高中数学空间向量

高中数学空间向量 篇一:高二数学空间向量 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ;掌握空 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律;理解共线向量定理和共面向量定空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为理及它们的推论; 两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模(或长度); 叫零向量，记 着 ;叫单位向量叫相反向量， . a的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有，， 和 共三种方法. 复习2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则和 法则. 2. 实数与向量的积: 实数λ与向量a的积是一个量，记作 ，其长 度和方向规定如下: (1)|λa|,. (2)当λ,0时，λa与A. ; 1 当λ,0时，λa与A.; 当λ,0时，λa, . 3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗, 加法交换律:a，b,b，a 加法结合律:(a，b)，c,a，(b，c) 数乘分配律:λ(a，b),λa，λb 复习3:在平面上，什么叫做两个向量平行,在平面上有两个向量??? ? a,b， 若b是非零向量，则? a与b平行的充要条件是 二、新课导学 探究任务一:空间向量的相关概念 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 : 什么叫空间向量,空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗,空间向量如何表示, 新知:空间向量的加法和减法运算: 1 ???OB??，???AB?? 试试:1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求?a??b,?a??b.a. 2.点C 在线段AB上，且AC?5 ,则 ???AC?????AB?CB2 , ???BC?????AB?. 反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗, 2 ?加法交换律:A. + B. = B. + a; ?加法结合律:(A. + b) + C. =A. + (B. + c); ?数乘分配律:λ(A. + b) =λA. +λb( 例1 已知平行六面体 ABCD?A'B'C'D'(如图)，化 简下列向量表达式，并标出化简结果的向量:?????AB????? ??????BCAB?????AD?; ?????AA? ';?????AB?????AD??1????CC?' ?1?2?????2(????AB?????AD?AA')( 变式?????????:在上图中，用??? AB?,???AD?,???? AA'表示AC' ,????BD?'和DB?'. 探究任务二:空间向量的共线 问题:空间任意两个向量有几种位置关系,如何判 定它们的位置关系, 新知:空间向量的共线: 1. 如果表示空间向量的线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线: 定理:对空间任意两个向量?a,?b(?b??0)， ?a//? b的充要条件是存在唯一实数?，使得 推论:如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一 3 点O，点P在直 线l上的充要条件是 试试:已知???AB???a?5?b,???BC???2?a? ????8b, CD??3??a?? b? ，求证: A,B,C三点共线. 反思:充分理解两个向量?a,?b的?b??共线向量的充要条件中0，注意零向量与任何向量共线. 例???1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若OP??xOA?????yOB????，且x+y,1，试判断A,B,P三点是否共线, 变式:已知A,B,P三点共线，点O是直线AB若???OP??1????2OA?tOB???? ，那么t, 例2 已知平行六面体 ABCD?A'B'C'D'，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA'=2:1,设???CD?=?a，???CB???b,????CC?' ??c，试用向量?a??量??CA??,???CA?',????CM?,???,b,c表示向CG? .变式1:已知长方体 ABCD?A'B'C'D'，M是对角线 4 AC'????中点，化简下列表达式:? AA'???? ??????CB????? ; ????? ? AB'?B'C'?C'D' ? 1????1????1????2AD?2AB?2 A'A 变式2:如图，已知A,B,C不共线，从平面ABC外任一 点????OP?O????，作出点P,Q,R,S,使得: OA??2???AB??2????????OQ?????OA?????AC???? ????OR??????3???AB??2AC ?????OA?3AB?2???AC? OS?????OA??2???AB?? 3???AC?. 结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若干向量之 和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求 空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的 向量( 例2? ??? 化简下列各式: AB?????BC????CA??; ????AB???????????????????AB?????AC?????BD?????CD?;? ????MB?BO?OM; OA?????OD?????DC?. 变式? ???:OA?化简下列各式:????OC? ????BO?????CO?? ???AB?????AD?????DC?; ? ???NQ?????QP??????MN?; ????MP? . 小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三 5 角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. ※ 动手试试 练1. 已知平行六面体 ABCD?A'B'C'D', M为A1C与BD的交点，化简下列表达式: ? ????1AA????1B?11?A11; ? 1???? A??1?????1B1A1D1; ? ????22 AA1?????11?A1B????? A1D1 ? ???AB?????21? BC??????CC?2????????? 1?C1A1?A1A. 练2. 下列说法正确的是(A. ?向量?a与非零向量?) b共线，?b与?c共线，则? a与c 共线; B. 