工程数学线性代数课后答案__同济第五版

工程数学线性代数课后 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 __同济第五版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 第五章 相似矩阵及二次型 1, 试用施密特法把下列向量组正交化: 111,,,, (1), (, , ),124aaa123,,139,, 解 根据施密特正交化方法～ 1,,,, ～ b,a,111,,1,, ,1,,[,]ba12,, ～ ,,,0bab221,,[,]bb111,, 1,,[,][,]baba11323,, , ,,,,,2babb3312,,[,][,]3bbbb11221,, 11,1,,,,0,11 (2), (, , ),aaa,,123,101,,110,, 解 根据施密特正交化方法～ 1,,,,0 ～ ,,ba,,11,1,,1,, 1,,,,[,]ba,3112 ～ ,,,bab,,2212[,]3bb11,,1,, ,1,,,,[,][,]baba311323 ,,,,, babb,,33123[,][,]5bbbb1122,,4,, 2, 下列矩阵是不是正交阵: 67 11,,1,,,23,,11 (1); ,1,,22,,11,1,,32,, 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵, 184,,,,,,999,,814 (2), ,,,,999,,447,,,,999,, 解 该方阵每一个行向量均是单位向量～ 且两两正交～ 故为正交阵, TT 3, 设x为n维列向量～ xx,1～ 令H,E,2xx～ 证明H是对称的正交阵, 证明 因为 TTTTTTT H,(E,2xx),E,2(xx),E,2(xx) TTTT ,E,2(x)x,E,2xx～ 所以H是对称矩阵, 因为 TTT HH,HH,(E,2xx)(E,2xx) TTTT ,E,2xx,2xx，(2xx)(2xx) TTT ,E,4xx，4x(xx)x TT ,E,4xx，4xx ,E～ 所以H是正交矩阵, 4, 设A与B都是n阶正交阵～ 证明AB也是正交阵, ,1T,1T 证明 因为A～ B是n阶正交阵～ 故A,A～ B,B～ TTT,1,1(AB)(AB),BAAB,BAAB,E～ 故AB也是正交阵, 5, 求下列矩阵的特征值和特征向量: 2,12,,,, (1); 5,33,,,10,2,, 68 ,2,,12 3 解 ～ |A,,E|,5,3,,3,,(,，1) ,10,2,, 故A的特征值为,,,1(三重), 对于特征值,,,1～ 由 3,12101,,,,,,,,～ ，,5,23011AE~,,,,,10,1000,,,, T得方程(A，E)x,0的基础解系p,(1～ 1～ ,1)～ 向量p就是对应于特征值,,,1的特11征值向量. 123,,,, (2); 213,,336,, ,1,23 解 ～ |A,,E|,21,,3,,,(,，1)(,,9) 336,, 故A的特征值为,,0～ ,,,1～ ,,9, 123 对于特征值,,0～ 由 1 123123,,,,,,,,～ A,213~011,,,,336000,,,, T得方程Ax,0的基础解系p,(,1～ ,1～ 1)～ 向量p是对应于特征值,,0的特征值向111量. 对于特征值,,,1, 由 2 223223,,,,,,,,～ ，,223001AE~,,,,337000,,,, T得方程(A，E)x,0的基础解系p,(,1～ 1～ 0)～ 向量p就是对应于特征值,,,1的特222征值向量, 对于特征值,,9～ 由 3 ,,11,1,823,,,,1,,,9,2,8301,～ AE~,,,,233,3,,,,000,, 69 T得方程(A,9E)x,0的基础解系p,(1/2～ 1/2～ 1)～ 向量p就是对应于特征值,,9的333特征值向量, 0001,,,,0010 (3). ,,0100,,1000,, ,,001 ,0,1022 ～ 解|A,,E|,,(,,1)(,，1)01,0, 100,, 故A的特征值为,,,,,1～ ,,,,1, 1234 对于特征值,,,,,1～ 由 12 10011001,,,,,,,,01100110～ ，,AE~,,,,01100000,,,,10010000,,,, TT得方程(A，E)x,0的基础解系p,(1～ 0～ 0～ ,1)～ p,(0～ 1～ ,1～ 0)～ 向量p和p是对2121 应于特征值,,,1的线性无关特征值向量, ,,12 对于特征值,,,,1～ 由 34 ,1001100,1,,,,,,,,0,11001,10,,～ AE~,,,,01,100000,,,,100,10000,,,, TT得方程(A,E)x,0的基础解系p,(1～ 0～ 0～ 1)～ p,(0～ 1～ 1～ 0)～ 向量p和p是对应于3434特征值,,,,1的线性无关特征值向量, 34 T 6, 设A为n阶矩阵～ 证明A与A的特征值相同, 证明 因为 TTT|A,,E|,|(A,,E)|,|A,,E|,|A,,E|～ TT所以A与A的特征多项式相同～ 从而A与A的特征值相同, 7, 设n阶矩阵A、B满足R(A)，R(B),n～ 证明A与B有公共的特征值～ 有公共的特征向量, 证明 设R(A),r～ R(B),t～ 则r，t,n, 若a～ a～ ,,,～ a是齐次方程组Ax,0的基础解系～ 显然它们是A的对应于特12n,r 征值,,0的线性无关的特征向量, 70 类似地～ 设b～ b～ ,,,～ b是齐次方程组Bx,0的基础解系～ 则它们是B的对应12n,t 于特征值,,0的线性无关的特征向量, 由于(n,r)，(n,t),n，(n,r,t),n～ 故a～ a～ ,,,～ a～ b～ b～ ,,,～ b必线性相关, 于12n,r12n,t是有不全为0的数k～ k～ ,,,～ k～ l～ l～ ,,,～ l～ 使 12n,r12n,t ka，ka， ,,, ，ka，lb，lb， ,,, ，lb,0, 1122n,rn,r1122n,rn,r ,ka，ka， ,,, ，ka,,(lb，lb， ,,, ，lb)～ 记 ,1122n,rn,r1122n,rn,r 则k～ k～ ,,,～ k不全为0～ 否则l～ l～ ,,,～ l不全为0～ 而 12n,r12n,t lb，lb， ,,, ，lb,0～ 1122n,rn,r 与b～ b～ ,,,～ b线性无关相矛盾, 12n,t 因此～ ,,0～ ,是A的也是B的关于,,0的特征向量～ 所以A与B有公共的特征值～ 有公共的特征向量, 2 8, 设A,3A，2E,O～ 证明A的特征值只能取1或2, 证明 设,是A的任意一个特征值～ x是A的对应于,的特征向量～ 则 222 (A,3A，2E)x,,x,3,x，2x,(,,3,，2)x,0, 22因为x,0～ 所以,,3,，2,0～ 即,是方程,,3,，2,0的根～ 也就是说,,1或,,2, 9, 设A为正交阵～ 且|A|,,1～ 证明,,,1是A的特征值, 证明 因为A为正交矩阵～ 所以A的特征值为,1或1, 因为|A|等于所有特征值之积～ 又|A|,,1～ 所以必有奇数个特征值为,1～ 即,,,1是A的特征值, 10, 设,,0是m阶矩阵AB的特征值～ 证明,也是n阶矩阵BA的特征值m，nn，m , 证明 设x是AB的对应于,0的特征向量～ 则有 , (AB)x,,x～ 于是 B(AB)x,B(,x)～ 或 BA(B x),,(Bx)～ 从而是BA的特征值～ 且Bx是BA的对应于的特征向量, ,, 32 11, 已知3阶矩阵A的特征值为1～ 2～ 3～ 求|A,5A，7A|, 32 解 令,(,),,,5,，7,～ 则,(1),3～ ,(2),2～ ,(3),3是,(A)的特征值～ 故 32 |A,5A，7A|,|,(A)|,,(1),,(2),,(3),3，2，3,18, 12, 已知3阶矩阵A的特征值为1～ 2～ ,3～ 求|A*，3A，2E|, 解 因为|A|,1，2，(,3),,6,0～ 所以A可逆～ 故 ,1,1 A*,|A|A,,6A～ 71 ,1 A*，3A，2E,,6A，3A，2E, ,12 令,(,),,6,，3,，2～ 则,(1),,1～ ,(2),5～ ,(,3),,5是,(A)的特征值～ 故 ,1 |A*，3A，2E|,|,6A，3A，2E|,|,(A)| ,(1),(2),(,3),,1，5，(,5),25, ,,, 13, 设A、B都是n阶矩阵～ 且A可逆～ 证明AB与BA相 似, 证明 取P,A～ 则 ,1,1PABP,AABA,BA～ 即AB与BA相似, 201,,,, 14, 设矩阵可相似对角化～ 求x, A,31x,,405,, 解 由 ,2,01 2～ |A,,E|,31,,x,,(,,1)(,,6) 405,, 得A的特征值为,,6～ ,,,,1, 123 因为A可相似对角化～ 所以对于,,,,1～ 齐次线性方程组(A,E)x,0有两个23 线性无关的解～ 因此R(A,E),1, 由 101101,,,,r,,,, (,),3000,3AEx~x,,,,404000,,,,知当x,3时R(A,E),1～ 即x,3为所求, 2,12,,T,, 15, 已知p,(1～ 1～ ,1)是矩阵的一个特征向量, A,5a3,,,1b,2,, (1)求参数a～ b及特征向量p所对应的特征值, 解 设,是特征向量p所对应的特征值～ 则 ,2,,1210,,,,,,,,,,,,, (A,,E)p,0～ 即a～ 5,31,0,,,,,,b,,1,2,,10,,,,,,解之得,,,1～ a,,3～ b,0, (2)问A能不能相似对角化,并说明理由, 72 解 由 ,2,,12 3～ |A,,E|,5,3,,3,,(,,1) ,10,2,,得A的特征值为,,,,,,1, 123 由 1,12101,,,,r,,,, AE,,5,2301,1~,,,,b,1,1000,,,,知R(A,E),2～ 所以齐次线性方程组(A,E)x,0的基础解系只有一个解向量, 因此A 不能相似对角化, 16, 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: 2,20,,,, (1); ,21,2,,0,20,, 解 将所给矩阵记为A, 由 ,2,,20 ,,,(1,,)(,,4)(,，2)～ A,E,,21,,2 0,2,, 得矩阵A的特征值为,,,2～ ,,1～ ,,4, 123 对于,,,2～ 解方程(A，2E)x,0～ 即 1 x,,4,20,,1,,,,,23,2x,0～ 2,,,,0,22x,,3,, 122T Tp,(, , )得特征向量(1～ 2～ 2)～ 单位化得, 1333 对于,,1, 解方程(A,E)x,0～ 即 2 x,,1,20,,1,,,,,20,2x,0～ 2,,,,0,2,1x,,3,, 212TT p,(, , ,)得特征向量(2～ 1～ ,2)～ 单位化得, 2333 对于,,4, 解方程(A,4E)x,0～ 即 3 73 x,,,2,20,,1,,,,～ ,2,3,2x,02,,,,0,2,4x,,3,, 221T Tp,(, ,, )得特征向量(2～ ,2～ 1)～ 单位化得, 3333 ,1 于是有正交阵P,(p～ p～ p)～ 使PAP,diag(,2～ 1～ 4), 123 22,2,,,, (2), 25,4,,,2,45,, 解 将所给矩阵记为A, 由 ,2,2,22,,,,(,,1)(,,10)～ A,E,25,,4 ,2,45,,得矩阵A的特征值为,,,,1～ ,,10, 123 对于,,1～ 解方程(A,E)x,0～ 即 ,,12 x,,12,20,,,,1,,,,,,24,4x,0～ 2,,,,,,,2,440x,,,,3,, TT 得线性无关特征向量(,2～ 1～ 0)和(2～ 0～ 1)～ 将它们正交化、单位化得 11TT ～ , p,(,2, 1, 0)p,(2, 4, 5)12535 对于,,10, 解方程(A,10E)x,0～ 即 3 x,,,82,20,,,,1,,,,,,2,5,4x,0～ 