三角形 的面积为1，如图，且 ， ， ，求三角形 的面积. 例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE= AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.  例4、例1  如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 例7、（小数报竞赛活动试题） 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？ 例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。 例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛） 四边形 的对角线 与 交于点 （如图）所示。 如果三角形 的面积等于三角形 的面积的 ，且 ， ，那么 的长度是 的长度的_________倍。 例10、左下图所示的 ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。 例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？ 例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。 例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。 例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？ 例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 的面积比 的面积大6平方厘米。 三、 练习题 1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？ 2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm ，△CED的面积是6cm 。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？ 3、如右图BE= BC，CD= AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？    6、 如右图， 是梯形， 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。 7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？ 8、 已知 中， ， 的面积是 ， 是 上任意一点， 到 , 的距离是 ，那么         ； 9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。