[中考数学]初中几何综合题[整理]

[中考数学]初中几何综合题[整理] 几何计算型综合问题 【考点透视】 几何计算型综合问题，是以计算为主线的综合各种几何知识的问题.在近年全国各地中考试卷中占有相当的分量.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识以及多种思维方式，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想. 解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决. 值得注意的是近年中考几何综合计算的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情境型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，在考查考生计算能力的同时，考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力„„力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 【典型例题】 例1.在生活中需要测量一些球(如足球、篮球„)的直径，某学校研究性学习小组，通过实验发现下面的测量方法:如图11-1，将球放在水平的桌面上，在阳光的斜射下，得到球的影子AB，设光线AD、CB分别与球相切于点E、F，则E、F即为球的直径(若测得AB的长为41.5cm，?ABC=37?.请你计算出球的直径(精确到1cm) (2002年山东省济南市中考题) 分析:本题实际上是解直角梯形ABFE中的问题， 作AG?CB于G，在Rt?ABG中，求出AG即可( 解:作AG?CB于G， ?AD、CB分别与圆相切于E、F， ?EF?FG，EF?EA， ?四边形AGFE是矩形， ?AG=EF 在Rt?ABG中，AB=41.5，?ABG=37?， 图11-1 ?AG=AB?sin?ABG=41.5×sin37??25. ?球的直径约为25cm. 说明:将几何计算题与研究性学习问题和 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设计问题有机的结合起来，是近年中考题的又一热点(这类题一般难度不太大，关键是考查建模能力. 例2(在边长为2的菱形ABCD中，?B=45?，AE为BC边上的高，将?ABE沿AE所在直线翻折得?AB’E，那么?AB’E与四边形AECD重叠部分的面积是 . (2001年上海市中考题) 分析:解答本题首先要根据题意，画出图形(如图11-2)然后根据对称性和相关几何知识进行求解( ，?S解:在Rt?ABE中，??B=45?，AB=2，?AE=BE==1( 2?ABE E??ABE，?EB’=EB= 由翻折知:?AB’2 ?B’C=BB’,BC=2,2， 2 ?四边形ABCD是菱形，?CF?BA( 图11,2 ?? B’FC=?B’AB=90?, ?B’CF=?B=45? 122?CF= ?S==3,2 CFBC,2,22?B’FC22 ?S阴=S,S=2 ,2( 2?AB’E?CFB’ 说明:图形折叠问题的本质是全等变换, 也是近年中考题中的一个亮点(这类问题的解决方法是要抓住因折叠而形成的等线段和等角，这些相等关系是解决问题的关键.常用代数方程求解( 例3(如图11,3，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(s) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示移动的时间(0?t?6)，那么: D C ?当t为何值时，?QAP为等腰直角三角形, Q ?求四边形QAPC的面积;提出一个与计算结果有关的结论; 、A、P为顶点的三角形与?ABC相似, ?当t为何值时，以点QA B P 图11-3 (2002河北省年中考试题) 分析:?中应由?QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP，由AQ=6,t，AP=2t，可求出t的值;?中四边形QAPC是一个不规图形，其面积可由矩形面积减去?DQC与?PBC的面积求出;?中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此须分类讨论. 解:?AP=2t，DQ=t，QA=6,t，当QA=AP，即6,t=2t，t=2(s)时，?QAP为等腰 直角三角形; 11=?12?t=6t, S=?6?(12,2t)=36,6t, ?S=12?6,6t,(36?S?DQC?PBC四边形QAPC22 2,6t)=36(cm)，由计算结果可见:在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变; 6,t2tQAAP???QAP=?ABC=90?，??当时，?QAP??ABC，?,， ,ABBC126 6,t2tQAAP,解之得t=1.2(s);?当时，?PAQ??ABC，?， ,BCAB612 3(s).故当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与?ABC相似. 解之得t= 说明:本例是动态几何题，同时也是一道探究题(要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，这就要求我们通过计算分析，抓其本质，揭示出变中不变的规律(其结论也可提出:“P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变”，四边形QAPC的面积也可由?QAC与?CAP的面积求出，;?