概率论与数理统计教程》课后习题解答 魏宗舒

概率论与数理统计教程》课后习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答 魏宗舒 第三章 连续型随机变量 3.1 设随机变数 的分布函数为F(x)，试以F(x) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示下列概率: (1)P( a);(2)P( a);(3)P( a);(4)P( a) 解:(1)P( a) F(a,0),F(a); (2)P( a) F(a,0); (3)P( a)=1-F(a); (4)P( a) 1,F(a,0)。 3.2 函数F(x) 1 1,x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 , x (1) (2)0 x ，在其它场合适当定义; (3)- x 0，在其它场合适当定义。 解:(1)F(x)在(- , )内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数; (2)F(x)在(0， )内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数; F(x)在(- ,0)内单调上升、连续且F(, ,0)，若定义 (3) F(x)~F(x) 1, x 0x 0 (x)可以是某一随机变量的分布函数。 则F 3.3 函数sinx是不是某个随机变数 的分布密度,如果 的取值范围为 (1)[0, )[0, ];(3)[0,3 2];(2 2~ ]。 解:(1)当x [0, 布密度; 2]时，sinx 0且 2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分0 (2)因为 sinxdx=2 1，所以sinx不是随机变量的分布密度; 0x (3)当x [ ,3 2 ]时，sinx ，所以sinx 不是随机变量的分布密度。 1 3.4 设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p(,x),证明:对任意的 a 0,有(1)F(,a) 1,F(a) 12, a p(x)dx; (2)P( a) 2F(a),1; (3)P( a) 2 1,F(a) 。 证:(1)F(,a) ,a , p(x)dx 1, ,a p(x)dx =1, , a p(,x)dx 1, a , p(x)dx =1,F(a) 1, , (2)P( a , p(x)dx a p(x)dx a 12 , a0 a p(x)dx; ,a p(x)dx 2 p(x)dx，由(1)知 1-F(a) 故上式右端=2F(a),1; 12 , a p(x)dx (3)P( a) 1,P( a) 1,[2F(a),1] 2[1,F(a)]。 3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0是两个常数，且a,b 1。证明 F(x) aF1(x),bF2(x) 也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类 型, 证:因为F1(x)与F2(x1) F2(x2)，于是 F(x1) aF1(x1),bF2(x1) aF1(x2),bF2(x2) F(x2) F2(x都是分布函数，当x1 x2时，F1(x1) F1(x2)， 又 x , limF(x) lim[aF1(x),bF2(x)] 0 x , limF(x) lim[aF1(x),bF2(x)] a,b 1 x x F(x,0) aF1(x,0),bF2(x,0) aF1(x),bF2(x) F(x) 所以，F(x)也是分布函数。 2 取a b 12 ，又令 x 0 0 F2(x) x0 x 1 1x 1 x 00 x 1 x 1 0 F1(x) 1 x 0x 0 这时 0 1,x F(x) 2 1 显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的， 而 F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。 设随机变数 的分布函数为 3.6 1,(1,x)e,x F(x) 0 x 0x 0 求相应的密度函数，并求P( 1)。 解: ddx [1,(1,x)e ,x ] xe ,x ，所以相应的密度函数为 xe,x p(x) 0 x 0x 0 2e P( 1) F(1) 1,。 3.7 设随机变数 的分布函数为 0 2 F(x) Ax 1 x 00 x 1 x 1 求常数A及密度函数。 解:因为F(1,0) F(1)，所以A 1，密度函数为 2x p(x) 0 0 x 1其它 3.8 随机变数 的分布函数为F(x) A,Barctgx，求常数A与B及相应的密度函 数。 