考虑随机性与模糊性的结构广义可靠度理论 - 中国力学学会

考虑随机性与模糊性的结构广义可靠度理论 - 中国力学学会 考虑随机性与模糊性的结构广义可靠度理论 1121吕大刚 宋鹏彦 刘玉斌 王光远 1. 哈尔滨工业大学 土木工程学院，黑龙江 哈尔滨 150090 2. 大连民族学院 土木工程系，辽宁 大连 116600 摘 要:随机性和模糊性是结构工程中的两种主要不确定性，过去将只考虑模糊性的结构可靠度理论(称为“模糊可靠度理论”)以及同时考虑随机性与模糊性的结构可靠度理论(称为“模糊随机可靠度理论”)统称为“广义可靠度理论”。本文发现，结构广义可靠度理论的内容还可以做进一步拓展:首先，经典的结构可靠度理论只考虑随机性中的物理不确定性，而同时考虑统计和模型不确定性的结构统计可靠度理论则属于“双重随机可靠度理论”，它也是一种广义的结构可靠度。其次，含有模糊参数的模糊变量也可以引发结构的模糊可靠性问题，本文称其为“双重模糊可靠度理论”。第三，以往的研究通常将同时考虑随机性和模糊性的“随机模糊性”与“模糊随机性”混为一谈，通过本文的研究，发现这是两种完全不同的混合不确定性。“随机模糊性”针对的是随机的模糊事件，所采用的“随机模糊变量”是从可能性空间到随机变量的映射，其实质是一个取值为随机量的模糊变量，这也就是Zadeh所定义的模糊事件的概率问题。“模糊随机性”针对的是模糊的随机事件，所采用的“模糊随机变量”是从概率空间到模糊集类的映射，其实质是一个取值为模糊数的随机变量，这也就是一般文献所说的随机事件的模糊概率(或语言值概率)问题。区分开这两种不同的混合不确定性以后，将产生两种不同的混合广义可靠度理论:“随机模糊可靠度理论”和“模糊随机可靠度理论”。对于前者，可以采用我们所提出的基于随机模糊事件满足度的模糊概率法进行求解;对于后者，可以采用我们所提出的两套模糊随机变量理论进行求解。 关键词:广义可靠度;双重随机可靠度;双重模糊可靠度;随机模糊可靠度;模糊随机可靠度 1 引 言 文[1]中指出，不确定性信息可以分为三类:未来事物的随机性、客观认识的模糊性、主观认识的未确知性。随机性和模糊性是结构工程中的两种主要不确定性，属于强不确定性;而未确知性则是一种弱不确定性，这种“弱”主要是以参数的形式体现在随机变量或模糊变量中。当未确知性信息以主观概率的形式体现在随机变量中时，即出现“双重随机现象”;而当未确知性信息以主观隶属度的形式体现在模糊变量中时，则会出现“双重模糊现象”。 过去将只考虑模糊性的结构可靠度理论(称为“模糊可靠度理论”)以及同时考虑随机性与模[1]糊性的结构可靠度理论(称为“模糊随机可靠度理论”)统称为“广义可靠度理论”。本文发现，结构广义可靠度理论的内容还可以做进一步拓展:首先，经典的结构可靠度理论只考虑随机性中的物理不确定性，而同时考虑统计和模型不确定性的结构统计可靠度理论则属于“双重随机可靠度理论”，它也是一种广义的结构可靠度。其次，含有模糊参数的模糊变量也可以引发结构的模糊可靠性问题，本文称其为“双重模糊可靠度理论”。第三，以往的研究通常将同时考虑随机性和模糊性的“随机模糊性”与“模糊随机性”混为一谈，通过本文的研究，发现这是两种完全不同的混合不确定性。“随机模糊性”针对的是随机的模糊事件，所采用的“随机模糊变量”是从可能性空间到随机变量的映射，其实质是一个取值为随机量的模糊变量，这也就是Zadeh所定义的模糊事件[2]的概率问题。“模糊随机性”针对的是模糊的随机事件，所采用的“模糊随机变量”是从概率空间到模糊集类的映射，其实质是一个取值为模糊数的随机变量，这也就是一般文献所说的随机事件[1]的模糊概率(或语言值概率)问题。区分开这两种不同的混合不确定性以后，将产生两种不同的混合广义可靠度理论:“随机模糊可靠度理论”和“模糊随机可靠度理论”。对于前者，可以采用基于随机模糊事件满足度的模糊概率法进行求解;对于后者，又可以考虑两类不同的情况:第一种情况是模糊因素以参数形式体现在随机变量的分布函数中，第二种情况是模糊随机因素以参数形式体现在模糊集合的隶属函数中，对于这两种不同的情况，可以采用我们所提出的两套模糊随机变量理论分别进行求解。 