855-二第二换元法（变量代换法）

855-二第二换元法（变量代换法） 二.第二换元法(变量代换法) 第一换元法是用凑微分的办法，把一个比较复杂的 ,f[,(x)],,(x)dxf[,(x)]d,(x)化成再积分，第二换元法则,,积分 f(x)dx(看似简单，但是很难积分)用一个适当, 是将积分 ,x,,(t)f(x)dx,f[,(t)],,(t)dt使却容易积分。再将,,的变量代换,1t(t,(x)),变回. x结果中的 xsin. dx,x 例3.20 求 2dx,2tdtx,tx,t，，，则 解 令sintxsin. ,,2tdt,2sintdt,,2cost，c,,2cosx，cdx,,,tx 1a,0,(). dx,22,xa 例3.21 计算 ,0，. ,t,x,asect2 解 令 1,1 dx,ad(),a,,(,sint)dt2costcost 1sinat ,,dt2,tancosatt?原式1 ,dt,ln|sect，tant|，c1,cost 22xx,a22. ,ln|，|，c,ln|x，x,a|，c1aa 1a,0,(). dx,22，xa 类似可算出 2x,atantdx,asectdt， 令 原式 cost12 ,,asectdt,dt,ln|sect，tant|，c1,,acost 22x，ax2222,ln，，x，x，a，c. ,ln|，|，c,lnx，x，a，c1aa 290 (为何不要绝对值,) 1dx. 3,222例3.22 求 (ax)， x2x,atant,,dx,asectdt,,tant, a 22解 令1asect1sectdx,dx,dt,,,3323asect222222(a，x)[a(1，tant)] 11a,costdt,sint，c.？ctgt,. 22,aax 22a，x1x？csct,,dx,，c.3,222xaa，x222(a，x) dx. ,2x,x 1例2.23 求 d(x,)dx2,(利用例3.20的结果) ,,211x,x2(x,),24解 111122,ln(x,)，(x,),，c. ,ln(x,)，x,x，c2242 2x9,dx.计算 2,x *例3.24 23secx,93tantsintx,tdx,3,dt222,,,x9sect(cost) 22sint1,cost1,dt,dt,dt,costdt,lnsect，tant,sint，c ,,,,costcostcost 222xx,9x,9x,9画三角形2,ln，,，c,lnx，x,9,，c.133xx 22a,0)a,xdx例3.25 求 ，(. , x222 ?可令 a,x,a1,()a 解? 291 x,,x,asintdx,acostdt.则 ， . 于是 ,sint(,,t,)a22 22a,xdx,acost,a,costdt ,, 1，cos2t222 ,acostdt,adt,,222a1a ,(t，sin2t)，c,(t，sint,cost)，c222 22221axxa,xax22arcsin. ,，x,a,x，c,(arcsin，,)，c22a2aaa 1d(x,)1dx13dx,, ,,,23219x,6x,1212223x,x,(x,),()3933例3.26 例3.21,11121222,ln|(x,)，(x,),()|，c. ,ln|3x,1，9x,6x,1|，c33333 1. dx,x1，e *例3.27 求12xt,1,0)x,ln(t,1)1，e,t(，，, dx,,2tdt2t,1 解 令 ? 原式 1,2dt2,t,1 (t，1),(t,1)11,dt,dt,dt2,,,t,1t,1t，1 x11t,11，e,1,d(t,1),d(t，1),ln，c,ln，c. ,,xt,1t，1t，11，e，1 1，lnx. dx,xlnx *例3.28 求22t,1t,11，lnx,tx,edx,2tedt，， 解 令x1，lndx ,xxln 22tt1t,1t,1,,2,,2tedtdt ,2(1，)dt,2t，ln||，c22,,122t,,,1tt,1t，1(,1)et 292 1，xdx例3(29 x,(1，)xxe xx1，xe,t,则dt,(1，x)edx, 令 x1(1)，x，xedxdt？