中考察了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性. 例4. 当你进入博物馆的展览厅时，你知道站何处观赏最理想, 如图11,4，设墙壁上的展品最高处点P距离场面a米，最低处点Q距离场面b米，观赏者的眼睛点E距离地面m米(当过点P、Q、E三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角?PEQ最大，站在此处观赏最理想( (1)设点E到墙壁的距离为x，求a、b、m、x的关系式; (2)当a=2.5，b=2，m=1.6时，求: 12?和墙壁的距离为x米;?视角?PEQ的度数(精确到1度) (2003年江苏省常州市中考题) 解:(1)?水平直线HE切?O于点E. 2?HE=QH?HP 又HE=x，QH=b,m，PH=a,m， 2?x=(a,m)(b,m). 1(2)?当a=2.5，b=2，m=1.6时，由(1)中所得: 2x=(2.5,1.6)(2,1.6)?x=0.6 ?点E与墙壁距离x的值为0.6米. 2?作OD?PR于D，则?POQ=2?POD，??POQ=2?PEQ， 图11,4 PD5 ,??PEQ=?POD.在Rt?POD中，tan?POD= OD12 ??PEQ=23? 说明:将几何计算题富于一个实际情境是中考中的一个新视点，符合新课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的精神，在今后的中考命题将会有很强的生命力，解这类题时，要能从实际中抽象出纯数学问题，然后利用相关知识解决问题.复习中应注意对常规题进行演变，有对针性训练. 例5.如图11-5,正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF=4( 求:(1)cos?F的值;(2)BE的长( (2003年四川省中考题) 分析:(1)要求cos?F的值，就要把?F“放”到直角 C D 三角形中，由于DF是半圆切线，只要连结OF即可， 然后利用相似三角形与切割线定理，求出OF、EF;(2)E 利用勾股定理和相似三角形即可求得( 解:(1)连结OE.?DF切半圆于E，??OEF=90?， F A 在正方形ABCD中，AB=AD，?DAF=90?， O B ??OEF=?DAF.又??F为公共角，??OEF??DAF.图11-5 EFOEOE1,,,.即AF=2EF. ?AFDAAB2 2?DF切半圆O于E，?EF=FB?FA=BF?2EF，?EF=2BF=8，AF=2EF=16.?AB=AF,BF=12， EF8411FO=AB+BF=×12+4=10.在Rt?OEF中，cos?F=,,. 22FO105(2)连结AE，?DF切半圆于E，??EAF=?BEF.??F=?F，??BEF??EAF. BEEF81,,,?.设BE=k(k,0)，则AE=2k，?AB为半圆O的直径， EAAF162 12222222??AEB=90?. 在Rt?AEB中，AE+BE=AB，(2k)+k=12,?BE=k=. 55说明:在相似形、圆等问题中渗透三角形函数知识、方程知识，围绕有关相似比、面积之比来命题是近年中考题命题又一新特点(解这类题要善于把三角函数的值与线段比相互转化，并能设参数来表示有关线段，运用勾股定理或相似三角形的有关比例式来解决( 例6(已知:如图11-6与?O相交于A、B两点，O21 在?O上，?O的弦BC切?O与B，延长BO、CA交于点P，2211 OPB与?O交于点D( 1 1O2 ?求证:AC是?O的切线; 1 ?如果PD=1，?O的半径为2，求BC的长( 1 图11-6 (2002江苏省南京市中考题) 分析:?由于AC与?O有共公点A，只要证AC?AO即可( 11 ?欲证AD?OC，借公共弦这一“桥梁”(证?ACO=?PAD， 11 ?根据图形借助切割线及其推论或三角形相似，通过线段比来解决. 解:?连结AO， 1 ?BC是?O的切线，??OBC=90?,?四边形AOBC是?O的内接四边形， 1112 AC=90?，?AC是?O的切线 ??OBC+?OAC=180?.??O1111 ?连结AB ?PC切?O于点A ??PAD=?ABP 又?ACO=?ABO 111 ??PAD=?ACO?AD?OC 1 1 ??PC是?O的切线，PB是?O的割线， 11 2?PA=PD?PB ?PD=1，PB=5，?PA= 5 ?AC、BC分别切?O于A、B ?OB?BC，OA?PC ??PBC=?PAO=90? 1111 5BCPBBC又?P=?P ??PBC??PAO ?, ?BC= ,即,251 2AOPA51 说明:解几何计算综合题要善于把复杂的几何图形“分解”为若干个基本图形，并综合这些基本图形的性质及图形中元素的内在联系去思考，则能快速找到解题途径(如本题若把原图分解为下列??两个图形，则?的解题思路一目了然( 图? 图? 例7.有一长方形的餐厅，长10m，宽7m，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5m的圆形(如图11,7,1所示).在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5m的前提下，问此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢,请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格纸内画出设计示意图. (提示:?