1 2 结构的双重随机可靠度理论 结构工程中的随机性包括物理不确定性、统计不确定性和模型不确定性，一般认为物理不确定性是一种客观不确定性(Aleatory Uncertainty)，而统计不确定性与模型不确定性则属于主观不确定性(Epistemic Uncertainty)。文[1]将“未确知性信息”定义为:由于条件限制，在进行决策时必须利用，但尚无法确知的信息;也就是说，它是由于决策者所掌握的证据不足以确定事物的真实状态和数量关系而带来的纯主观的认识上的不确定性。从该定义可以看出，统计不确定性和模型不确定性正是未确知性的二种具体表现形式。 假设影响结构的物理不确定性随机向量为，其联合概率密度函数已知。结构的最大反Xf()xX 应和抗力均为X的随机函数，相应的功能函数为，结构的有效S()XR()XgRS()()()XXX,, 域为，因此结构的纯随机可靠度为 ,,,xXg()0,, ,,,,Pgfd[()0]()xxx (1) X,, 在文[3]中，我们将同时考虑统计与模型不确定性的结构可靠度理论称为“统计可靠度理论”。如果从未确知性的角度看，这是一种同时考虑随机性和未确知性的广义可靠度理论。由于未确知性是一种弱不确定性，因此统计与模型不确定性是以参数的形式体现在结构可靠度的模型中，如果采用主观概率的方法来统一处理这两种不确定性，那么这就构成了“双重随机可靠度理论”。 在结构的双重随机可靠度理论中，统计不确定性是以参数的形式体现在随机向量的联合概率密度函数中，而模型不确定性则以参数的形式体现在极限状态函数中。将具有统计和模f()xg()xX 型不确定性的参数向量分别用和来表示，进一步将这两种未确知性向量表示成θθfg ，则结构的双重随机可靠度问题可以表示成: θθθ,[,]fg ,,()(,)θfdxθx (2) Xf,g(,)0xθ,g θ由于参数具有未确知性，若采用主观概率来度量，则可靠度和相应的可靠指标,()θ ,1也将成为随机变量，我们在文[3]中提出了此种类型广义可靠度的求解方法。 ,()θ,,,[()]θ 3 结构的双重模糊可靠度理论 对于只考虑模糊不确定性的纯模糊可靠度问题，国内外已做了较多研究，而对于具有模糊参数的模糊可靠度问题，即双重模糊可靠度问题，目前还研究得不多。 双重模糊可靠度问题主要来源于同时存在模糊性和未确知性的情形，此时，未确知性以主观隶属度方式并以参数的形式体现在模糊变量中。 首先考虑结构的纯模糊可靠度问题。我们在文[4]中曾提出将归一化的可能性分布函数 ,,,()/()xxdxfx()作为模糊变量的分布密度函数，将的累积分布函数定义为 ,,,,,,,,x,Fxuduudu()()(),,, (3) ,,,,,,,,, 模糊变量的数学期望定义为 , ,,,Exfxdxxxdxxdx[]()()(),,,,, (4) F,,,,,,,,,,,, ～～sr结构的纯模糊可靠度可以定义为模糊反应落在模糊抗力范围中的可能性: ,,,～～～,,,,,Poss()()()()()()[]srsfsdsssdssdsE,,,,, (5) ～～～～～～rsrssrF,,,,,,,,, ～～sr,()r,()s式中，是模糊抗力的隶属函数。当模糊变量的可能性分布函数取其模糊约束的隶～～rs ,()s属函数时，式(4)即为文[1]提出的基于“广义模糊约束满足度”的模糊可靠度表达式。 ～s ～～sr,若模糊反应和模糊抗力中分别含有模糊参数,和(这里只考虑模糊变量，不难将本文的结论推广到模糊向量情形)，则定义双重模糊安全准则如下: 2 ～～～～ (6) ,,, sr()(),,, 在该安全准则下，式(5)中的模糊可靠度成为模糊参数和的函数，假设的实,,,,(,),,, V现为，并设的值域为，可得的可能性分布函数为 vv,(,),, (7) ,,,()()()vxy,,,，，,,,(,)xyv,, 根据模糊变量分布密度函数的定义和模糊数学期望的性质，可以得到消除未确知性的结构模糊可靠度为 vxydv,,,,()()，，,,,V,,(,)xyv (8) ,, ,,()()xydv,,，，,,,V,,(,)xyv 4 结构的随机模糊可靠度理论 “随机模糊性”针对的是随机的模糊事件，所采用的“随机模糊变量”是从可能性空间到随机变量的映射，其实质是一个取值为随机量的模糊集合，这也就是Zadeh所定义的模糊事件的概率问[2]题。 [1,5,6]随机模糊可靠度理论是我们最早研究的一类一般性的广义可靠度理论，这类问题主要来源于随机性和模糊性这两种强不确定性同时存在的情形，此时，随机因素以参数形式体现在模糊集合 ～～的隶属函数中，结构的随机模糊安全准则可用来表示，相应于此安全准则的模糊有～SR()()XX, 效域可表示为 ～～～～,,,xXXSR()() (9) ,, ～X它是使结构最大反应在不同程度上满足上述随机模糊安全准则的随机向量的那些实现构xS()X 成的模糊集合。 ～～在文[1]中，我们将模糊最大反应的隶属函数,(,)sx与其模糊允许范围的隶属函R()XS()X～S ～数,(,)rx图形的相对位置定义为对模糊有效域,的满足度: ～R ,,,(,)(,)ssdsxx～～RS,,,,,()()xx (10) ,,～,,(,)sdsx,～S,,, 对比式(10)和式(5)，发现满足度其实就是在只考虑模糊性情况下的纯模糊可靠度。 ,()x X式(10)中的是随机向量的实现，根据随机模糊事件的概率计算公式，结构的随机模糊可靠x 度可按下式多重积分求得: ,～,,,,,PfdE[]()()(),,xxxx，， (11) ～～XR，，,,,,, ,式(11)的最后一个等式表明，结构的随机模糊可靠度也就是结构反应对模糊有效域的隶属度的概率数学期望值。结构的纯随机可靠度式(1)和纯模糊可靠度式(5)是式(11)的两种特例。 5 结构的模糊随机可靠度理论 “模糊随机性”针对的是模糊的随机事件，模糊随机可靠度问题主要来源于模糊性和随机性这两种强不确定性同时存在的情形。这种情形又可以进一步考虑两类不同的情况:第一种情况是模糊因素以参数形式体现在随机变量的分布函数中，第二种情况是模糊随机因素以参数形式体现在模糊集合的隶属函数中，这两种情况需要采用不同的模糊随机变量理论进行求解。 5.1 基于第一类模糊随机变量的模糊随机可靠度理论 对于模糊因素以参数形式体现在随机变量的分布函数中的情况，结构的安全准则、功能函数和极限状态方程等都需要以模糊随机变量来刻画。 3 目前模糊随机变量的定义主要有两类。第一类模糊随机变量定义为从概率空间到模糊集类的映射，其实质是一个取值为模糊数的随机变量，这也就是一般文献所说的随机事件的模糊概率(或语[7,8]言值概率)问题。 设是一个概率测度空间，表示上的全体有界闭模糊数所组成的F() (,,),AP ,,,,(,)0 集合，模糊集值映射: ～～ (12) XX:(),(),,F !,,0 ～,,BB称为模糊随机变量，如果是上的实可测模糊集值函数，即对，，X(,,),AP,,,(0,1]有 ,1～ (13) XXB(),(),,,,,,,,,,:A,,,,B ～～,B其中，为上全体Borel集所组成的集合，是的水平截集，是集合的特征 ,X(),X(),BB, 函数。 ,，～可以证明，若是模糊随机变量，则对，是X,,,(0,1](,,),APXXX()[(),()],,,,,,, 上的一个随机区间，并且下式成立 ,，～ (14) XXX()[(),()],,,,,:,,(0,1],, 式(14)实际上是模糊随机变量的分解定理，表明一个取值为模糊数的模糊随机变量可以分解成一系列随机区间，正如模糊数可以分解成一系列确定性的区间(水平截集)一样，后者可看成是前者的特例。 [6,9]～设影响结构可靠度的基本模糊随机向量为，引入结构的模糊极限状态方程如下: X ～～～～～ (15) ZgXRSb,,,,() ～～式中，S为模糊随机功能函数;和分别为结构的模糊随机综合抗力和模糊随机荷载效应;Rg(), ～～是一个有界闭模糊数，称为模糊随机极限状态值，b的取值可采用模糊统计或模糊综合b,F() 0 评判的方法确定。 [6,9]根据模糊随机变量的序关系，可以定义模糊安全准则为: ～～～,, SR (16) ,, ,根据式(14)和区间数的运算规则，可求得式(15)的-约束水平极限状态方程为 ,,，, (17a) ZRSb,,,,,,, ，，,， (17b) ZRSb,,,,,,, ～～,SR假设和均为正态模糊随机变量，则可分别求得-约束水平条件下的可靠指标: mmm,,,，,RSb,,,,,, (18a) ,22，,,,,RS,, mmm,,，,，RSb，,,,,, (18b) ,22，,,，,RS,, ～根据模糊集合的表现定理，可得模糊可靠指标为 , ,，～,,,,,:[,] (19) ,,(0,1],, 相应的取值为模糊数的模糊随机可靠度为 ,，～,,,,:,[,] (20) ,,(0,1],, ,,，，式中，,,,(),;,,,(),。 ,,,, 4 5.2 基于第二类模糊随机变量的模糊随机可靠度理论 ,1第一类模糊随机变量的定义要求对，均可测，这一要求在实际中验证起,,,(0,1]X(),,B ～～来并不方便。为此，第二类模糊随机变量不直接将定义为模糊随机变量，而是把作为X(),X(),[10]模糊随机变量取值的限制，这类似于Zadeh对模糊变量的定义。 ～设是概率测度空间上的严格正规模糊随机集，有隶属函数。,,(,)x(,,),AP,,()X(),～X 1称为从概率测度空间到一维模糊超可测空间上的实模糊随机变量，如果ˆ,(,,),AP(,,) ,, 1～在上取值，并受到的限制，使得 ,,()X(), (21) ,,(),x 有可能性 (22) ,,,,(,)(,)xx,～,X 称为的可能性分布函数。 ,,,(), 我们在文[11]中提出将归一化的可能性分布函数作为模糊随机变量的分布密度,,(,)x,,(), 函数: , (23) fxxdPxdPdx()(,)(,),,,,,,,,,,,,,,, 则的累积分布函数为 ,,() xx,FxudPduxdPdxfudu()(,)(,)(),,,,,, (24) ,,,,,,,,,,,,,,,,, 第二类模糊随机可靠度理论处理的主要是参数为实模糊随机变量的模糊随机可靠度问题。 ～～S和模糊随机抗力中分别含有模糊随机参数和(这里只考虑模糊随机变若模糊随机反应R,, 量，不难将本文的结论推广到模糊随机向量情形)，则定义模糊安全准则如下: ～～～～ (25) ,, SR(())(()),,,,,, ,在该安全准则下，式(5)中的模糊随机可靠度成为模糊随机参数和,的函数，假,,(,),, V,设的实现为，并设的值域为，可得的可能性分布函数为 vv,(,),, (26) ,,,,,,(,)(,)(,)vxy,,,，，,,,(,)xyv,, 根据模糊随机变量分布密度函数的定义和模糊随机数学期望的性质，可以得到消除随机性的模糊可靠度为 vxydPdv,,,,,,(,)(,)，，,,,,V,,,(,)xyv,, (27) ,,(,)(,)xydPdv,,,,，，,,,,V,,,(,)xyv 第二类模糊随机可靠度理论得到的是对模糊安全准则式(25)的满足度，实质上是对双重模糊可靠度理论的进一步拓广。 6 结 论 (1)结构的广义可靠度理论充分考虑了结构工程中存在的各种随机性、模糊性和未确知性信息，因而比只考虑随机性的经典可靠度理论更科学，内容也更丰富。 (2)当未确知性分别与随机性或模糊性共存时，由于未确知性是一种弱不确定性，因此将引起双重随机可靠性问题或双重模糊可靠性问题，这是以往的研究所忽视的两种重要的情况。 (3)随机性和模糊性是两种强不确定性，当它们共存时，将产生最具有一般性的混合不确定性。同时考虑这两种强不确定性的广义可靠性问题可以分为随机模糊可靠性问题和模糊随机可靠性问题，这是两类完全不同的广义可靠性。 5 (4)模糊随机可靠性问题又可进一步分为模糊因素以参数形式体现在随机变量的分布函数中的情况和模糊随机因素以参数形式体现在模糊集合的隶属函数中的情况，后一种情况是对双重模糊可靠性理论的进一步推广。 (5)工程结构设计的实质是属于不确定性结构分析与设计问题，根源在于所考虑的设计参数的各种不确定性，而可靠度则是协调结构安全性与经济性的最佳参数。因此，基于广义可靠性分析的结构优化设计将是更完美的设计理论和方法。 致谢 感谢国家自然科学基金(50678057, 50108005)、教育部留学回国人员科研启动基金、黑龙江省留学归国人员基金资助项目(LC05C01)、哈尔滨工业大学优秀青年教师基金等项目的资助。 参考文献 [1] 王光远. 工程软设计理论[M]，北京:科学出版社，1992. 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