3 解:因为limF(x) A,B(,x , 2) 0 limF(x) A,Bx , 2 1 所以 A 1 2,B 1 因而 F(x) 1 2,1arctgx,p(x) F (x) 1 (1,x2。) 3.9 已知随机变数 的分布函数为 x0 x 1 p(x) 2,x1 x 2 0其它 (1) 求相应的分布函数F(x); (2) 求P( 0.5),P( 1.3),P(0.2 1.2)。 0x 0 x ydy 1x20 x 1 解:F(x) 02 1 0ydy, x1(2,y)dy 2x,1 x2,11 x 2 2 1x 2 P( 0.5) F(0.5) 1 8 P( 1.3) 1,P( 1.3) 1,F(1.3) 0.245 P(0.2 1.2) F(1.2),F(0.2) 0.66 3.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 (1)p(x) Ae,x; (2)p(x) Acosx,2 x 2 0其它 Ax21 x 2 (3)p(x) Ax2 x 3 0其它 4 解:(1) , Ae ,x dx 2A e ,x dx 2A 1所以A 12 ; 12 , (2) 2 Acosxdx 2A 2cosxdx 2A 1，所以A= 2 8 ; (3) Ax2dx, 1 2 2 Axdx 296 A 1,所以A 629 。 3.12 在半径为R,球心为O的球P( 0.8) P( 0.9) 1 0.81 12x(1,x)dx 0.0272 12x(1,x)dx 0.0037 2 2 0.9 因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若 每 天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14 设随机变数 服从(0，5)上的均匀分布，求方程 4x,4 x, ,2 0 2 有实根的概率。 解:当且仅当 1) 成立时，方程4x,4 x, ,2 0 (4 ),16( ,2) 0 (有实根。不等式(1)的解为: 2或 ,1。 2 2 5 因此，该方程有实根的概率 p P( 2),P( ,1) P( 2) 5 15 2 35 。 3.17 某种电池的寿命 服从正态N(a, 2)分布，其中a 300(小时)， 35 (小时) (1) 求电池寿命在250小时以上的概率; (2)求x，使寿命在a,x与a,x之间的概率不小于0.9。 解:(1)P( 250) P( ,300 35 ,1.43) =P( ,300 35 1.43) (1.43) 0.9236; (2)P(a,x a,x) P(,x ,300 35 35 x35 = (xx35), (, 35) 2 ( x 35 ),1 0.9 即 ( x35) 0.95 所以 x 35 1.65 即 x 57.75 3.18 设 (x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x 0时，有 1,x 2 2 2 e . 1x 1, (x) 112 e , x 2 2 ( 1x , x 3 ) 2 2 证: 1, (x) 1, 1e , y 2 dy1, y 2 dy 2 x , 2 e x x 2 2 = 1e , 2 . 12 dy 2 x , 12 1x y 2 , y 1x 2 2 =e 2 ( 11 3, y 2 2 x , 1x3 ),dy 2 x y 4 所以 2 1, x 2 2 2 e . 1x 1, (x) 1112 e , x 2 ( x , x 3 )。 3.21 证明:二元函数 F(x,y) 1 x,y 0 0 x,y 0 6 对每个变元单调非降，左连续，且F(, ,y) F(x,, ) 0，F(, ,, ) 0，但是 F(x,y)并不是一个分布函数。 证:(1)设 x 0， 若x,y 0，由于x, x,y 0，所以F(x,y) F(x, x,y) 1， 若x,y 0，则F(x,y) 0。 当x, x,y 0时，F(x, x,y) 0; 当x, x,y 0时，F(x, x,y) 1。所以 F(x,y) F(x, x,y)。 可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。 (2)x,y 0时 limF(x, x,y) limF(x,y, y) 0=F(x,y)， x 0 y 0 x,y 0时， limF(x, x,y) limF(x,y, y) 1=F(x,y)， x 0 y 0 所以F(x,y)对x、y左连续。 F(, ,y) F(x,, ) 0，F(, ,, ) 0。 (3) (4)P(0 2,0 2) F(2,2),F(2,0),F(0,2),F(0,0) ,1， 所以F(x,y) 不是一个分布函数。 