画出的圆应符合比例要求;?为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上) 图11,7,1 图11,7,2 2003年江西省中考试题) ( 分析:这是一道方案设计问题，图11-7-2中每一正方形小格宽度均表示0.5m，餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子，就看能否在图11-7-2中画出三个或四个半径为三格宽的圆，并使圆与圆之间、圆与方格纸外边框之间的间距不少于一格，我们可以按画三个圆、画四个圆分别计算. 解:此餐厅内能摆下三套和四套同样大小的圆桌和椅子.摆放三套与四套的设计方案参考图11,7,3、图11,7,4，只要满足如下条件: ? 每个圆的半径为1.5cm; ? 每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于2cm; ? 任意两圆的圆心距不小于3.5cm. 图11,7,3 图11,7,4 说明:对于一道运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.该试题是在考生容易想象的情境中考查学生用数学的能力，源于生活，打破常规，重视学生探究问题的能力的培养和动手操作意识的形成，这是今后中考试题的一个方向. 【习题11】 A 0?如图11-8，在?ABC中,已知BC=6,?C=60,sinA=0.8, 求AB和AC的长.(结果保留根号) B C 图11,8 (2002年江苏省淮安市中考试题) ?如图11-9，挂着“庆祝凤凰广场竣工”条幅的氢气球升在广 场上空，已知气球的直径为4m，在地面A点测得气球中心O的 仰角?OAD=60?，测得气球的视角?BAC=2?(AB、AC为?O的 切线，B、C为切点)则气球中心O离地面的高度OD为( )。 (精确到1m，参考数据sin1?=0.0178， =1.732) A 94m B 95m C 99m D 105m 图11,9 (2002年内蒙自治区鄂州市中考题) A 3.如图11-10,Rt?ABC中，AC=5，BC=12，?ACB=90?， P P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上 的动点(与点B、C不重合). B C Q ?如图，当PQ?AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长; 图11,10 ?当PQ与AC不平行时，?CPQ可能为直角三角形吗,若有 可能，请求出线段CQ长的取值范围;若不可能，请说明理由. (2003年广州市中考试题) ,.如图11,11，将矩形ABCD(AB,AD)沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交 E AD于点F. F ?若AB=4，BC=8，求DF的长; D A AB?若DA平分?EDB，求的值. BC B C 图11,11 (2003年江苏省泰州市中考试题) ，以AC为直径的?O交BC于D，AE切?O?已知:如图11-12，?ABC内接于?O121 5A 于点A，交?O于点E.连AD、CE，若AC=7，AD=3. 5,tanB,22E 求:?BC的长;?CE的长. ?O2? O 1 B C D 图11,12 (2003年江苏省无锡市中考试题) E 6.已知:如图11,13，在半径为4的?O中，AB、CD是两条直径， D M为OB的中点，CM的延长线交?O于点E，且EM,MC，连结 M DE，DE=. 15B A O ?求EM的长;?求sin?EOB的值. C 图11,13 (2003年河南省中考试题) 7.如图11,14，如图，BD是?O的直径，E是?O上的一点，直线AE交BD的延长线于点A，BC?AE于C，且?CBE,?DBE。 (1)求证:AC是?O的切线; (2)若?O的半径为2，AE,， 42 求DE的长。 图11,14 (2003年扬州市中考试题) -15，正三角形ABC的边长为6cm,?O的半8.如图113A(O) 径为rcm，当圆心O从点A出发，沿着线路AB,BC,CA 运动，回到点A时，?O随着点O的运动而移动. ?若r=cm,求?O首次与BC边相切时，AO的长; 3O B C 图11-15 ?在?O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种 不同的情况,写出不同情况下r的取值范围及相应的切点的个数; ?设?O在整个移动过程中，在?ABC内部，?O未经过的部分面积为S，在S,0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围. (2002年南昌市中考试题) 9.如图11-16,已知?A、?B都经过点C，BC是?A的切线，?B交AB于点D，连结CD并延长交?A于点E，连结AE. (1)求证:AE?AB; C DE,DC,2AD,DB(2)求证:; B A D DE,DC,8(3)如果,AE=3,求BC的长. E 图11,16 (2003年盐城市中考试题) 答案部分: 【习题11】 1? 