dx,,,x,xx,(1)t,t(1)(1)x，xexe，xe x111t,xe()lnln,,dt,，c,，cx,1t,tt1，xe xdx ,例3(30 22(x，1)1,x x,sint,dx,costdt 令 则 xdxsintcostdtsint,,dt,,,2222(1，sint)cost1，sintx，,x(1)1 dcost111,,,,(，)dcost,,22,cost，t,t222cos2cos ,2 ,，t,,t，c[ln(2cos)ln(2cos)] 4 2,22，1,x,，cln242,1,x 2x9,dx.例3(31 计算 2,x 222x,t3secx,93tantsintsint1,cost1dx,3,dt,dt,dt,dt,costdt,,,,,,,222costcostcostx9sect(cost) 222画三角形xx,9x,9x,92,lnsect，tant,sint，c,ln，,，c,lnx，x,9,，c.133xx 1dx例3(32 ,x(x，1) 2令x,t,则x,t,？dx,2tdt 293 12t1dx,dt,2dt,2arctgt，c,2arctgx，c.22,,,t(t，1)1，tx(x，1) 1dx例3(33 ,x(x，1) 22当x,0,令x,t,则x,t,？x，1,1，t,dx,2tdt. 12t2 dx,dt,dt 22,,,x(x，1)t(1，t)(1，t) 2,2lnt，1，t，c,2lnx，1，x，c. 2当x,,1,令,x,t,则x,,t, 2？x，1,1,t,dx,,2tdt. 1dx,,2ln,x，,1,x，c , x(x，1) ?5.4 分部积分法 ,,,[u(x),v(x)],u(x),v(x)，u(x),v(x)? ,,,u(x),v(x),[u(x),v(x)],v(x),u(x). ? 两边积分 ,,,,,u(x),v(x)dx,u(x),v(x)dx,v(x),u(x)dx ,,, d[u(x),v(x)] ,u(x)dv(x),u(x),v(x),v(x)du(x).即 dxvxuxdx,,(),(),,,,dx 此积分公式叫分部积分公式. 例4.1 xcosxdx,xdsinx,xsinx,sinxdx,xsinx，cosx，c, ,,, u(x),xv(x),sinx,. 其中 xlnxdx. , 例4.2 求 2222x11xxx2xlnxdx,lnxd(),(lnx),,d(lnx) ,lnx,x,dx,,,,,22222xu,解 v 294 221xx12ln. ,x,x，c,(lnx,)，c24222x2xx22x例4.3 (x,3x，2)edx,(x,3x，2)e,ed(x,3x，2) ,(x,3x，2)de,,,,,vu 2x2xx,(x,5x，7)e，c. ,(x,3x，2)e,(2x,3)edx,？？,, ,x,arctanx,xd(arctanx) arctanxdx,,,,,,,,vu*例4.4 11122. ,x, arctanx,d(1，x),x,arctanx,ln(1，x)，c,2221，x *例4.5 xxxxxxesinxdx,,edcosx,,ecosx，cosxde,,ecosx，ed(sinx) ,,,, xxxxxx,,ecosx，esinx,esinxdx2esinxdx,esinx,ecosx? . ,, 1xx. esinxdx,e(sinx,cosx)，c,2? sin(lnx)dx试求积分 . , 1例4.6原式I,xsin(lnx),xcos(lnx)dx ,x ,xsin(lnx),cos(lnx)dx,x[sin(lnx),cos(lnx)],I , x ？I,[sin(lnx),cos(lnx)]，c 2 2x2e(tanx，1)dx例4.7 求. , 2x22x22x,e(tanx，2tanx，1)dx,esecxdx，2etanxdx ,,,解 原式2x2x2x2x2x,edtanx，2etanxdx,etanx,tanxde，2etanxdx ,,,, 2x2x2x2x,etanx,2etanxdx，2etanxdx,etanx，c. ,, x,ln111 dx,,xd,dxln()22,,,xxx*例4.8 11111. ,,x，,dx,dx,,lnx，cln2,,xxxxx lnsinx,,lnsinx(dcotx),,cotx,lnsinx，cotxd(lnsinx) dx,,2,sinx*例4.9 295 2cosxcotxcotlnsin ,,cotx,lnsinx，cosxdx,,x,x，dx2,,sinsinxx 21sin,x,,cotx,lnsinx,cotx,x，ccotlnsin. ,,x,x，dx2,sinx 1arctgx,(1,)arctgxdx,arctgxdx,dx22,,,1，x1，x 12,x,arctgx,xdarctgx,d(arctgx)2,, 2xx12arctgxdx,xarctgx,dx,(arctgx)例4.10. 