3.23 设二维随机变数( , )的密度 p(x,y) 1 2sin(x,y)0 x 2,0 y 2 0其它 求( , )的分布函数。 解:当0 x 2，0 y 2时， F(x,y) P( x, y) = xy1 0 02sin(t,s)dsdt 7 =1x 2 0[cot,cos(t,y)]dt =1 2[sinx,siny,sin(x,y)],所以 0(x 0) (y 0) 1[sinx,siny,sin(x,y)]0 x 22,0 y F(x,y) 1 (sinx,1,cosx)0 x 2 2 1 2,y 2 (1,siny,x 2cosy)2,0 y 1x 2 2,y 2 3.24 设二维随机变数( , )的联合密度为 ke,3x,4y p(x,y) x 0,y 0 0其它 (1) 求常数k; (2) 求相应的分布函数; (3) 求P(0 1,0 2)。 解:(1) ,3x,4y 0 0kedxdy k 4 0e,3xdx k12， 所以k 12; (2)x 0,y 0时， F(x,y) xy12,3t,48 0 yedtds 12( x,3t0edt)( ye,480ds) =(1,e,3x)(1,e,4y)，所以 (x,y) (1,e,3x)(1,e,4y F)x 0,y 0 0其它 (3)P(0 1,0 2) =F(1,2),F(0,2),F(1,0),F(0,0) =1,e,3,e,8,e,11。 3(25 设二维随机变数( , )有密度函数 p(x,y) A 2(16,x2)(25,y2) 8 求常数A及( , )的密度函数。 , , p(x,y)dxdy A 解: , , 2 (16,x2)(25,y2 ) 4A dx dy A 2 16,x 2 25,y 2 20 1 所以，A 20; F(x,y) xy , , p(t,s)dtds 20 x ydtds 2 , , (16,t2)(25,s2 ) 20 x dt ds 2 (, 16,t2 )( y , 25,s 2 ) 1 xy 2 (arctg4 , 2 )(arctg5 , 2 ) 3.26 设二维随机变数( , )的密度函数为 p(x,y) 4xy 0 x 1,0 y 1 0 其它 求(1)P(0 12,1 4 1);(2)P( );(3)P( );(4)P( )。解: 1 1(1)P(0 11 1 2,4 1) 2 14xydxdy 4 2 xdx154 1 1ydy 4 64 ; (2) P( ) 4xydxdy 0; x y (3)P( ) 4xydxdy 1 1 xydydx 1 2 1 x 40 2(x,x)dx x y 2 ; (4)P( ) 12 3.28 设( , )的密度函数为 p(x,y) 1 0 x 1,0 y 2 2 0 其它 求 与 中至少有一个小于 12 的概率。 9 解: P[( 1, 12 12 ) ( 12 )] 1,P( 12 , 1258 ) 12 p(x,y)dxdy 1, 12 11 12 12 dxdy 3.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以 和 表示这两个组件的寿命 (以小时计)，设( , )的分布函数为 1,e,0.01x,e,0.01y,e,0.01(x,y) F(x,y) 0 x 0,y 0 其它 求两个组件的寿命都超过120的概率。 解: P( 120, 120) 1,P[( 120) ( 120)] 1,P( 120),P( 120),P( 120, 120) 1,F(120,0, ),F( ,120,0),F(120,0,120,0) 1,(1,e e ,2.4 ,1.2 ,1.2 ,1.2 ,2.4 ),(1,e),(1,2e,e) 0.09 3.31 设p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使 p(x,y) p1(x)p2(y),h(x,y) 成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件, 解:若p(x,y)为二维分布的密度函数，则 p(x,y) 0, , , p(x,y)dxdy 1 所以条件(1)h(x,y) p1(x)p2(y);(2) , , h(x,y)dxdy 0得到满足。 反之，若条件(1)，(2)满足，则 p(x,y) 0, p(x,y)为二维分布的密度函数。 , , p(x,y)dxdy 1 因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件(1) 和(2)。 3.32 设二维随机变数( , )具有下列密度函数，求边际分布。 