任意两个共线向量不一定是共线向量; C. 任意两个共线向量相等;D. 若向量?a与? b共线，则?a???b. 练3. 已知a?3m?2n,b?(x?1)m?8n，a?0，若?? a//b，求实数x. 三、 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 提升 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 6 . ※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分: 1. 下列说法中正确的是( ) ???? A. 若?a?=?b?，则a，b的长度相同，方向相反或相同; ????B. 若a与b是相反向量，则?a?=?b?; C. 空间向量的减法满足结合律; ???????????? D. 在四边形ABCD中，一定有AB?AD?AC. 2. 长方体ABCD?A'B'C'D'中，化简 ????????????????'' AA'?AB?A'D'?????????? 3. 已知向量a，b是两个非零向量，a0,b0是与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是( ) ??????????????????A. a0?b0 B. a0?b0或a0??b0 ????? C. a0?1D. ?a0?=?b0? '1为A1C与B1D的交点,则(AB?AD?AA)? 3 ????AO 10. 已知平行六面体 7 ABCD?A'B'C'D'，M是AC与 ???????????????????'? BD交点，若AB?a,AD?b,AA?c，则与B'M相等的向量是( ) 1?1??1?1??A. ?a?b?c; B. a?b?c; 22221?1??1?1??C. a?b?c;D. ?a?b?c. 2222 ????? 11. 在平行六面体ABCD,A1B1C1D1中，向量D1A、?????????? 是( ) D1C、AC11 A. 有相同起点的向量B(等长向量C(共面向量 D(不共面向量. 12. 正方体ABCD?A'B'C'D'中，点E是上底面 ????????????????' ' A'B'C'D'的中心，若BB?xAD?yAB?zAA, 则x,，y,，z,. 13. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，????????????则OPOB. 14. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', 8 O为A1C与B1D ?????????????'1??? 的交点,则(AB?AD?AA)?AO. 3 15. 在下列命题中:?若a、b共线，则a、b所在的直线平行;?若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面;?若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面;?已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p,xa，yb，zc(其中正确命题的个数为 ( ). A(0 B.1C. 2 D. 3 ???????? 16. 若a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp， ???? a?0，若a//b，求实数x,y. ?????????????? 17.已知两个非零向量e1,e2不共线,AB?e1?e2, ?????????????????? AC?2e1?8e2,AD?3e1?3e2. 求证:A,B,C,D共面( ???????????? 4. 在四边形ABCD中，若AC?AB?AD,则四边形是( ) A. 矩形B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 9 C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 6. 下列说法正确的是( ) ?????? A.a与非零向量b共线,b与c共线，则a与c共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 ???? D. 若向量a与b共线，则a??b 'B'C'D'中，点E是上底面7 正方体ABCD?A????????????????' ' A'B'C'D'BB?xAD?yAB?zAA, 则x,，y,，z,. 8. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，????????????则OP9. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O 3 3.1.3-5空间向量的数量积 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 题( 3.坐标表示; 4. 掌握空间向量的坐标运算的规律; 10 5.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、 9092 复习1:什么是平面向量?a与? b的数量积, 复习2:在边长为1的正三角形?ABC中，求???AB?????BC? 复习3:平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量i?? ,j作为基底，对平面上任意向量?a实数x，y，使得?a?xi??y? j，，则称有序对?x,y? 为向量?a的 ，即? a, . 二、新课导学 探究任务一:空间向量的数量积定义和性质 问题夹角和空间线段的长度问题, 新知: 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量?? 在空间 一点O，作???OA??a,OB?b? a,b?????，则?AOB做向量a与b?的夹角，记作 . 试试: ??? 范围a,?:?? b?=0时, ??a与?a,b??b ;?a,b?=π时,?a与?b ? ?a?,b? ???b?,a??成立吗, ??a?,b? 11 ??a?与b? 互相垂直，记作 . 2) 向量的数量积: 已知向量a,b，则 叫做a,b的数量积，记作a??b?，即a??b? ?. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思: ? 两个向量的数量积是数量还是向量,? ?0??a?0还是? 0? 你能说出a?b? ) 的几何意义吗, 3) 空间向量数量积的性质:(1)设单位向量e?，则a??e??|a? |cos?a?,e? ?( (2)a??b??a??b? ?((3)a??a? ? 4) 空间向量数量积运算律:(1)(?a? )?b???(a??b?)?a? ?(?b?)( (2)a???? (3)a??b?(b??b?a(交换律)( ?c?)?a??b??a??c? 12 (分配律 反思:? (? a??b)??c??a?(?b?? c)吗,举例说明. ? 若?a??b??a??c，则?b?? c吗,举例说明. ? 