2,,,,,,,2,4,50x,,,,3,, 1T Tp,(,1, ,2, 2)得特征向量(,1～ ,2～ 2)～ 单位化得, 33 ,1 于是有正交阵P,(p～ p～ p)～ 使PAP,diag(1～ 1～ 10), 123 51,2,4,,,,,,,,,,,4 17, 设矩阵与相似～ 求x～ y, 并求一个正A,,2x,2,,,,,4,21y,,,, ,1交阵P～ 使PAP,,, 解 已知相似矩阵有相同的特征值～ 显然,5～ ,,4～ ,y是,的特征值～ 故它,,,们也是A的特征值, 因为,,,4是A的特征值～ 所以 74 5,2,4 ～ |A，4E|,,2x，4,2,9(x,4),0 ,4,25 解之得x,4, 已知相似矩阵的行列式相同～ 因为 51,2,4 ～ ～ |,|,,4,,20y|A|,,2,4,2,,100 ,4,21y所以,20y,,100～ y,5, T 对于,,5～ 解方程(A,5E)x,0～ 得两个线性无关的特征向量(1～ 0～ ,1)～ (1～ ,2～ T0), 将它们正交化、单位化得 11TTp,(1, 0, ,1)p,(1, ,4, 1)～ , 12232 T 对于,,,4～ 解方程(A，4E)x,0～ 得特征向量(2～ 1～ 2)～ 单位化得 1Tp,(2, 1, 2), 33 121,,,,3232,,14,1P,0, 于是有正交矩阵～ 使PAP,,, ,, 332,, 121,,,,,3232,, 18, 设3阶方阵A的特征值为,,2～ ,,,2～ ,,1, 对应的特征向量依次为123 TTTp,(0～ 1～ 1)～ p,(1～ 1～ 1)～ p,(1～ 1～ 0)～ 求A. 123 ,1,1 解 令P,(p～ p～ p)～ 则PAP,diag(2～ ,2～ 1),,～ A,P,P, 123 因为 ,1011110,,,,,,1,,,,111111P,,,～ ,,,,110011,,,,, 011200110,,13,3,,,,,,,,,1,,,,,,,,111020111所以 , ,,,,,,,45,3APP,,,,,,,,110001011,,44,2,,,,,,,, 19, 设3阶对称阵A的特征值为,,1～ ,,,1～ ,,0, 对应,、,的特征向量依12312 TT次为p,(1～ 2～ 2)～ p,(2～ 1～ ,2)～ 求A, 12 75 xxx,,123,, 解 设Axxx～ 则Ap,2p～ Ap,,2p～ 即 ,1122245,,xxx356,, x，2x，2x,1,123,～ ,,,? x，2x，2x,2,245 ,x，2x，2x,2356, 2x，x,2x,,2,123,2x，x,2x,,1, ,,,? ,245 ,2x，x,2x,2356, 再由特征值的性质～ 有 x，x，x,,，,，,,0, ,,,? 146123由???解得 11121x,,,xx,xx,,x ～ ～ ～ 16263632234 2111x,，xx,,x ～ , 46563432 1212x,x,x,,x,令x,0～ 得～ x,0～ ～ ～ , 6235143333 ,102,,1,,因此 , A,012,,3220,, 20, 设3阶对称矩阵A的特征值,,6～ ,,3～ ,,3～ 与特征值,,6对应的特征1231 T向量为p,(1～ 1～ 1)～ 求A. 1 xxx,,123,,Axxx, 解 设, 245,,xxx356,, T 因为,,6对应的特征向量为p,(1～ 1～ 1)～ 所以有 11 x，x，x,6,11,,,,123,,,,,x，x，x,6～ 即 ,,,?, A1,61,245,,,,11,x，x，x,6,,,,356, ,,,,3是A的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A,3E),1, 利用23 ?