10 2e,y,1 (1)p(x,y) x3x 1,y 1 0其它 1,1(x2,y2) (2)p(x,y) e2x 0,y 0或x 0,y 0 0其它 1 (3)p(x,y) (kxk1,1(y,x)k2,1e,y0 x y 1) (k2) 0其它 ,1 p (x) 2e,y 解:(1) 1) 1x3dy 2x3,(x p (x) 0,(x 1) y,1 p 2e, (x) 1x3 e,y,1,(y 1)p (x) 0,(y 1) (2)x 0时， x2 p2 (x) 01,1 2(x2,y2) , dy 1 2 e, x 0时， x2 p,1 2 (x) 1(x2,y2) 0 dy 12 2 e, 2y2 所以，p1 (x) ,x 2。同理， 2 ep (y) 12。 2 e, xk1,1 (3)p y (x) (k,(x 0) 1) (k(y,x)k2,1e,dy 1k2,12) x (k1)xe,x p (x) 0,(x 0) p,1k1,k2,1 (y) e,y (k yk1(y,x)k2,1dx 1,(y 0) 1) (k2)0x (k1,k2)y p (y) 0,(y 0) 3.34 证明:若随机变数 只取一个值a，则 与任意的随机变数 独立。 证: 的分布函数为 F 0x a (x) 1x a 11 设 的分布函数、( , )的联合分布函数分别为F (y),F(x,y)。 当x a时，F(x,y) P( x, y) 0 F (x)F (y)。当x a时，F(x,y) P( x, y) P( y) F (x)F (y)。所以，对任意实数x,y，都有F(x,y) F (x)F (y)，故 与 相互独立。 3.35 证明:若随机变数 与自己独立，则必有常数c，使P( c) 1。 证:由于P( x) P( x, x) P( x)P( x)，所以F(x) [F(x)]2，F(x) 0或1。由于F(, ) 0,F(, ) 1，F(x)非降、左连续，所以必有常数c，使得 0F(x) 0x cx c 故P( c) 1。 3.36设二维随机变量( , )的密度函数为 1 p(x,y) 0x,y22 1 其它 问 与 是否独立,是否不相关, 2 解:p (x) 1,xdy 2,1,x 2,x2 ,(|x| 1);p (x) 0,(|x| 1)。 同理，p (y) 2,y2 ,(|y| 1);p (y) 0,(|y| 1)。 由于p(x,y) p (x)p (y)，所以 与 不相互独立。 又因p(x,y),p (x),p (y)关于x或关于y都是偶函数，因而E E E( ) 0，故cov( , ) 0， 与 不相关。 3.41 设某类电子管的寿命(以小时计)具有如下分布密度: 100 p(x) x2 0x 100x 100 12 一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少,三个这类管子全部要替换的概率又是多少,(假设这三个管子的寿命分布是相互独立的) 解:设这类电子管的寿命为 ，则 P( 150) 100x 2 150 23 所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)3 8 3 率是(1,2) 27 ;三个这类管子全部要替换的概 327 。 3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度 函数。 解:设球的直径为 ，则其体积为 x 3 16 3 。y 16 x 3 的反函数 6y,dx 2 3 2 36 ydy。由 的密度函数p (x) (b,a)，a x b，得 的 密度函数为 2 p (y) (b,a) 336 y2 0 6 a y 3 6 b, 3 其它。 3.45 设随机变数 服从N(0,1)分布，求的分布密度。 解:在x 0时， P( x) P(,x x) x 12 ,x e , t 2 2 dt。 所以 的分布密度 p (x) 2/ e 2 ,x 2/2 ,(x 0);p (x) 0,(x 0)。 3.46 设随机变数 服从N(a, )分布，求e的分布密度。 解: y e的反函数x lny,dx 1/y dy。由 服从N(a, )分布，推得 e的分 2 布密度为 1 oxp p (y) 2 y 0 1 , 2 2 (lny,a) 2 y 0,y 0. 3.47 随机变数 在任一有限区间 a,b 上的概率均大于0(例如正态分布等)，其分布函数为F (x)，又 服从 0,1 上的均匀分布。证明 F ,1 ( )的分布函数与 的分布函数相同。 13 解:因为 在任一有限区间 a,b 上的概率均大于0，所以F (x)是严格上升函数。由于 0,1 上的均匀分 ,1布，所以 的分布函数F (x) P( x) P(F 对任意的x都成立。所以 ( ) x) P( F (x) F (x)， 与 的分布函数相同。 3.48 设随机变量 与 独立，求 , 的分布密度。若(1) 与 分布服从(a,b) 及( , )上的均匀分布，且a b ;(2) 与 分别服从(,a,0)及(0,a)上的均匀分布，a 0。 解(1)p (x) 1/(b,a),a x b;p (x) 0,其它。 