若?a??b?0，则? a??0或?b?? 0吗,为什么, ※ 典型例题 例1 用向量方法证明:在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 变式1:用向量方法证明:已知:m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与平面?的交点为B，且l?m,l?n. 求证:l??( 例2 如图，在空间四边形ABCD中，AB?2，BC?3，BD?，CD?3，?ABD?30?，?ABC?60?，求AB与CD 变式:如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 AB1,则AB1与C1B所成的角为( ) A. 60?B. 90? C. 105? D. 75? 反思:空间任意一个向量的基底有 个. ?单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用,i,j,k,表示. 13 ?空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得???? a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a ?? 的坐标，记着p????? ?设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB, . ?向量的直角坐标运算: 设a,(a1,a2,a3)，b,(b1,b2,b3)，则 ?a，b,(a1?b1,a2?b2,a3?b3); ?a,b,(a1?b1,a2?b2,a3?b3); ?λa,(?a1,?a2,?a3)(??R); ?a?b,a1b1?a2b2?a3b3. 试试: ????? 1. 设a?2i?j?3k，则向量a的坐标为. 例3 如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，???? ''(1,0,2)(3,1,?1)2. 若A，B，则AB, . AB?4,AD?3,AA?5,?BAD?90?,?BAA= 3. 已知a,(2,?3,5)，b,(?3,1,?4)，求a，b，a,b，?DAA'=60?,求AC'的长. 8a，a?b ※ 典型例题 ??? 14 例1 已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量????????a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量p?a?b, ??? q?a?b构成空间的另一个基底, 探究任务二:空间向量的正交分解 ? 问题:对空间的任意向量a，能否用空间的几个向量 唯一表示,如果能，那需要几个向量,这几个向量???????????? 变式:已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,OC有何位置关系, 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面, 新知: ? ? 空间向量的正交分解:空间的任意向量a，均可 ????????? 分解为不共面的三个向量?1a1、?2a2、?3a3，使 ??????????????????? a??1a1??2a2??3a3. 如果a1,a2,a3两两 ，这小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底 的方法是:这三个向量一定不共面. 种分解就是空间向量的正交分解. ???例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的 15 ????????????(2)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c， ??中点，P,Q是MN的三等分点，用OA,OB,OC ????????对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}OP表示和OQ. ???????? p?xa?yb?zc. 把a,b,c向量. 5 篇二:高中数学空间向量与立体几何经典题型与 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 空间向量与立体几何经典题型与答案 篇三:高中理科数学空间向量方法总结(家教专用) 平面法向量与立体几何 引言:平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料 中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。 2、平面法向量的求法 ?? 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面?的 16 法向量n?(x,y,1)[或n?(x,1,z)， ???????? 或n?(1,y,z)]，在平面?内任找两个不共线的向量a,b。由n??，得n?a?0且n?b?0，由? 此得到关于x,y的方程组，解此方程组即可得到n。 二、平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角:如图4-1，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条斜线，A??，则AB与平面?所成的角为: ? ? ??如图4?1中:????n,AB???arccos.?n?AB22??|n|?|AB|?? |???sin??|cos?n,AB????? ??|n|?|AB|?n?AB?? 如图4?1中:???n,AB???arccos??2|n|?|AB|2?? ? ?? ? ? n?AB ? 例3、 在例2中，求直线AA1与平面ACD1所成的角。 17 ????? AA1?n??????n?(1,1,1)，AA解析:由例2知，，， 即??asin????csi?(0,0,1)1 3AA1?n ? ? 3 (2)、求面面角:设向量m，n分别是平面?、?的法向量， 则二面角??l??的平面角为: ???m,n??? ?? m?n ?? ? (图5-1); ???m,n?????? m?n ? ?? ? (图5-2) |m|?|n| |m|?|n| 18 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图5-1中，m的方向对平面?而言向外，n的方向对平面?而言向内;在图5-2中，m的方向对平面?而言向内，n的方向对平面?而言向内。我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”，满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角??l??的平面角。 例4、 在例2中，求二面角D1?AC?D的大小。 ? ? ? ? ?? 解:由例2知，平面ACD,1,1)，平面DAC的法向量是n2?(0,0,1)， 1的法向量是n1?