N型函数的零点问题

N型函数的零点问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 N型函数零点个数问题 2例1、(2006年福建高考卷)已知函数，。 gxxm()6ln,，fxxx()8,,， (?)求f(x)在区间上的最大值; [,1]tt，ht() (?)是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交myfx,()ygx,() 点,若存在，求出的取值范围;若不存在，说明理由。 m 2x,0解析:(?)略;(?)构作函数，; ,()()()86lnxfxgxxxxm,,,,，， 22862(1)(3)xxxx,，,,x,0求导得:，，函数单调性与极值列表如下: ,'()x,,xx x31 (0,1)(1,3)(3,)，, , 00，， ,'()x ,,,m7,,，,m6ln315Z]Z,()x极大极小 0依题意，转化为函数图象与轴的交点为3时情形，当充分接近时，，xx,()x,()0x, ,,,,m70,极大,,,,7156ln3m当充分大时，，为此有:。 x,()0x,,,，,,m6ln3150,极小, (，)7156ln3,故的取值范围为。 m 3例3、(2009年陕西高考卷?文)已知函数。 fxxaxa()31,0,,,,(?)求的单调区间; fx() x,,1ym,(?)若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，fx()yfx,() 求m的取值范围。 2,x,,1fa,,，,,,13(1)30解析:(?)略;(?)因为fx()在处取得极大值，所以， ，， 32,a,1,xx,,,1,1得:，继而，解得。如下由fx()0,fxxx()31,,，fxx()33,,12， 表 x ,11 (,1),,, (1,1), (1,)，, , 00，， ,fx() f,1f,,3fx()Z]Z 极大极小 因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，ym,yfx,()f(3)193,,,,, (，,31)，结合的单调性可知，的取值范围是。 mf(3)171,,fx() 评述:以上三例为两个函数图象(或一条直线与一个函数图象)有三个不同交点的问题， 都可以转化为一个N型函数有三个零点问题，即方程或有三个根的fx()fx()0,fxm(), f,0,极大问题，列相应不等式组， 或，解出参数范围，如下图。 fmf,,,极小极大f,0极小, f,0极大 x xxxx1212 yfx,()yfx,() f,0极小 图一(1) 图一(2) 3例4、(2007年全国高考?卷)已知函数。 fxxx(),, (?)求曲线在点处的切线方程; yfx,()Mtft(())， a,0(?)设，如果过点可作曲线的三条切线， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :。 ()ab，yfx,(),,,abfa() 23解析:(?)切线方程为: 。 ytxt,,,(31)2 23(?)如果有一条切线过点，则存在，使，即()ab，tbtat,,,(31)232230tatab,，，,。 32230tatab,，，,于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个()ab，yfx,() 相异的实数根。 322,记，则 ,,6()tta。 gttatab()23,,，，gttat()66,, ,当gtgt()()，变化时，变化情况如下表: t a(0),,，(0)，a()a，，,t0 ,, gt() ，0 0 ， 极小值 gt()Z]bfa,()Zab，极大值 ab，,0由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个gt()bfa,,()0gt()0, 实数根; 3aab，,0当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根; tt,,0，gt()0,gt()0,2 atta,,,，当时，解方程得，即方程只有两个相异的实bfa,,()0gt()0,gt()0,2 数根( 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则()ab，yfx,()gt()0,ab，,0,，即。 ,,,abfa(),bfa,,()0, 1a22a,0例5、(2010年湖北高考卷?文)设函数，其中，曲线fxxxbxc(),,，，32 在点处的切线方程为。 yfx,()pf(0,(0))y,1 (?)确定的值; bc, (?)设曲线在点(,())(,())xfxxfx及处的切线都过点(0,2).证明:当xx,yfx,()112212,,时，fxfx()(),; 12 (?)若过点可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。 (0,2)yfx,() 1a322fxxx()1,,，解析:(?)(?)略;(?) ， 。 fxxax'(),,32 ,由于点处的切线方程为，而点(0,2)在切线上，所以(,())tftyftftxt,,,()()() 2a2a3232,tt,，,10tt,，,102()()(0),,,ftftt，化简得，即满足的方程为。 t3232 ,0,2过点()可作yfx,()的三条切线，等价于方程2()()(0),,,ftftt有三个相异的实根， 2a32tt,，,10即等价于方程有三个相异的实根。 32 2a3222,,设，则。令,0得gttt()1,,，gttat()2,,gttat()2,,32 a xxa,,,0,(0)122 列表如下: aaa (.0),,t (0,)(,)，,0 222, gt()， , ， 0 0 3a gt()? 极大值1 ? ? 极小值 1,24 2a2a3232由gttt()1,,，的单调性知，要使gttt()1,,，=0有三个相异的实根，当3232 3a3310,a,23(，)23，,且仅当，10,,，即。故的取值范围是。 a24 32、(2005年全国高考?卷?文)设为实数，函数。 例7afxxxxa(),,,，(?)求的极值; fx() (?)当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点。 axyfx,() 12,,x,1解析:(I)，令，则，。 x,,fx()0,fxxx()321,,,123 ,当变化时，，变化情况如下表: xfx()fx() 111 x(,?，,) , (,，1) 1 (1，+?) 333 , fx()+ 0 , 0 + 5 fx()，a极大值 a,1? ? 极小值 ? 27 15fa(),,，?fx()的极大值是，极小值是 fa(1)1,,327 322(II)函数fxxxxaxxa()(1)(1)1,,,，,,，，,，由此可知，取足够大的正数时，有 xfx()fx()fx()>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点。 y fx()结合的单调性可知: 55当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线，aa,,,,(,)fx()2727 =与轴仅有一个交点，它在(1，+?)上;当的极小值,1>0即(1，+?)时，xaafx()fx(),y 1它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(,?，,)上。 xfx()y3 5综上所述，当?时，曲线=与轴仅有一个交点。 a,,,,(,)x(1,)，,fx()y27 评述:N型函数零点问题的核心就是找出零点个数的相关条件，即有三个根，须fx()0, f,0,极大满足;有两个根，须满足或;有一个根，须满f,0f,0fx()0,fx()0,,极大极小f,0极小, 足或(如下图二所示)。若，则可以转化为:f,0f,0fxmm()(0),,极大极小 1根 。 gxfxm()()0,,,2根 f极大 xxxx3根 1212 yfx,()yfx,() 2根 f极小 1根 图二(2) 图二(1) N型函数零点个数问题的题型是在函数定义域优先情况下把函数单调性、极值与函数零点个数条件很好结合并求参数范围的题型。作用:?考查函数单调性;?考查函数极值;?考查函数零点的个数条件;?考查曲线或函数图象中过定点切线个数等;难度:在掌握解题模式下应属于中等偏易题，适合考查文科生，此题型是高考命题者比较青睐的题型，是高考文科类导数命题的一个方向，因此也是高三学生(含理科生)科学备考必须掌握的典型题。 N型函数零点个数问题的解题模式与套路:求含参函数的定义域?求导函数?列表,写出函数单调区间、单调性、极值点、极值,?转化为N型函数零点个数问题,即方程或fx()0,fxm(),的根的个数问题,?列相应不等式或不等式组,求出参数的取值范围