可推出 76 xxx,3,,,,111123,,,,AExxxxxx, ,3,,3,3~245245,,,,xxxxxx,3,3356356,,,, 因为R(A,3E),1～ 所以x,x,3,x且x,x,x,3～ 解之得 245356 x,x,x,1～ x,x,x,4, 235146 411,,,,因此 , A,141,,114,, T T 21, 设a,(a～ a～ ,,,～ a)～ a,0～ A,aa, 12n1 (1)证明,,0是A的n,1重特征值, 证明 设,是A的任意一个特征值～ x是A的对应于,的特征向量～ 则有 Ax,,x～ 22TTTT ,x,Ax,aaaax,aaAx,,aax～ 2TT于是可得,,,aa～ 从而,,0或,,aa, T2 设,～ ,～ , , ,～ ,是A的所有特征值～ 因为A,aa的主对角线性上的元素为a～ 12n1 22a～ , , ,～ a～ 所以 2n T222a，a， , , , ，a,aa,,，,， , , , ，,～ 12n12n T这说明在,～ ,～ , , ,～ ,中有且只有一个等于aa～ 而其余n,1个全为0～ 即,,0是A12n 的n,1重特征值, (2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量, T 解 设,,aa～ ,, , , , ,,,0, 12n TTT 因为Aa,aaa,(aa)a,,a～ 所以p,a是对应于,,aa的特征向量, 111 TT 对于,, , , , ,,,0～ 解方程Ax,0～ 即aax,0, 因为a,0～ 所以ax,0～ 即2n ax，ax， , , , ，ax,0～ 其线性无关解为 1122nn Tp,(,a～ a～ 0～ ,,,～ 0)～ 221 Tp,(,a～ 0～ a～ ,,,～ 0)～ 331 , , ,～ Tp,(,a～ 0～ 0～ ,,,～ a), nn1因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为 a,a,,,,a,,12n,,aa,,,021(p, p, ,,,,p),, ,,12n,,,,,,,,,,,,,,a0a,,,,n1, 77 142,,100,, 22, 设～ 求A, A,0,34,,043,, 解 由 ,1,42 ～ |A,,E|,0,3,,4,,(,,1)(,,5)(,，5) 043,, 得A的特征值为,,1～ ,,5～ ,,,5, 123 T 对于,,1～ 解方程(A,E)x,0～ 得特征向量p,(1～ 0～ 0), 11 T 对于,,5～ 解方程(A,5E)x,0～ 得特征向量p,(2～ 1～ 2), 12 T 对于,,,5～ 解方程(A，5E)x,0～ 得特征向量p,(1～ ,2～ 1), 13 令P,(p～ p～ p)～ 则 123 ,1 PAP,diag(1～ 5～ ,5),,～ ,1 A,P,P～ 100100,1 A,P,P, 因为 100100100 ,,diag(1～ 5～ 5)～ ,1121505,,,,,1,1,,,, 012012P,,,～ ,,,,5021021,,,,,所以 1,,12150,5,,,,1,,100100,,,,,01,25012A ,,,,,,51000210,215,,,,,, 1001051,,,100,, 050, ,,,100005,, 23, 在某国～ 每年有比例为p的农村居民移居城镇～ 有比例为q的城镇居民 移居农村～ 假设该国总人口数不变～ 且上述人口迁移的规律也不变, 把n年后农 村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x和y(x，y,1), nnnn xx,,,,n，1nA (1)求关系式,中的矩阵A, ,,,,yy,n，1,,n, 解 由题意知 x,x，qy,px,(1,p)x，qy～ n，1nnnnn 78 y,y，px,qy, px，(1,q)y～ n，1nnnnn 可用矩阵表示为 xx1pq,,,,,,,n，1n ～ ,,,,,,,p1,qyy,,,n，1,,n, 1,pq,,因此 , A,,,p1,q,, xx0.5,,,,,,0n (2)设目前农村人口与城镇人口相等～ 即～ 求, ,,,,,,,0.5yy,,,,,0,n xxxx,,,,,,,,nn，1nn0 解 由可知, 