过B点作?ABC的高BD,则在Rt?BCD中，CD=BC=3,BD=,在Rt?ABD332 BD33153939322,,中,AB=,AD=,从而，AC=AD+CD=3+ AB,BD,sinA0.8444 00 说明:遇到60、sinA应联想到解直角三角形，为了保证60、sinA的方便使用，应考虑由B点向AC作高;本题主要应用了锐角三角函数和勾股定理 ? C 3.?在Rt?ABC中，AC=5，BC=12，?ACB=90?，?AB=13，?Q为BC的中点，?CQ=QB. AB13又?PQ?AC，?AP=PB.即P是AB的中点.?在Rt?ABC中，CP=,.?当PQ22与AC不平行时，只有当?CPQ=90?时，?CPQ才可能为直角三角形，以CQ为直径作半圆D，?当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则DM?AB，且AC=AM=5， 222?MB=AB,AM=13,5=8.设CD=x，则DM=x，DB=12,x，在Rt?DMB中，DB=DM+MB， 102020222即(12,x)=x+8，解得x=.?CQ=2x=.即当CQ=，点P运动到切点M位333 20置时，?CPQ为直角三角形.?当,CQ,12时，半圆D与直线AB有两个交点，3 20当点P运动到这两个交点的位置时，?CPQ为直角三角形.?当0,CQ,时，半3 ?,?CPQ,90?，圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，0 20此时?CPQ不可能为直角三角形.综上可知，当?CQ,12时，?CPQ可能为直角3 三角形. 4.?在矩形ABCD中，AD?BC，??DBC=?BDA，而?DBC=?DBE，??DBE=?BDA， 222因此BF=DF，设BF=DF=x，则AF=EF=8,x，在Rt?AFB中，4+(8,x)=x， 解得x=5，即DF的长为5; ?若DA平分?EDB，则?BDC=?BDE=2?ADB，而?BDC+?ADB=90?，??ADB=30?， 3ABAB==tan30?=. BCAD3 5.(1)?AC是?O的直径，??ADC=90?，由AC=7，AD=3得 5,2 AD522,DC=，在Rt?ADB中，tanB=,?AC,AD,2BD2 35BD=6,BC=BD+DC=8; , 5 2 (2)?AC是?O的直径，??AEC=90?，又?AE切?O于点A，??EAC=?ABC,因此21 CEAC22Rt?AEC?Rt?BDA, ?,，?在Rt?ADB中，AB=， AD，BD,9ADAB AC,AD75,?CE=. AB3 22226.??DC为?O的直径，??DEC=90?，EC=DC,DE,8,(15),7. ?OA=OB=4，M为OB的中点，?AM=6，BM=2.设EM=x，则CM=7,x，由AM?MB=EM?MC得，6?2=x?(7,x),解得x=3，x=4.但EM,MC，?EM=4. 12 1?由?知，EO=EM，作EF?OB于F，则OF=MF=OB=1，在Rt?EOF中， 4 EF152222EF=?sin?EOB=. ,OE,OF,4,1,15,OE4 7.(1)证明:连结OE，在?OEB中，?OE=OB，??OEB=?OBE 而?CBE=?DBE=? OEBCBCAE,OEAC,EOBE??OEB=?CBE，??又，? ?点在?O AC上，?是?O的切线. 2AEDBOB,,,42,24,ACAEADAB,,E(2)?切?O于，?，而， 2(42)(4),,，ADADAD,,8AD,4代入上式得:，解得或(舍去). DEAD1,,2EBAE2AEADAB,,，,，AAADEAEB由于，，?????. 22xx，,(2)16BEx,2设DE=x,则在Rt?DEB中，，? 解得 4 . x,3,DE3 8.设?O首次与BC相切于点D，连结OD，则有OD?BC，且OD=r=. 3 A(O) 3在Rt?BOD中，??OBD=60?，?OB==2. 0G sin60A1 1 ?AO=AB,OB=(6,2)cm. 3 O C E 1B13?在正?ABC中，由AB=6得高AF=， AB,93B C D F 2 ? 当?O的半径为9时，?O在移动过程中与?ABC边共相切三次(圆心在三个顶点A、B、C处)，切点个数为3;?当0,r,9时，?O在移动过程中与?ABC边共相切六次(O点在AB边与AC、BC各相切一次，同理在BC边与AB、AC各相切一次，在AC边与BC、AB各相切一次)，切点个数为6;?当r,9时，?O在移动过程中与?ABC边不相切，即切点个数为0. ?S,0时，?O在移动过程中，在?ABC内部未经过部分为正三角形ABC内部，这111个正三角形与原正三角形三边平行，且平行线之间的距离为r，连接AA并延长AA11分别交BC于E、F，则AF?BC，AE?BC，且EF=r,又过A作AG?AB于G，则AG=r.11111111 ??GAA=30?，?AA=2r.??ABC的高AE=AF,3r=9,3r. 111111 2312BC=.??ABC的面积S=BC?AE=.即所求AE,23(3,r)33(3,r)11111111123 2解析式为S=(0,r,3). 33(3,r) 9.(1)因为BC是?A的切线，所以BC?AC，由?ACE=?B，?BCD=?BDC=?ADE，所 o以?B+?ADE=?ACE+?BCD=90，AE?AB (2)作BF?CE于F，易证?ADE??FDB，所以DE?DF=AD?DB，又因为BC=BD，所以 1DF=DC，所以 DE,DC,2AD,DB222(3)由(2)得AD?DB=4，在Rt?ABC中，AC=AE=3，所以AB-BC=3设BC=BD=x, AD=y ,4xy,则，解得x=4,y=1,所以BC=4. ,22(，),,9xyx,