解一阶常微分方程

解一阶常微分方程 1.知识准备   1. 1 变量分离方程   形如                     () 的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数． 如果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到 ， 为任意常数．由该式所确定的函数关系式就是常微分方程()的解． 1. 2 积分因子     恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念． 如果存在连续可微函数，使得 为一恰当微分方程，即存在函数，使 ， 则称为方程的积分因子． 函数为积分因子的充要条件是 ， 即 ． 假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条件是，即仅是关于的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为．同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程()的一个积分因子为 1. 3恰当微分方程 考虑微分形式的一阶微分方程()，如果该式的左端恰好是某个二元函数的全微分，即 则称()为恰当微分方程． 对于一阶微分方程 ， 若有，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解．我们可以把看作只关于自变量的函数，对它积分可得，由此式可得  ， 又因为有，故 ， 对该式积分可得 ， 将该式代入，得恰当微分方程的通解为 ． 2.基本方法 2. 1一般变量分离 形如                           () 的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数． 如果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到 ， 为任意常数．由该式所确定的函数关系式就是常微分方程()的解． 2. 2齐次微分方程 2. 2. 1齐次微分方程类型一 一阶线性微分方程 其中在考虑的区间上是的连续函数,若,变为 称为一阶齐次线性微分方程,若称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为 这里是任意常数. 2.2.2齐次微分方程类型二 有些方程本不是可分离变量微分方程的类型，但经过变量变换可化为分离变量的微分方程．可分为三种情况来讨论:     的情形 这时，有 因此,只要作变换,则方程就转化为变量分离方程.   的情形. 这时方程可写为 令,则方程化为 这是变量分离方程.   及不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是的一次多项式,因此 代表平面上两条相交的直线,设交点为,若令 则化为 从而变为 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解. 2. 3常数变易法 一阶线性微分方程 其中在考虑的区间上是的连续函数,若,变为 称为一阶齐次线性微分方程,若称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为 这里是任意常数. 现在讨论非齐次线性方程的通解的求法. 不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数变易为的待定函数,使它满足方程,从而求出为此,令 微分之,得到 以代入得到 即 积分后得到 这里是任意常数.将代入得到 这就是方程的通解. 3.基本方法的应用 3. 1. 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例       例1 求解方程       解  将变量分离，得到                             两边积分，即得                                   因而，通解为                                   这里是任意正常数，或者解出，写出显函数形式的解 3.1.2应用举例   例2 求解方程                         的通解，其中的连续函数   解  将变量分离，得到  两边积分，即得 这里是任意常数。由对数定义，既有 ， 即       令，得到                                           此外，显然也是方程的解，如果允许中允许则也就包括在中，因而的通解为，其中为任意常数。 3. 2齐次微分方程应用   3.2.1类型一应用举例         例1 求解方程         解  这是齐次微分方程，以代入，则原方程变为                                 即                                          将上式分离变量，既有 两边积分，得到 这里是任意常数，整理后，得到 = 得到 此外，方程还有解 如果在中允许，则也就包括在中，这就是说，方程的通解为 带回原来的变量，得到方程的通解为   3.2.2类型一应用举例       例2 求解方程（）       解  将方程改写为                                     这是齐次微分方程.以代入，则原方程变为                                                     分离变量，得到                                     两边积分，得到的通解                                 即当时，                                   这里c时任意常数.此外，方程还有解                                   注意，此解并不包括在通解中. 代回原来的变量，即得原方程的通解为                   当 及. 3.2.3类型二应用举例 例3  求解方程． 解  方程可化为，令，将代入上式， 可得，易知是上式的一个解，从而为原方程的一个解．当时，分离变量得，两边积分得，故可得原方程的通解为．   3.2.4类型二应用举例 例4  求解方程. 解  令,则有 , 代入所求方程 , 整理可得 , 由变量分离得 , 故所求方程的解为 . 3. 2. 5类型二应用举例 例5 求解方程       解  解方程组 得令 代入上式方程，则有                               再令则上式可化为                                                       因此                             记并带回原变量，得 此外容易验证                             即                           也是方程的解 ，因此方程的通解为                         其中为任意的常数. 3. 3利用积分因子求解       例6 求解方程       解  这里方程不是恰当的。 因为只与有关，故方程有只与的积分因子                       以乘方程两边，得到                         或者写成                         因而通解为                           3. 4利用恰当微分方程求解 例7 求解方程       解  因为，故方程是恰当微分方程。把方程重新分项组合，得到                         ， 即                         或者写成                         于是，方程的通解为                         这里是任意常数