p (x) 1/( , ), x ;p (y) 0，其它。 p , (x) , p (x,y) p (y)dy 1 (b,a)( , ) = min(x,a, )man(x,b, ) = min(x,a, ),max(x,b, ) / (b,a)( , ) ,a, x b, ;p , (x) 0，其它。 (2)p (x) 1/a,,a x 0;p (x) 0，其它， p (x) 1/a,0 x a;p (x) 0，其它。 p , (x) , p (x,y) p (y)dy min(x,a, ) max(x,0)1/ady 2 = min(x,a,a),max(x,0) /a 2 =a,x a2,,a x a;p , (x) 0，其它 3.49 设随机变量 与 独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为 p(x) 1 2a e,x/a,(a 0) 求 + 的密度函数。 14 解: p1/a (x) p (x) 2a e ,x， p , (x) , p (x,y) p (y)dy， 当x 0时， p1 , (x) |x,y|, 4a2 exp ,,|y| a dy y,x,y 1[ 0 4a2 e , x,y,y a , dy, x , x,y,ya e dy, a x e , dy] 14a (1, xa a )e ,x 当x 0时， ,y,yy,x,yy,x,yp , (x) 14a 2 [ x, xa a , e dy, a x e , dy, e , dy] 14a (1, xx a a )e 所以 x|p , (x) 14a 2 (a,|x|)e , | 3.50 设随机变量 与 独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为 p(x) 1 (1,x2 ) 证明: 12 ( , )也服从同一分布。 证: p1 , (y) 11 , 2 1,x2 1,(y,x)2 dx 1 2y(y 2 ,4) , [2x,yx2 ,1 , 2(x,y),y(x,y)2 ,1 ]dx 1 [ln(x22 ,1),yarctgx,ln((x,y)2 ,1),yarctg(x,y)]| y(y2 ,4) , 2 (y2 ,4) 所以 p2 1 (z) 1 2 ( , ) [(2z)2 ,4] 2 (1,z2 ) 即 12 ( , )也服从相同的柯西分布。 3.51 设随机变量 与 独立，分别具有密度函数 15 e, x p (x) 0 e, x p (x) 0 x 0x 0x 0x 0 (其中 0, 0)，求 + 的分布密度。 解:x 0时， p , (x) e , x x0 x e , (x,y) e , y dy e ,( , )y dy , x, x [ee], ( , ) 2, x , xe x 0时， p , (x) 0 3.53 设随机变量 与 独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求| , |的分布。 解:, 服从(,1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知， x,1 p , (x) [min(x,1,1),max(x,0)] 1,x ,1 x 00 x 1 在0 x 1时，| , |的分布函数 F(x) P(| , | x) P(,x , x) ,x (t,1)dt, x (1,t)dt 2x,x 2 所以| , |的分布密度为 2(1,x) p| , |(x) 0 0 x 1 其它 3.54 设随机变量 与 独立，分别服从参数为 与 的指数分布，求 , 的分 布密度。 解:由p (x) e , x ,x 0得p, (x) e p , (x) x ,x 0，所以 , p (y)p, (x,y)dy 在x 0时， 16 , y (x,y) e x p , (x) 0 e edy ( , ) 在x 0时， py), x , (x) x e, e (x,dy e( , ) 所以 e x ( x 0 p , (x) , ) e, x ( , )x 0 3.56 设随机变量 与 独立，且分别具有密度函数为 1 p |x| 1 (x) ,x2 0|x| 1 2 p(y) ,x xex 0 0x 0 证明 服从N(0,1)分布。 证:由p,x2 ,3 (x) xe,x 0得p1(x) xe,2x2,x 0。故 p (y) p) |x|pdx 1(y , (yx)p (x) 2 令2x2 u,y 2，则 p(y) 1e,y22 2 u,1 2e,udu 1y2 e, 02 所以 服从N(0,1)分布。 3.58 设随机变量 与 独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求 的密度函数。 