分类计数原理与分步计数原理

分类计数原理与分步计数原理 《分类计数原理与分步计数原理》 教学实录 宝鸡市教学研究室 巨申文 ：10.1 分类计数原理与分步计数原理（人教版数学第二册） ：新授课 ： 1．教学内容与地位： 排列与组合是中学数学里比较抽象、难学的一个内容。分类计数原理和分步 计数原理是在人们大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，他们不仅是 推导排列数、组合数计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 的依据，而且其基本思想方法贯穿在解决本章 应用问题的始终。学生首先掌握这两个原理，有利于抓住解决问题的要害。 所以，这一节的内容是今后学习的重要基础。突破这个关键点，也就为后面 的教学铺平了道路。 2．教学重点与难点： ：理解分类计数原理和分步计数原理的意义； ：运用两个原理解决一些简单的应用问题； ：理解“分类”和“分步”的思想方法。 ： 1．学生的知识基础： 上课班级是一群思想活跃，热爱学习，基础较好的高二新生。他们已经积累 了一定的抽象学习的经验。比如，在高一学过函数，在高二又学过了圆锥曲 线和立体几何的知识。 2．学生的身心特点： 该班高二新生都处于青年初期的身心发展阶段，具有思维敏锐、勇于探索、 敢说敢做、善于 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现的个性特点，所以，这时学习排列组合的内容，既有了 抽象思维的思想准备和学习经历，又有正处于求知欲旺盛时期的身体心理条 件，也有自主学习的方法基础。只要教师引导得当，点拨到位，教学目标就 一定会实现。 ： 1，知识与技能目标 （1） 理解分类计数原理与分步计数原理 （2）针对“分类”、“分步”情况，能正确的求出方法种数 2．过程与方法目标 （1）经历归纳两个原理的过程，体会两个原理的意义； （2）积累解决“分类”、“分步”计数问题的经验，奠定学习排列组合知 识的基础。 （3）体会将一个问题进行“分类”思考和进行“分步”思考的数学思想 方法。 3．情感、态度、价值观目标 通过学习和应用分类计数原理与分步计数原理，培养周密思考、细心分 析的良好学习，感受两个原理的重要性和基础性，在解决有关问题的过程中， 1 享受解题成功后的愉悦。 ：抽象是难学的一个主要原因。解决的方法是使问题具体化。所以， 讲好例子，举好例子，多举例子----熟练“模型”，理解四则运算的意义， 运用对比的方法比较它们的异同，这是运用教师点拨引导、学生自主探究教 学方法的必要而基本的前提。 师：在开始本节的学习之前，我先问两个最基本的小学数学问题。第一个问题， 加法的意义是什么？你能举例说明吗？ 生1：加法是把两个数和为一个数的运算。例如，框子里有3个苹果，桌子上有 2个香蕉，求共有多少水果？就是3＋2＝5（个）水果。 师：回答的好。框子里是一类水果，桌子上是一类水果，求两类水果的总和（数）， 用加法。我的第二个问题是，你们知道乘法的意义吗？举例说明。 生2：乘法是求几个相同加数和的简便运算。如 2＋2＋2＝。 2，3师：举一个实际的例子。 生2：桌子上有2个苹果，抽厨里有2个苹果，框子里还有2个苹果，一共有2 ＋2＋2＝＝6个苹果。 2，3 师：你举的这个例子很有意思。今天我们学习两个计数原理，这是以后学习排列 组合知识的基础。排列组合是高中数学的重要内容，也是比较难学的一个知 识，计数原理是推导排列组合问题的依据，所以，今天的课对我们以后学习 有关知识非常重要。 先看一个例子（一边说，一边写）： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2 班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ （说明：教师一边读写，画出如下示意图，顿了顿，接着说） 师：题中告诉我们什么事情？ 生：要从甲地到乙地。 师：要我们做什么？ 生：求“乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？” 师：好，我们要完成“从甲地到乙地”这样一件事情。题中已经告诉你有几类方 法？ 生3：两种。一种是坐火车，一种是坐汽车。 （说明：老师说“类”，学生说成“种”） 师：对的，是两类，一类是坐火车，一类是坐汽车。我们想，不管是坐火车，还 是坐汽车，是不是都能把“从甲地到乙地”这样一件事情完成了？ 生：都能完成。 2 师：可以看出，从甲地到乙地的走法有两类，坐火车是一类办法，坐汽车是另一 类办法。坐火车中的任意一趟也好，坐汽车中的任意一趟也好，他们必属于 某一类；如果说坐火车1是第一类方法，坐汽车2是第二类方法，他们分别 属于两类方法中的不同类，因此我们说坐火车1和坐汽车2是不同的方法， 这一点我们能明白吗。谁再说一下。 生4：是的，完成“从甲地到乙地”这样一件事情的一种方法属于某一类并且只 属于这一类，不同类之中的方法是不同的两种方法。 师：题中告诉说从甲地到乙地坐火车有3班，坐汽车有2班，乘坐这些交通工具 从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 生1：两类走法都是能够完成任务的一类方法，属于同类的，可以求和，用加法。 3加2等于5，有5种走法。 （说明：加法的意义） 师：是的，5种。由这个例子就会引出一个道理： 一般情况下，完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，1 mm在第二类办法中有种不同的方法，„„在第n类办法中有种不同的方n2 法，那么完成这件事共有 mmmN=++„+ n12 种不同的方法。 这就是我们今天学习的“分类计数原理”（教师再次引导学生说一遍，接着 板 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ） 师：分类计数原理告诉我们:如何去求“在完成一件事有n类办法时”，各类办法 的方法总数之和.