(1 设二面角D1?AC?D的大小为?，则 ????? n1?n2? cos??，得??。 ? 33n1?n2 2、 求空间距离 (1)、异面直线之间距离: 19 方法指导:如图6,?作直线a、b的方向向量a、b， 求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量; ? ? ? ?????在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB; ????? ?求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为 d? |AB?n||n| (2)、点到平面的距离: ?? ? 图 7 ,其中n?a,n?b,A?a,B?b ?? 方法指导:如图7,若点B为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为 ?????????? AB?n???????????AB?n???? P到平面α的距离公式为:d?AB?cos??AB???AB?n0 20 AB?nn 例5、 在例2中，求点A1到平面ACD1的距离。 2 ，则点 ??? 解析:由例2的解答知，平面ACD 的单位法向量n?， 10 ????又AA)，设点A1到平面ACD1的距离为d，则 1?(0,0,1 ???????。 所以，点 A。 d?AA1?n0?(0,0,1)??33333(3)、直线与平面间的距离: 方法指导:如图8, 直线a与平面?之间的距离: ?????AB?n? d?，其中A??,B?a。n是平面?的法向量 |n| 图8 (4)、平面与平面间的距离: 方法指导:如图9,两平行平面?,?之间的距离: ? ? d? |AB?n||n| 21 ? ? ，其中A??,B??。n是平面?、?的法向量。 3、 证明 (1)、证明线面垂直:在图10中,m向是平面?的法向量，a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线(m??a(2)、证明线面平行:在图11中,m向是平面?的法向量， ? ? ? ? ? ? a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直 ? ? (m?a?0)。 ? (3)、证明面面垂直:在图12中，m是平面?的法向量， ? 22 n是平面?的法向量，证明两平面的法向量垂直(m?n?0) m向是平面?的法向量， ? ? ? ?? (4)、证明面面平行:在图13中, ? 。 n是平面?的法向量，证明两平面的法向量共线(m??n) 三、利用法向量解2008年高考立体几何 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 例6、(湖南理第17题)如图14所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD 3 是边长为1的菱形，?BCD,60?，E是CD的中点，PA?底面ABCD， PA,2. (?)证明:平面PBE?平面PAB; (?)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小. 解:如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0) ，C( 31D(P(0，0，2) ,E(1,,0). 23 22 222 平面PAB的一个法向量是0?(0,1,0)， 2 (?)因为?(0, 所以0共线.从而BE?平面PAB. 又因为BE?平面PBE，故平面PBE?平面PAB. ????????(?) 易知PB?(1,0,?2),BE?(0,0)， ????????1PA?(0,0,?2),AD?(, 22 图14 ?????? ???n1?PB?0, 设n1?(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则由?????? 得: ? ??n1?BE?0?x1?0?y1?2z1?0, ??? 所以y1?0,x1?2z1.故可取n1?(2,0,1). ?y2?0?z2?0.?0?x1? ?2 ??????? ?????n2?PA?0, 24 设n2?(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由??? 得: ????? ??n2?AD?0?0?x2?0?y2?2z2?0,???? 所以z2?0,x2? 2.故可取n2??1,0). ?1y?0?z2?0.?x2? ?222 ????? ?????n1?n2? 于是，cos?n1,n2??n1n2 故平面PAD和平面PBE 所成二面角(锐角)的大小是 5 点评:本题采用常规方法(即综合法)求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不 出问题，一般都能解决问题 例7、(全国卷?理科第19题)如图14，正四棱柱ABCD?ABC111D1中，AA1?2AB?4，点E 4 A 1 在CC1上且C1E?3EC((?)证明:AC1?平面BED; (?)求二面角A1?DE?B的大小( 解:以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴， 建立 25 如图所示直角坐标系D?xyz( 依题设，B(2，2，，0)C(0，2，，0)E(0，21，)，A，0，4)( 1(2 ?????????????????DE?(0，21)，，DB?(2，2，0)，AC，2，?4)，DA，0，4)( 1?(?21?(2????????????????(?)因为ACDB?0，ACDE?0， 1?1? 故AC1?平面DBE( 1?BD，AC1?DE(又DB?DE?D，所以AC ? (?)设向量n?(x，y，z)是平面DAE1的法向量，则 ????????????n?DE，n?DA，，?2)(故2y?z?0，2x?4z?0(令y?1，则z??2，x?4，n?(41 1( ????? ??????????n?AC1，ACcosn，AC?? n等于二面角的平面角，( A?DE? B111 42nAC1 所以二面角A1?DE? B的大小为( 42 点评:本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和 推理能力。 例9(安徽卷理第18题)如图16，在四棱锥O?ABCD 26 中，底面ABCD四边长为1的菱形， ?ABC? ? 4 , OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中点，N为BC的中点 ;(?)求异面直线AB与MD所成角的大小; (?)证明:直线MN‖平面OCD(?)求点B到平面OCD的距离。 解:作AP?CD于点P,如图16,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系 A(0,0,0),B(1,0,0),P,0),D(O(0,0,2),M(0,0,1),N(1?, 22244 ?????????????(1)MN?(1??1),OP??2),OD?(?2) 44222 5 27