解:p (x) |z|dz 1, p (xz)p (z) a0zp (xz)dz 当0 x 1时， p11 (x) a2 a0zdz 2 当x 1时 17 p (x) 1a2a x0zdz 12x2 所以 的密度函数为 0x 0 (x) 0 x 1 2 x 1p 2x2 3.59 设随机变量 与 独立，都服从参数为 的指数分布，求 的密度函数。 解:在x 0时， p (x) p (y)|y|dy , p (xy) , xye, y0 2eydy 1(x,1)2 p (x) 0。 在x 0时， 3.60 设二维随机变量( , )的联合分布密度为 1,xy p(x,y) |x| 1,|y| 1 4 0其它 证明: 与 不独立，但 2与 2独立。 证:由于p(x,y) p (x)p (y)，所 以 与 不独立。由于 1x 1 P( 2 x) x1 x0 x 1 ,x( 1,ty,14dy)dt 0x 0 1y 1 P( 2 y) y1 1,y0 y 1 ,y( tx,14dx)dt 0y 0 1x,y 1 x0 x 1,y 1 P( 2 x, 2 y) yx 1,0 y 1 xy0 x,y 1 0其它 18 所以对一切的x,y，都有P( 2 x, 2 y) P( 2 x)P( 2故 2与 2相互 独立。 y)， 3.61 设随机变量 具有密度函数 2 p(x) 2 cosx, 2 x 2 0其它 求E ,D 。 解:E 22 , x2xdx 0 cos D E 2 22221 , x cosxdx 2 12,2 3.62 设随机变量 具有密度函数 x0 x 1p(x) 2,x1 x 2 0其它 求E 及D 。 12 解 E 0xdx, 21x(2,x)dx 1， E 2 1x3dx, 222， 01x(,x)dx 7/6 D E 2,(E )2 1/6。 3.63 设随机变量 的分布函数为 0x ,1F(x) a,barcsinx,1 x 1 1x 1 试确定常数(a,b)，并求E 与D 。 解:由分布函数的左连续性， a,b arcsin1 1, a,b arcsin0 0, 故a 1/2,b 1/ 。 19 E 1 ,1x d(12,1 arcsinx) = 1x ,1 ,x2dx 0， D E 1x ,1 ,x2dx 2 1xdx ,x220 2 /2 0sintdt 1/2。 2 3.64 随机变量 具有密度函数 A x e,x/ ,x 0p(x) x 0 0, 其中 1, 0,求常数A,E 及D 。 解:1 0A x e ,x/ dx A 0 ,1ye ,ydy =A ,1T( ,1)， 故 A 1 ,1 T( ,1)。 E E 0 A xA x ,1 e e,x/ dx A dx A ,2 T( ,2) ( ,1) , ,2,x/ ,3 0 T( ,3) =( ,1)( ,2) 2 D E 2,(E ) ( ,1) 22 3.66 设随机变量 服从(, 1112,2)上的均匀分布，求 sin 的数学期望与方差。 解:E 2 1,2sin xdx 0, 1 D E 2 2 1,2sin xdx 1/2。 2 3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台， 求候车时间的数学期望与方差。 解:设旅客候车时间为 (秒)，则 服从 0,300 上的均匀分布，则 20 E E 2 300 13001 x dx 150(秒)， 2 2 300 300 x dx 30000(秒)， 2 D 30000,150。 7500(秒) 2 3.71 设 1, 2, n为正的且独立同分布的随机变量(分布为连续型或离散 型)，证明:对任意的k(1 k n)，有 1, , k k E , , n。 n 1 n n 证: j/ i同分布(j 1, ,n)，又 j/ i i 1 i 1 n 1，所以E j/ i 都存在且相等 i 1 nn n (j 1, ,n)。由于1 E i/ i n E 1/ i ，所以 i 1i 1 i 1 n 1, , k k k E 1/ i 。 E , , i 1 nn 1 3.72 设 是非负连续型随机变量，证明:对x 0，有 P( x) 1, E x 。 证:P( x) x p (t) 1, x p (t)dt 1 1, 1, tx x p (t)dt 1, x t p (t)dt E x 。 E r 3.73 若对连续型随机变量 ，有Er (r 0)，证明有P( ) rr r 。 证:P( ) x p (x)dx r x x p (x)dx r 1 r , x p (x) E / 。 r 3.75 已知随机变量 与 的相关系数为 ，求 1 a ,b与 1 c ,d的相关 系数，其中a,b,c,d均为常数，a,c皆不为零。 21 解: 1 E ( 1,E 1) ( 1,E 1) E( 1,E 2)1 ac cov( , )a D c D 1 E( 1,E 1) 2 = ac 0 , ac 0ac ac 3.81设随机变量 1, 2, , n中任意两个的相关系数都是 ，试证: ,证: 0 E 1n,1 。 