·复习 函数的和差积商的求导法则.
·引入 前面我们复习了函数的和差积商的求导法则，应用这些法则和一些基本初等函数的导数公式可以求出一些比较简单的初等函数的导数.但是，产生初等函数的方法，除了四则运算外，还有函数的复合，因而复合函数的求导法则是求出等函数的导数所不可缺少的工具.
·讲解新课
第三节 复合函数、反函数的求导法则
一 复合函数的求导法则
定理1（链式法则） 设函数
在点
处可导，
；函数
在对应点
处也可导，
，则复合函数
在点
处也可导，且有
.
上式也可写成
或
的形式.
此定理说明，求复合函数
对
的导数时，可先求出
对
的导数和
对
的导数，然后相乘即得.
显然以上法则也可用于多次复合的情形.
推论 如设
,
,
都可导，则复合函数
对
的导数为
或
.
例1 求函数
的导数．
解：函数
是由
，
复合而成，
因为
，
，
所以
．
例2 已知
，求
解：函数
是由
，
复合而成。
因为
，
，
所以
.
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
求下列函数的导数。
（1）
，（2）
，（3）
，
（4）
（5）
，（6）
，
通过上面的例子可知，运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数求导法则和适当的导数公式由外及里，逐层求导即可．因此复合函数的求导法则也形象地称为链式法则．
例3 求下列函数的导数.
（1）
，（2）
，（3）
，
（4）
，（5）
解：（1）
.
（2）
．
（3）
.
（4）
.
（5）
练习 求下列函数的导数.
（1）
，（2）
，（3）
，
（4）
，（5）
.
例4 求
的导数。
解 因为
，
所以
。因而有公式
。
求有些函数的导数时，将函数化简后再求导，比较简便。
例5 求下列函数的导数。
（1）
，（2）
。
解 （1）因为
，
所以
。
因为
，
所以
。
练习 P39 2 （11）（12）（15）。
二 反函数的求导法则
定理2 如果单调连续函数
在点
处可导，而且
，那么它的反函数
在对应的点
处可导，且有
或
。
例6 求
（a>0,a
1）的导数。
解
是
的反函数，
且
在（0，+
）内单调、可导，
又
，
所以
，
即
。
特别地，有
。
例7 求下列函数的导数。
（1）y=arcsinx，（2）y=arctanx.
解 （1）因为y=arcsinx是x=siny的反函数，x=siny在区间
内单调、可导，且
，
所以
，
即
。
类似地，有
。
（2）因为y=arctanx是x=tany的反函数，x=tany在区间
内单调、可导，且
，
所以
，
即
。
类似地，有
。
例8 求下列函数的导数。
（1）
，（2）
（3）
解 （1）
。
（2）
．
（3）
．
练习 求下列函数的导数。
（1）
，（2）
，（3）
，（4）
，
（5）
，（6）
，（7）
，
（8）
，（9）
，（10）
.
小结 1 对复合函数求导，注意分析函数结构，“由表及里，逐层求导”，教学中可采取两步走：第一步，写出中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算所得到的关系式，再应用法则求导.第二步，中间变量在每一步求导过程中体现，由表及里，逐层求导.
2根据导数的定义和求导法则，推出了所有基本初等函数的求导公式，即建立了和差积商求导法则，复合函数求导法则，反函数求导法则，这样就解决了初等函数的求导问题。
作业 P38:1,2
板
书
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设计
一 复合函数求导法则
例1
例2
例3
例4
例5
二 反函数的求导法
例6
例7
例8
练习
小结
作业
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