要用加法计算，所以又叫做加法计数原理。在以后运用这 个原理解题时必须明白以下三点：（1）完成这件事情有几类办法。（2）分成 几类的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是什么。（3）每一类中的一个方法能不能完成这件事情。回过去 想一想引例1，你明白了吗？ 生5：从甲地到乙地有两类办法。分类的标准是交通工具的种类（火车、汽车）。 坐火车2能从甲地到乙地，坐汽车2也能从甲地到乙。每一类中的一个方法 都能独立的完成此事。 师：回答的很好。其实分类计数原理就是将一个问题进行“分类”思考的。所谓 “做一件事，完成它可以有n类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办 法的一个分类．各类办法相互独立，都能完成这件事情。分类时，首先要根 据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类； 其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于 某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，简言之，完成这 件事情的任意一个方法是“既不重复也不遗漏”。只有满足这些条件，才可 以用分类计数原理． 下面大家完成课本86页练习1（1）。 （待学生完成填空，进行下一个片断） 师：我们再看下面的问题。 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再与次日从丙地乘汽车 到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲 3 地到乙地共有多少种不同的走法？ （沉思片刻） 师：这个问题与前一个问题一样不一样？ 生6：引例1和引例2都是研究从甲地到乙地共有多少种不同的走法的问题。 师：从问题要求的结果看是这样的。很明显它们又是不同的问题，请找出它们的 不同之处． 生2：在引例1中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙 地．而在引例2中，必须经过先乘火车、后乘汽车这两个步骤，才能从甲地 到达乙地．所以，两个问题完成任务的过程不一样。 师：（教师一边读题，一边 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ）在引例2中， 如果只坐火车，或只坐汽车，都不能到达乙地。也就是说，只进行其中的一 个步骤，这件事情完不成。只有把火车坐完，再坐汽车，这两个步骤都完成 了，这件事情才算完成。（用图形表示如下） 师：大家现在可以把所有的走法列举出来. 生7： 火车1——汽车1； 火车1——汽车2； 火车2——汽车1； 火车2——汽车2； 火车3——汽车1； 火车3——汽车2． 共6种走法。 师：生7用列举的方法把各种走法写了出来，共有6种。列举法在种类数比较少 的时候直观方便，但不利于发现一般规律。有没有一般性的道理？ 生3：是不是这样：比如你第一天坐火车1，那么，第二天就有两种选择，坐汽 车1或坐汽车2；火车有3班，坐每一班都对应两种选择，所以，一共就有 种走法。 2，3 （说明：乘法的意义起了作用。） 师：分析的很好。对于第一步中的一种走法，总有第二步中的两个走法对应。而 第一步共有三种走法，这三种走法的每一个都对应第二步的两个走法。所以 用乘法计算。一般情况下，我们就得到又一个“原理”（板书 2分步计数 原理） m完成一件事情，需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第2步1 mm有种不同的方法，„„，做第n步有种不同的方法。那么完成这件事n2 共有 ，，，mmmN= „ n12 种不同的方法。 师：与分类计数原理一样，由于分步计数原理在计算所有方法种数时，用的是乘 法，所以我们也把分步计数原理叫做乘法原理。 生7：能不能说这个问题是“分步”思考的？ 4 师：就是“分步”思考的。这里还要注意三点： ?各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘。 ?分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标 准下分步； ?完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．如“火车 1——汽车1”，这个方法必须并且只需连续完成火车1和汽车1这两个步骤。下面大家完成课本86页练习1（2）。 （待学生完成填空，又开始下一个片断） 师：现在看例1，（待学生阅读完后）谁来给咱们分析一下第（1）问？生9：从书架上任取一本书，可以从第一层取，也可以从第二层取，还可以从第 三层取，从任一层取一本书都完成了取书这件事情。所以用加法原理。 师：你的意思是不是这样：要完成从书架上任取一本书这件事情，共有三类办法， 第一类有4种方法，第二类有3种方法，第三类有2种方法，根据分类计数 原理（板书），不同取法种数是 m N=m＋m＋＝4＋3＋2＝9 312 现在有一个问题：这三类取法是按什么分的？ 生：是按书架的层数分的。 师：第（1）问解决了，第（2）问怎么做？即从书架的第1、2、3层各取一本书，有多少种不同的取法？ ，，生10：432＝24. 共有24种不同的取法。 师：能说说你的想法吗(学生说，教师板书解题过程)？ 