由 A,,A,,,,,,,,yyyy,n，1,,n,,,,0,n ,1,p,q～ |A,,E|,,(,,1)(,,1，p，q)p1,q,,得A的特征值为,,1～ ,,r～ 其中r,1,p,q, 12 T 对于,,1～ 解方程(A,E)x,0～ 得特征向量p,(q～ p), 11 T 对于,,r～ 解方程(A,rE)x,0～ 得特征向量p,(,1～ 1), 12 q,1,, 令～ 则 Ppp,(, ),,,12p1,, ,1 PAP,diag(1～ r),,～ ,1 A,P,P～ nn,1 A,P,P, ,1n11q,q,10,,,,,,nA,于是 ,,,,,,0r11pp,,,,,, q,110111,,,,,, , ,,,,,,nr,pq0p1p，q,,,,,, nnqprqqr，,1,, ,～ ,,nnpprpqr,，pq，,, nnxqprqqr，,0.51,,,,,,n ,,,,,,,nn0.5ypprpqr,，pq，,,n,,,, n2q(pq)r，,1,, ,, ,,n2p(qp)r，,2(pq)，,, 3,2,,109 24, (1)设～ 求,(A),A,5A, A,,,,23,, 解 由 79 ,3,,2～ |A,,E|,,(,,1)(,,5),23,, 得A的特征值为,,1～ ,,5, 12 1T(1, 1) 对于,1～ 解方程(A,E)x,0～ 得单位特征向量, ,12 1T(,1, 1) 对于,,5～ 解方程(A,5E)x,0～ 得单位特征向量, 12 1,11,,,1 于是有正交矩阵～ 使得PAP,diag(1～ 5),,～ P,,,112,, ,1kk,1从而A,P,P～ A,P,P, 因此 ,1109,1 ,(A),P,(,)P,P(,,5,)P 109,1 ,P[diag(1～ 5),5diag(1～ 5)]P ,1 ,Pdiag(,4～ 0)P 1,1,401111,,,,,, ,,,,,,,1100,1122,,,,,, ,2,211,,,, , ,,,2,,,,,2,211,,,, 212,,1098,, (2)设, 求,(A),A,6A，5A, A,122,,221,, 解 求得正交矩阵为 ,,,1,32,,1P,,132～ ,,6,,202,,,1,1使得PAP,diag(,1～ 1～ 5),,～ A,P,P, 于是 ,11098,1 ,(A),P,(,)P,P(,,6,，5,)P 8,1 ,P[,(,,E)(,,5E)]P 8,1 ,Pdiag(1～ 1～ 5)diag(,2～ 0～ 4)diag(,6～ ,4～ 0)P ,1 ,Pdiag(12～ 0～ 0)P ,,12,1,32,1,12,,,,,,1,,,,,,1320,330 ,,,,,,6,,2022220,,,,,, 11,2,,,, , ,211,2,,,2,24,, 80 25, 用矩阵记号表示下列二次型: 222 (1) f,x，4xy，4y，2xz，z，4yz, 121x,,,,,,,, 解 , f,(x, y, z)242y,,,,121z,,,, 222 (2) f,x，y,7z,2xy,4xz,4yz, 1,1,2x,,,,,,,, 解 , f,(x, y, z),11,2y,,,,,2,2,7z,,,, 2222 (3) f,x，x，x，x,2xx，4xx,2xx，6xx,4xx, 12341213142324 x,,1,12,1,,1,,,,x,113,22f,(x, x, x, x) 解 , ,,,,12342310x3,,,,,1,201x,,,,4 26, 写出下列二次型的矩阵: 21,,T (1), f(x),xx,,31,, 21,, 解 二次型的矩阵为, A,,,31,, 123,,T,, (2), f(x),x456x,,789,, 123,,,, 解 二次型的矩阵为, A,456,,789,, 27, 求一个正交变换将下列二次型化成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形: 223 (1) f,2x，3x，3x，4xx, 