二重积分的计算
第二节 二重积分的计算 教学目的:使学生掌握利用直角坐标及极坐标计算二重积分的方法 教学重点:将二重积分化为二次积分
教学过程:
一、利用直角坐标计算二重积分 先介绍区域的
表
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示:
X,,型区域:
D : ,(x),y,,(x)～ a,x,b , 12
Y ,,型区域:
D : ,(x),y,,(x)～ c,y,d , 12
混合型区域:
设f(x～ y),0～ D,{(x～ y)| ,(x),y,,(x)～ a,x,b}, 12
f(x,y)d,,,
D 此时二重积分在几何上表示以曲面z,f(x～ y)为顶～ 以区域D为底的
曲顶柱体的体积,
对于x,[a～ b]～ 曲顶柱体在x,x的截面面积为以区间[,(x)～ ,(x)]为底、以曲001020线z,f(x～ y)为曲边的曲边梯形～ 所以这截面的面积为 0
,(x)20A(x),f(x,y)dy00,(x),10 ,
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法～ 得曲顶柱体体积为
b,(x)b2,[f(x,y)dy]dxV,A(x)dx,,,a(x),a1 ,
b,(x)2f(x,y)d,,[f(x,y)dy]dx,,,,a(x),1D即 V,,
可记为
b,(x)2f(x,y)d,,dxf(x,y)dy,,,,a(x),1D ,
类似地～ 如果区域D为Y ,,型区域:
D : ,(x),y,,(x)～ c,y,d ～ 12
则有
d,(y)2f(x,y)d,,dyf(x,y)dx,,,,c(y),1D ,
xyd,,,D 例1, 计算～ 其中D是由直线y,1、x,2及y,x所围成的闭区域,
解: 画出区域D,
方法一, 可把D看成是X,,型区域: 1,x,2～ 1,y,x , 于是
2x24222yxyd,,[xydy]dx191xxx23,,,,[],[x,]dx,(x,x)dx,,,1111,,11D242822,
2x2xxyd,,dxxydy,xdxydy,,,,,,1111D注: 积分还可以写成,
, 也可把D看成是Y,,型区域: 1,y,2～ y,x,2 , 于是 解法2
2243222yyxyd,,[xydx]dy9x222,,,,[],[y,]dy,(2y,)dy,y,,y1y1,,11D8822,
22y1，x,yd,,,D 例2, 计算～ 其中D是由直线y,1、x,,1及y,x所围成的闭区域,
解 画出区域D～ 可把D看成是X,,型区域: ,1,x,1～ x,y,1, 于是
113222211y1，x,yd,,dxy1，x,ydy1122132,,,,,,[(1，x,y)]dx,,(|x|,1)dx,1xx,,,,11D33
1213(1),,x,dx,,032 ,
也可D看成是Y,,型区域:,1,y,1～ ,1,x
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