万能公式基本不等式物理极值万能公式基本不等式物理极值
万能公式 基本不等式 物理极值
湖北利川一中 邓国庆 445400
问题,:一条宽度为L的河，水流速度为V，船在静水中速度为V，若V>V，船怎样航行位移oo
最小,最小位移是多少,
解:设船头指向与河岸成 y
α角，建立如图所示坐标。
VxVoV,，cos,,V 则 ,VyV,sin,,α
θ 由于V>V，船不可能到正对岸。 o
设船实际航向与河岸成θ角， o x V o
Vsin,,则 θ越大，实际位移越小。 tan,，VoVcos,
,,22tan1tan,,22x,...
万能公式基本不等式物理极值
万能公式 基本不等式 物理极值
湖北利川一中 邓国庆 445400
问题,:一条宽度为L的河，水流速度为V，船在静水中速度为V，若V>V，船怎样航行位移oo
最小,最小位移是多少,
解:设船头指向与河岸成 y
α角，建立如图所示坐标。
VxVoV,，cos,,V 则 ,VyV,sin,,α
θ 由于V>V，船不可能到正对岸。 o
设船实际航向与河岸成θ角， o x V o
Vsin,,则 θ越大，实际位移越小。 tan,，VoVcos,
,,22tan1tan,,22x,tan由万能公式 并设得: ,cos,sin,,2,,22，1tan，1tan22
Vsin,22VV, , tan,,2VoV，，VoVcos()()VoVVoVx，，,,，,()VoVxxx
VoVVoV，，，,,,,，,()2)()()VoVxVoVxVoVVoV由于 xx
VoV,，VoV，xtan,,()VoVx,, 即时tanθ最大，θ最大。 x2VoV,
VV此时 cosα=- 即船头指向与河岸下游成arccos(-)时船位移最小。 VoVo
VVLVoLtan,,sin,,此时 最小位移S=, 22VVosin,VoV,
实际的运动情况如图
, L α θ
,o
问题,:湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d，湖岸边有一点B，B沿湖岸方向与A点的距
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，在岸上行走的速度为v，离为L。一人自A点出发，要达到B点。已知他在水中游泳的速度为v12且v‹v，要求他由A至B所用时间最短，问此人应当如何选择其运动路线? 12
B L
Vd L
L .
?? ? A
α B 解:设人先与湖岸成α角游泳，然后上岸行走，
d
.
? ? A ?
dcos,,LdLddcos,sin,则运动时间t= ，,，,vvvvvsinsinsin,,,12212
,,22tan1tan,,22x,tan由于 并设得: ,cos,sin,,2,,22，1tan，1tan22
,,vvLdLd,21，，，()vvx t= ,，,，2()()vvvv,,212121vvvx2vvv2,,212212
,vvvv,,2121tan,,，()vvx当 即 x= 时t最小 212vv，x21
v1cos,,此时 v2B L
设实际情况AB与湖岸夹角为θ V
d LL则cosθ= L 2Ld，2.
?? vd1A ? L,,cos,可得 当 θα 即cosθ 时 ,22vv,21
人应选择由A到B直接游向B的路径时间最短。
vdv11L,θ〈α 即cosθ〉cosα 时，人应先沿与湖岸成角α, arccos的方22vvv,221
向游至岸边，上岸后再由岸上行走至B。
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