12323 200,,,, 解 二次型的矩阵为, 由 A,032,,023,, ,2,00 ～ A,,E,03,,2,(2,,)(5,,)(1,,) 023,,得A的特征值为,,2～ ,,5～ ,,1, 123 当,,2时, 解方程(A,2E)x,0～ 由 1 81 000012,,,,,,,,～ ,2,012001AE~,,,,021000,,,, TT得特征向量(1～ 0～ 0), 取p,(1～ 0～ 0), 1 当,,5时～ 解方程(A,5E)x,0～ 由 2 ,300100,,,,,,,,～ ,5,0,2201,1AE~,,,,02,2000,,,, 11TTp,(0, , )得特征向量(0～ 1～ 1), 取, 222 当,,1时～ 解方程(A,E)x,0～ 由 3 100100,,,,,,,,～ ,,022011AE~,,,,022000,,,, 11TTp,(0, ,, )得特征向量(0～ ,1～ 1), 取, 322 于是有正交矩阵T,(p～ p～ p)和正交变换x,Ty～ 使 123 222f,2y，5y，y, 123 2222 (2) f,x，x，x，x，2xx,2xx,2xx，2xx, 123412142334 110,1,,,,11,10 解 二次型矩阵为, 由 A,,,0,111,,,1011,, ,1,10,1 ,11,,102～ A,,E,,(,，1)(,,3)(,,1)0,11,1, ,1011,,得A的特征值为,,,1～ ,,3～ ,,,,1, 1234 1111Tp,(, ,, ,, ) 当,,,1时～ 可得单位特征向量, 112222 1111Tp,(, , ,, ,) 当,,3时～ 可得单位特征向量, 222222 当,,,,1时～ 可得线性无关的单位特征向量 34 1111TTp,(, 0, , 0)p,(0, , 0, )～ , 342222 于是有正交矩阵T,( p～ p～ p～ p)和正交变换x,Ty～ 使 1234 82 2222f,,y，3y，y，y, 1234 28, 求一个正交变换把二次曲面的方程 2223x，5y，5z，4xy,4xz,10yz,1 化成标准方程, 32,2,,,, 解 二次型的矩阵为, A,25,5,,,2,55,, ,3,2,2 由～ 得A的特征值为,,2～ |A,,E|,25,,,5,,,(,,2)(,,11)1 ,2,55,, ,11～ ,0～ , ,,23 T 对于,,2～ 解方程(A,2E)x,0～ 得特征向量(4～ ,1～ 1)～ 单位化得1 411p,(, ,, ), 1323232 T 对于,,11～ 解方程(A,11E)x,0～ 得特征向量(1～ 2～ ,2)～ 单位化得2 122p,(, , ,), 2333 11Tp,(0, , ) 对于,,0～ 解方程Ax,0～ 得特征向量(0～ 1～ 1)～ 单位化得, 3322 ,1 于是有正交矩阵P,(p～ p～ p)～ 使PAP,diag(2～ 11～ 0)～ 从而有正交变换 123 41,,0,,332xu,,,,,,121,,,,～ y,,v,,,,,,3322,,wz,,,,121,,,,,3322,, 22使原二次方程变为标准方程2u，11v,1, T 29, 明: 二次型f,xAx在||x||,1时的最大值为矩阵A的最大特征值. 证明 A为实对称矩阵～ 则有一正交矩阵T～ 使得 ,1TAT,diag(,～ ,～ , , ,～ ,),, 12n 成立～ 其中,～ ,～ , , ,～ ,为A的特征值～ 不妨设,最大, 12n1 T,1T 作正交变换y,Tx～ 即x,Ty～ 注意到T,T～ 有 TTTT222 f,xAx,yTATy,y,y,,y，,y， , , , ，,y, 1122nn 83 因为y,Tx正交变换～ 所以当||x||,1时～ 有 222||y||,||x||,1～ 即y，y， , , , ，y,1, 12n因此 222f,,y，,y， , , , ，,y,,～ 1122nn1又当y,1～ y,y,, , ,,y,0时f,,～ 所以f ,,, 123n 1 max1 