ni 1ni 1 ni 1 ( i,E i) 2 n D i,2 D i 1, 1 i j n D 1 D j (D ! i j n i ,D j) = i 1 D 1 1, (n,1) ， 1n,1 故1, (n,1) 0, ,。 3.84证明下述不等式(设 , 都是连续型或离散型随机变量): (1)若 与 都有p 1阶矩，则有 [E, p ] 1/p [E 2 p,1 p ] 1/p ,[E,E’p ] 1/p E, p (E pp ) (2)若 与 都具有p 0阶矩，则 E , p 2(Ep p ,Ep p ) 证:(1)p 1时，[E , 证明略。 p ] 1/p [E p ] 1/p ,[E] 1/p 即所谓的明可夫斯基不等式， 在p 1时，x是x的下凸函数，故 x,y2 p p |x| p ,|y|2 p 即 |x,y| 2 p p,1 (|x| p ,|y| p 22 故 E , p 2 p,1 (E p ,Ep (2)在p 0时，|x,y|p (|x|,|y|)p |2x|p,|2y|p 2p(|x|p,|y|p)，故 E , p 2(Ep p ,Ep ) 3.88 设二维随机变量( , )的联合分布密度为 (n,1)(n,2) p(x,y) (1,x,y)n 0 x 0,y 0 其它 其中n 2。求 1条件下 的条件分布密度。 解:p (x) (n,1)(n,2)(1,x,y) n dy n,2(1,x) n,1 ,x 0。故 p| 2n,1(n,1)(2,y)n (y|1) 0 y 0其它 3.89 设随机变量 服从N(m, 2)分布，随机变量 在 x时的条件分布为 N(x, 2)，求 的分布及 关于 的条件分布。 2 (x,m)2(y,x) (y|x) exp ,, 22 2 2 2 解:p(x,y) p (x) p | p (y) 1 , 2 (y,m) p(x,y)dx exp , exp22 , 2 2( , ) 1 2 2, 2 m ,y x, ,2222 , 2 2 dx 2 ( 1 2 , 2 2 (y,m) exp ,， 22 2( , )) 故 ~N(m, 2 , ).p | (x|y) 2 p(x,y)p (y) 2 , 2 22 ( , )(2 ) exp ,22 2 22 m, y x, 22 , 2 ， 故在 y时， 的条件分布为N( m, y 2 22 , 2 , 2 , 2 )。 3.90 设 1, 2 , n, 为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量 只 取正整数值， 23 且与 n,n 1 独立，证明: E k k 1 E k 1k P( k) 证:E k k 1 E E( k) k 1 s 1 s E k P( s) k 1 s E k P( s) s 1 k 1 k 1 E k P( s) s k E k 1k P( k) 3.91 求下列连续型分布的特征函数: (1)(,a,a)上的均匀分布(a 0)， (2)柯西分布，其密度函数为 p(x) a 1 (x,b),a22 ,(a 0) (3)T,分布，其密度函数为 ,1, x x ep(x) T( ) 0 x 0x 0 ( 0, 0) 解:(1) (t) a ea,aeitx 12a dx sinatat aitb 2(2) (t) itx,a a 1 (x,b),a22dx e eitu , u,a 22a eitb costu u,a220du 由拉普拉斯积分 cos x ,x (3) 0 22 2 e, ,( , 0),得 (t) eibt,at (t) e / ( ) x0 itx ,1 edx / ( ) e0 ,1 (it, )xit, ,1 xdx / ( ) ( )/( ,it) (1,) 24 (1, it ) , 3.93 若 (t)是特征函数，证明下列函数也是特征函数:(1) n (,t);(2) (t);(3) (t) ( 2 2 为正整数) 证:(1)若 (t)是随机变量 的特征函数，则 (,t)是随机变量 , 的特征函 数; (2)若 与 独立同分布，其特征函数为 (t)。则 (t) 2 (t) (,t)是随机变量 , 的特征函数; 1, , n独立分布，其特征函数为 (t)。则 (t) 是随机变量 (3)若 征函数。 3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数: 1 sint (1)cost;(2)cos2t;(3);(4) (5),it。 ; 1,it2e,1t n ni 1 i的特 1 2 证:(1)cost 12 e it , 12 e ,it ，所以cost是两点分布 的特征函数。 (2)cost 2 12 , 14 e 2it , 1 e ,2it ，所以cost是三点分布 2 的特征函数。 x) e (3)密度函数为p( 11,it ,x ,x 0;p(x) 0,x 0的指数分布的特征函数为 x 11,it ，所以 是密度函数为p(x) e,x 0;p(x) 0,x 0的分布的特征函数。 sint (4)[,1,1]上均匀分布的特征函数为随机变量和的特征函数为( sintt 2 )，即( t sintt ，所以互相独立且同为[,1,1]上均匀分布的两个 )是密度函数为 2 25 (2,x) 4 (2,x) p(x) 4 0 ,2 x 00 x 2 其它 的分布的特征函数。 (5) 2e 1 ,it ,1 k 1 12 k ikt ，所以 12e ,it ,1 是几何分布 12 k P( k) ,k 1,2,3, 的特征函数。 3.95 试举一个满足(1) (,t) (t)，(2)| (t)| (0) 1，但是 (t)不是特 征函数的例子。 解:令 (t) 1 0 t 0t 0 则 (t)满足(1)，(2)，但 (t)在t 0点不连续，故 (t)不是特征函数。 3.96 证明函数 |t| 1, (t) a 0 |t| a|t| a (a 0) 是特征函数，并求出它的分布函数。 解:由于 , (t) t 1, dt a ,a a a 故欲证 (t)是特征函数，仅须验证 12 ,itx p(x) , e (t)dt 12 a ,a e ,itx t 1 1, dt a a t 11,cosax 1, costxdt 2 a ax 是密度函数由于p(x) 0， , p(x)dx a x sin 2 ax2 2 ax dx 2 2 siny 22 y dy 1， 所以 (t)为特征函数，其分布函数为 26 F(x) x , 2 at 11,cosat dt。 3.97 设 (t)是一个特征函数。h 0，证明: h(t) p(t) sinthth 也是特征函数。 证:设 与 相互独立， 的特征函数为 (t)， 服从 ,h,h 上的均匀分布， 的特征函数为 sinthth ，则 sinthth 是 , 的特征函数。 1 n i 3.98 设 1, 2, , n为n个独立同柯西分布的随机变量，证明 a 1(x,b),a1n n 2 2 n i 1 与 1有相同的分布。 n 证:柯西分布p(x) 的特征函数 (t) e ibt,at .故 1n i的特征函数为 i 1 t n n e ibt,at .所以 i与同分布。 i 1 n 3.99 设 1, 2, , n为独立同T,分布的随机变量，求 i的分布。 i 1 解:T,分布p(x) , T( ) x ,1 e , x ，x 0;p(x) 0，x 0的特征函数 it (t) 1, n 。故 i的特征函数为 i 1 (t) n n it 1, ,n ， n 所以 i也是T,分布，其密度函数为p(x) i 1 T(n ) x n ,1 e , x ，x 0;p(x) 0， x 0。 3.100 设二维随机变量, , ,具有联合密度函数为 1 1,xy(x2,y2) p(x,y) 4 0 x 1,y 1 其它 证明: , 的特征函数等于 ， 的特征函数的乘积，但是 与并不相互独立。 27 证:p , (z) , p(x,z,x)dx ,2 x 0 0 x 2 其它。 2 (2,x)4 (2,x)4 0 sint , 的特征函数为 。 t p (x) 12,,1 x 1;p (x) 0,x 1.p (y) 2,,1 y 1;p (y) 0,y 1。 故 与 的特征函数皆为sint t，所以 , 的特征函数等于 、 的特征函数的乘积。由 p(x,y) p (x) p (y)，故 与 不互相独立。 3.101 设随机变量 服从柯西分布，其特征函数为e,t，又令 a (a 0)，证明 , 的特征函数等于 、 的特征函数的乘积，但 与 不独立。 证:由 的特征函数 (t) e,t推得， a 与 , 的特征函数分别为 (t) e,at与 , (t) e 倘若 ,(a,1)t，故 , (t) (t) (t)。 相互独立，令 的分布函数为F(x) 2与 ，则F(x) P( x, ax) P( x) P( ax) P( x) P( x) F(x) ， 故F(x) 0或1，此与 服从柯西分布相矛盾，故 与 互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数(说明理由): (1)sint;(2)1,t 1,t2;(3)ln(e,t);(4)11,it;(5)1 ,1,t,22。 解:(1)不是，因为sin0 1。 (2)不是，因为当,1 t 0时，1,t 1,t2 1。 (3)不是，因为ln(e,t) 1不成立 1 1,it (4)不是，因为 (t) (,t)。 (5)是的，拉普拉斯分布p(x) 1 2 e,x的特征函数为1 1,t2，所以1,1,t,22也是特征 28 函数。 29