222,,1，x1，x 1122xarctgx,(arctgx),ln(1，x)，c.22 xarcctgedx例4(11. x,e x1arcctgearxtgtxe,t,dx,dt,,dx,dt令则原式x2,,tet 1arctgt,1,,arctgtd,,，dt2,,ttt(1，t) arctgt1tarctgt12 ,,,[,]dt,,,lnt，ln(1，t)，c2,tt(1，t)t2 xarctge12x,,,x，ln(1，e)，cxe2 1,lnx例4(12. dx2,(,ln)xx x1x(1,lnx)x,lnx1,(1,lnx)d,,,dx2,,1,xx,lnx(1,x)(x,lnx)(1,x)x,lnx x(1,lnx)1x(1,lnx)1lnx,，d(1,x),,，c,，c.2,(1,x)(x,lnx)(1,x)(1,x)(x,lnx)1,xx,lnx作业 P.238 2(1,4,6,8,15,16); 3(3,5,9); 4(3,7,9,11,15,19). ?5.5简单有理函数的积分法 1d(x,a)1dx,,,，c例5.1 . 22,,(x,a)(x,a)x,a 296 例5.2 111x,2dx,(,)dx. ,ln|x,2|,ln|x,1|，c,ln||，c2,,x,3x，2x,2x,1x,1 3(2，4),5x3，1x2,dxdx 22,,，4,5，4,5xxxx 例5.3 23d(x，4x,5)dx3dx2,,5,ln|x，4x,5|,5 222,,,2x，4x,5x，4x,52x，4x,5 35112,ln|x，4x,5|，(,)dx ,26x，5x,1 355. ,ln|(x，5)(x,1)|，ln|x，5|,ln|x,1|，c266 例5.4 3x，x，1112 dx,(x，)dx,x，arctanx，c,,222x，1x，1 x,5x,5dx,dx 322,,x,3x，4(x，1)(x,2) 例5.5 ABC21211,(，，)dx,,dx，dx,dx 22,,,,x，1x,2(x,2)3x，13x,2(x,2) 2212x,21. ,,ln|x，1|，ln|x,2|，，c,ln||，，c33x,23x,1x,2*例5.6 1dx1x,4dx1ABx，C12,,dx ,dx,(，)dx2,,322,,,x，212x,2x，4x，8(x，2)(x,2x，4)x，2x,2x，4 211d(x,2x，4)1dx,ln|x，2|,， 22,,1224x,2x，44x,2x，4 111dx2,ln|x，2|,ln|x,2x，4|， 2,12244x,2x，4 111d(x,1)2,ln|x，2|,ln|x,2x，4|， ,2212244(x,1)，(3) 111d[(x,1)/3]2,ln|x，2|,ln|x,2x，4|，,x,11224423[1，()]3 297 111x,12 ,ln|x，2|,ln|x,2x，4|，arctan，c1224433 2*例5.7 6x,5d(x，4x，19)1 dx,3,17dx222,,,x，4x，19x，4x，19x，4x，19 d(x，2)d[(x，2)/15]22,3ln|x，4x，19|,17,3ln|x，4x，19|,17 ,,22x，22(x，2)，(15)15[1，()] 15 17x，22. ,3ln|x，4x，19|,arctan，c 1515 2x，2x,1dx 2,(x,1)(x,x，1) 例5.8 2x,3先利用部分分式 ,dx,dx 2,,x,1x,x，1 2原式1d(x,x，1)5dx,2ln|x,1|,， 2,,1322x,x，12(x,)，24 13d[(x,)]15222,2ln|x,1|,ln|x,x，1|， ,122x,322[1，()]23 2 1x,1522 ,2ln|x,1|,ln|x,x，1|，arctan，c233 2 152x,12,2ln|x,1|,ln|x,x，1|，arctan，c 233 综合题举例 sinx例1( dx,sin，cosxx 解法一 298 sinxsinx，cosx,cosx,dxdx,,sinx，cosxsinx，cosx cosx,dx,dx(在分子上造一个分母的导数) ,,，sinxcosx d(sinx，cosx)sinx,x,dx,dx.,,sinx，cosxsinx，cosx ，11d(sinxcosx)sinx, ？