生10：从书架的第1、2、3层各取一本书，可以分成3个步骤完成： 第一步从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第二步从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第三步从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取一本书，不同取法的种数是 ，，，，mmmN= ＝4 3 2＝24. 答（略） 312 师：请同学们把课本翻到86页，完成练习2。 （很快，同学们都完成了练习，老师比较满意。从教案中抛出下面稍有难 度的问题。） 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ 师：这个问题怎么去解？谁来说说自己的想法。 生1：我还没有头绪。 师：请坐下。我们知道，两位数共有90个。题中要求“个位数字比十位数字大” 据此，你能得到那些信息？ 生11：个位上的数字最小应该是2，十位上的数字最大是8。 师：回答的很对。结合这些信息，谁能说说这个问题的解法？ 5 生2：可以。可以按个位数分类。 分析个位数字，可分以下几类． 个位数字是9，则十位可以是1，2，3„，8中的一个，故有8个； 个位数字是8，则十位可以是1，2，3„，7中的一个，故有7个； 同理： 个位是7的有6个； 个位是6的有5个； „„ 个位是2的只有1个． 由分类计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋„+7+8=36（个）. 师：回答的正确。（师生一同板书解题过程） 生8：老师，能不能用十位上的数字去分类？ 师：大家想一想，行不行？ 生：与上面的解法类似。 师：分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关作一件事的不同方法种数的 问题。他们的区别在那里？ 生8：分类计数原理中每一个方法都能完成这件事情，而分步计数原理中的每一 步中的一个方法是不能完成这件事情的。 师：我们现在列一个表格，比较一下两个原理的区别（教师随手画出下表） 原理（名称） 针对的问题类各种方法之间点的其中任意一中方法的 型 关系 效果 分类计数原分类 相互独立 完成 理 分步计数原分步 相互依存 完不成 理 在学生讨论的基础上，师生完成上表（划线部分的内容）。 师：哪位同学再完整的用自己的语言说说这两个原理的区别。 生11：分类计数原理和分步计数原理的共同点是它们完成一件事情，共有多少 种不同的方法．区别在于完成一件事情的方式不同：分类计数原理是“分类 完成”，即任何一种办法中用任何一个方法都能独立完成这件事；分步计数原 理是“分步完成”，即这些方法需要分步骤顺次相依，且每一个步骤都完成了， 才能完成这件事情．区分分类还是分步的关键是看经过这个过程，有没有完 成整个事情． 师：下面看 2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？ 师：题目要求什么？ 生12：组成一个四位号码数。 师：也就是组成一个四位数，是分类？还是分步？ 6 生：分步。 师：分几步？ 生：分4步。 师：好吧，谁说说解题过程。 生13：解 由题意可知，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的 四位数字号码的个数是 ，，， N=10101010=10000. 答：（略） 师：如果我对例2加一个条件：“数字不能重复使用”，你能求出这时可以组成多 少个四位数字号码 生：（思索一会）也用分步计数原理。 师：为什么？ 生1：分四步，第一个拨号盘可以从0到9这10个数字中选一个，有10中方法； 由于数字不能重复，第二个拨号盘就只能从剩下的9个数字中选一个，有9 种方法；依此类推，第三个拨号盘有8种选法；第四个拨号盘有7种选法； 四个拨号盘上都选出来，才完成一个号码的选择，根据分步计数原理，所有 的方法这时是 ，，， N＝10987＝5040. 师：完全正确。大家能理解吗？ 生：可以！ 师：现在我们回头想一想，这节课都学到些什么？ 生：分类计数原理与分步计数原理 师：能再具体一些吗？ 生14：探究归纳出分类计数原理与分步计数原理，即怎样解决“分类”计数和 “分步”计数的问题。 师：正确使用分类计数原理、分步计数原理的关键在于：明确事件需要“分类” 完成还是“分步”完成.“分类”就用分类计数原理，“分步”就用分步计数 原理.分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性——；分 步时要注意“步”与“步”之间的连续性——.谁还有自己的看 法？ 生15：应用分类计数原理的关键是：恰当分类，做到不重不漏；应用分步计数 原理的关键在于分步，要正确设计分步程序．是这样吗？ 师：是的！ 师：（出示小黑板）练习： 1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不 经过乙地到丙地有2条水路可走． （1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ （2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、„、19、 20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装 着10张分别标有数1、2、„、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数 作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？ 7 今天的作业：课本87页1、2、3 ?10.1 分类计数原理与分步计数原理 引例1 一、分类计数原理 例1 引例2 二、分步计数原理 例2 小结 作者 巨申文 陕西省宝鸡市教学研究室（宝鸡市西关电大院内） 邮编 721001 电话 0917－2818579（办） Email qwenju@163.com 2005-12-27 8