30, 用配方法化下列二次形成 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 形～ 并写出所用变换的矩阵, 222 (1) f(x～ x～ x),x，3x，5x，2xx,4xx, 1231231213 222 解 f(x～ x～ x),x，3x，5x，2xx,4xx 1231231213 222 ,(x，x,2x)，4xx，2x，x 1232323 222 ,(x，x,2x),2x，(2x，x), 123223 5,x,y,y，2y1123,2y,x，x,2x,1123,,1y,2x令 ～ 即～ x,y,,22222y2xx,，,,323,x2yy,,，323, , 二次型化为规范形 222f,y,y，y～ 123所用的变换矩阵为 5,,1,2,,2,,1, C,00,, 2,, 0,21,, ,, 22 (2) f(x～ x～ x),x，2x，2xx，2xx, 123131323 22 解 f(x～ x～ x),x，2x，2xx，2xx 123131323 22 ,(x，x)，x，2xx, 13323 222 ,(x，x),x，(x，x), 13223 y,x，xx,y，y,y,,1123113,,y,xx,y令 ～ 即～ ,,2222 ,,y,x，xx,,y，y323323,, 二次型化为规范形 222f,y,y，y～ 123所用的变换矩阵为 84 11,1,,,,, C,010,,0,11,, 222 (3) f(x～ x～ x),2x，x，4x，2xx,2xx, 1231231223 222 解 f(x～ x～ x),2x，x，4x，2xx,2xx, 1231231223 11222,2(x，x)，x，4x,2xx 12232322 11222,2(x，x)，(x,2x)，2x , 1223322 111,1,x,y,y,yy,2(x，x)1123112,,2222 ,,12令 y,(x,2x)～ 即～ x,2y，y,,22322322,,1y2x,,,xy,3333,2, 二次型化为规范形 222f,y，y，y～ 123所用的变换矩阵为 1,1,1,,1,,, C,022,,2001,, 31, 设 222f,x，x，5x，2axx,2xx，4xx 123121323为正定二次型～ 求a, 1a,1,,,, 解 二次型的矩阵为～ 其主子式为 A,a12,,,125,, 1a,11a2 a,1～ ～ , a12,,a(5a，4),1,a11a1,125 42,,a,0 因为f为正主二次型～ 所以必有1,a,0且,a(5a，4),0～ 解之得, 5 32, 判别下列二次型的正定性: 222 (1) f,,2x,6x,4x，2xx，2xx, 1231213 85 ,211,,,, 解 二次型的矩阵为, 因为 A,1,60,,10,4,, ,21|A|,,38,0～ ～ ～ ,11,0a,,2,0111,6 所以f为负定, 2222 (2) f,x，3x，9x，19x,2xx，4xx，2xx,6xx,12xx, 12341213142434 1,121,,,,,130,3 解 二次型的矩阵为, 因为 A,,,209,6,,1,3,619,, 1,121,1～ , , ～ A,24,0,130,6,0,4,0a,1,011,13209 所以f为正定, T 33, 证明对称阵A为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U～ 使A,UU～ 即A与单位阵E 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 , 证明 因为对称阵A为正定的～ 所以存在正交矩阵P使 TTPAP,diag(,～ ,～ , , ,～ ,),,～ 即A,P,P～ 12n 其中,,diag(,, ,, , , , ,,),～ ,～ , , ,～ ,均为正数, 令～ 则,,,,～ 12n11112n TTTTTA,P,,P, 再令U,,P～ 则U可逆～ 且A,UU, 111 86