dx,(xdx),(x,lnsinx，cosx)，c,,，sinx，cosx2sinxcosx2 sin1sinxx, dxdx,,,sin，cosxx2sin(，)x解法二 4 ,sin(t,)11sint,cost4,dt,dt,,sint2sint 2 11,(t,lnsint)，c,(x,lnsinx，cosx)，c122 sinxdx解法三 sin，cosxx, 2x11csc11,dx,,dx,,dctgx22，ctgx，ctgx，ctgx111,,,，ctgx，ctgx11 ,ctgx111,，dctgx()2，ctgx21,，ctgx1 ctgx11111,dctgx，dctgx,dctgx,？22，ctgx2122,,,，ctgx，ctgx11 3cosx例2 求 dx,sinx 32222x,usincoscos1sinxx,uuxsinlnlnsin 解dx,,dx,du,u,，c,x,，c,,,sinsin22xxu sin2xdx求例3 . 2,1，sinx sin2x2sinxcosx2sinxdsinx dx,dx,解法一,,,2221，sinx1，sinx1，sinx 122,d(1，sinx),ln(1，sinx)，c.,21，sinx 299 sin2xsin2x解法二dx,dx1,cos2x2,,1，sinx1，2 13131,d(,cos2x),ln(,cos2x)，c. 312222,,cos2x22 ,1xx2 e()dx2,，1x 2xx例4 求 1,x1，x2xe2xe-2xxe()dx,e,dx,dx,dx解,2,22,2,221，x(1，x)1，x(1，x) xxxxde2xee12xex,,dx,[,e,d()],dx2222222,,,, 1，x(1，x)1，x1，x(1，x) xe,，C.21，x arctgx dx22,(1，)xx arctgx11例5 求 ,,dx()arctgxdx 2222,,，，x(1x)x1x 解 arctgxarctgx1,dx,dx,,arxtgxd(),arctgxd(arctgx)22,,,,xx1，x arxtgxdx1arxtgx1x122 ,[,，],(arctgx),,，(,)dx,(arctgx)22,,x2xx2x(1，x)1，x arxtgx1122,,，lnx,ln1，x,(arctgx)，c x22 2max(1,x)dx.例6 求 , ,1,x,1;2f(x),max(1,x),,C(,,,，,). ,2x,x,1., 解 设其原函数为 ,1,32，,,xc,x1,,xdx,x11,,,3,,,,,，,F(x)dx,x1xc,x1 ,,2,,,213,xdx,x1.xc,x1.，,,,,33,, 300 ？F(x),C(,,,，,),？在x,,1处有limF(x),limF(x);limF(x),limF(x),，,，,x,x,x,,x,,1111 11 即，c,1，c,1，c,,，c32,2133 2222即c,c，,c,c,,取c,0得c,,c,,.32122313333 12,3x,,x,,1,33,F(x),x,x,1 , ,123xx，,,1,33, 故 12,3x,，c,x,,1,33,2？max(1,x)dx,F(x)，c,x，c,x,1 ,,,123xc,x1.，，,,33, 1 dx. sin(，)sin(，),axbx 11sin[(x，a),(x，b)]解dx,,dx例7 求sin(a，x)sin(b，x)sin(a,b)sin(a，x)sin(b，x),, 1sin(x，a)cos(x，b),cos(x，a)sin(x，b),,dxsin(a,b)sin(x，a)sin(x，b), 1cos(x，b)cos(x，a),,[,]dx.sin(a,b)sin(x，b)sin(x，a), xdx ,例8 22(x，1)1,x x,sint,dx,costdt 令 则 301 xdxttdttsincossin,,dt22,,,22，tt，t(1sin)cos1sinx，,x(1)1 dcost111,,,,(，)dcost2,,2,cost222，cost2,cost 1d(2，cost)d(2,cost),,[,],,222，cost2,cost 2,2,22，1,x,，t,,t，c,，c[ln(2cos)ln(2cos)]ln2442,1,x 302