[宝典]高次不等式的解法
高次不等式的解法---穿根法
一(方法:先因式分解,再使用穿根法.
注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.
使用方法:
?在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.
?自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).
?数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成
立.
例1:解不等式
23(1) (x+4)(x+5)(2-x)<0
2 x-4x+1 (2) ?1 2 3x-7x+2
解:
23(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)(x-2)>0
根据穿根法如图
2 -5 -4 不等式解集为{x?x>2或x<-4且x?5}.
(2x-1)(x-1) (2) 变形为?0 (3x-1)(x-2)
根据穿根法如图
1 1 1 2
3 2
不等式解集为
1 1 {x,x<或?x?1或x>2}. 3 2
3223【例2】 解不等式:(1)2x-x-15x,0;(2)(x+4)(x+5)(2-x),0(
【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x),0(或f(x),0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况(
解:(1)原不等式可化为
x(2x+5)(x-3),0
顺轴(然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5,1)的阴影部分(
(2)原不等式等价于
23(x+4)(x+5)(x-2),0
?原不等式解集为,x|x,-5或-5,x,-4或x,2,(
【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意:?各一次项中x的系数必为正,?对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根
的不等式～也可直接用“穿根法”～但注意“奇穿偶不穿”(其法如图(5,2)(
二(
数轴标根法”又称“数轴穿根法”
第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。(注意:一定要保证x前的系数为
正数)
例如:将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2，x2=1，x3=-1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。
例如:-1 1 2
第四步:画穿根线:以数轴为
标准
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，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步:观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如:
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得:-1 1 2
画穿根线:由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即:-1
2。
运用序轴标根法解题时常见错误分析
当高次不等式,(,),,(或,,)的左边整式、分式不等式φ(,),,(,),,(或,,)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(,,,,)(,,,,)„
(,,,,)的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间,(,)、 φ(,),,(,)的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图,。
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误:
,( 出现形如(,,,)的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
例, 解不等式,(,,,)(,，,)(,,,),,。
解 ,(,,,)(,，,)(,,,),,，将各根,,、,、,、,依次标在数轴上，由图,可得原不等式的解集为,,,,,,,或,,,,,或,,,,。
事实上，只有将因式(,,,)变为(,,,)的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是:
解 原不等式变形为,(,,,)(,，,)(,,,),,，将各根,,、,、,、,依次标在数轴上，由图,，原不等式的解集为,,,,,,,,,或,,,,,,。
,( 出现重根时，机械地“穿针引线”
例, 解不等式(,，,)(,,,),(,,,),,,
解 将三个根,,、,、,标在数轴上，由图,得，
原不等式的解集为,,,,,,,或,,,,,,。
这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴，正确的解法如下:
解 将三个根,,、,、,标在数轴上，如图,画出浪线图来穿过各根对应点，遇到,,,的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回;遇到,,,的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集
,,,,,,,,,且,?,,
,( 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”
例, 解不等式,(,，,)(,,,)(, ,,,),,
解 原不等式变形为,(,，,)(,,,)(,,,)(, ,，,，,),,，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
解 原不等式等价于
,(,，,)(,,,)(,,,)(,,，,，,),,，
? ,,，,，,,,对一切,恒成立，
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