由一道卫星变轨运动问题引发思索
摘 要, 航天技术是
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物理教育的热点,也是高考的必考点。在卫星变轨问题上学生往往容易出现错误,特别是加速度与向心加速度的关系学生更容易混淆。
关键词, 卫星变轨问题 加速度 向心加速度
例如,探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近进行第一次“刹车制动后被月球捕获,进入椭圆轨道绕月飞行,如图所示。若卫星的质量为m,远月点Q距月球
表
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面的高度为h,运行到Q点时它的角速度为,向心加速度为a,月球的质量为M、半径为R,月球表面的重力加速度为g,引力常量为G。则卫星在远月点时对月球的万有引力大小为, ,
A. B.ma C. D.m,R+h,ω
好多同学没有选择B,但也有学生选了D。
为了更好地解决这道题目,我们不妨先从卫星绕地球做匀速圆周运动的简单情况入手,再拓展到椭圆轨道运动。设卫星做圆周运动的轨道半径为r,运动周期为T,卫星质量为m,地球质量为M,根据牛顿运动第二定律可知,
==ma
即万有引力作为合外力提供卫星匀速圆周运动所需的向心力。此种情况下因合力始终与运动方向垂直,故有F=F=F。
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加速度等于向心加速度。学生对这一问题比较容易理解与接受。而当卫星由圆轨道变为轨时,在变轨处速度要变化,加速度、向心加速度是否也发生变化呢,加速度与向心加速度否还相等呢,我就分别从物理学和高等数学两个角度来阐述这个问题。
如图所示,圆轨道?和椭圆轨道?在A点处相切。地球处在圆轨道?中心,同时恰好处在椭圆轨道的一个焦点上。设圆轨道?的半径为r,椭圆轨道长半轴为a,短半轴为b,A点为近点,B点为远点。椭圆在A点的曲率半径为ρ。卫星由圆轨道?变为椭圆轨道?,必须在A点加速。若轨道半径在这一瞬间不变,根据=知,在A点当v增大时必有F>F,卫星做离心运动,轨迹可变为椭圆轨道?,轨道半径就不可能是原来的r而应增大。设为ρ,则在A点需要的向心力F=,在此点所受合力为F=。两力是否相等呢,因这时的万有引力方向仍与运动方向,即速度方向,垂直,没有切向分力,可见万有引力全部提供所需的向心力,F=F即,
=
综上分析不难得出,在椭圆轨道?上的A点处,向心加速度与加速度相等且与在圆轨道?上的A点处加速度相等,它们均由万有引力产生。
实际上,由==可以看出,在圆轨道?上的A点,当v增加为v时,轨道半径同时增加为ρ,致使向心加速度保持不变。
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下面不妨从数学的角度分析在椭圆轨道?上的A点,加速度等于向心加速度,由万有引力产生。不过必须先利用物理学相关知识求出在椭圆轨道的近点A或远点B处的速度。
因卫星在椭圆轨道?上运动时只受到地球引力的作用,卫星的机械能守恒。
由机械能守恒定律得,
mv-G=mv-G,1,
根据开普勒第二定律有,
vr=vr,
即v,a-c,=v,a+c,。,2,
,2,式中c=,C称为椭圆的半焦距,
由,1,,2,两式解得,
v=,
v=。
上面已经求出卫星在椭圆轨道近点A和远点B的速度,下面我们不妨利用数学知识求出椭圆在A点的曲率半径ρ,然后验证向心力等于万有引力。
如图建立坐标系,则椭圆标准方程为,
+=1 ,χ,γ,0,。
变形可得,γ=。
γ对χ的一次导数γ′=,
γ对χ的二次导数γ″=。
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于是椭圆上任意点处的曲率半径ρ=,将γ′、γ″代入得,
ρ=。
对A、B两点,χ=?a,代入上式得,
ρ=ρ=。
于是在A点处卫星需要的向心力,
F=。
将v、ρ代入可得,
F=,而a-c=r,
故F==F。
综上所述,卫星做椭圆运动时,在四个顶点处均有F=F。
有了上述讨论和得到的结论不难解决开篇那道题了。由于探月卫星在远点Q处运动的轨道半径不是,R+h,,因而D选项错误。正确答案是BC。
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