高等数学(经管类专业适用)-第3章 习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
解答
第3章 积分及其应用
练习3.1.1
1(求下列函数的一个原函数:
1x2(,); (,); (,)( e,2x,1y,y,y,2x
11x3【解】(,);(,)ex,2;(,)( ,y,xx,x32(求下列函数的全体原函数:
23sinxe,(,)xx,; (,),; (,)( y,y,y,
3212422xC,【解】(,);(,);(,)( ,,,cosxexCy,xxC,,34
3(求下列不定积分:
xx23edxxxdx(,);(,)( ,,
572222xxdx【解】(,); ,,,xdxxC,,7
xxx(3)3eexxx3edx,,,,,(3)edxCC(,)( ,,ln(3)1ln3e,
14(已知曲线在其上任一点处的切线斜率为,试求过点(,,,1yFx,()(,())xFxx
5)的曲线方程(
1【解】因为,由导数的几何意义知 是此曲线族中一Fx()(1)2,,,,dxxxC,x
C,2条,由点(,,5),确定 ,所以所求曲线( Fxxx()22,,,
练习3.1.2
1(利用直接积分法求下列不定积分:
2,7,12xxx2(103sin),,xxdxxxdx(5),dx(1);(2;(3). ,,,,3x
3x102x2,,,,,,xxdxxxC(103sin)3cos【解】(1); ,ln103
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517321022222(2); xxdxxxdxxxC(5)(5),,,,,,,,73
2xx,,71212(3). dxxdxxxC,,,,,(4)4,,x,32
2(利用凑微分法求下列不定积分:
x20e1(1); (2) ; (3) ( dxsinxdx(3x,2)dxx,,,e,2x
20112020【解】(1) (32)(32)(3)(32)(32)xdxxdxxdx,,,,,,,,,33
121; ,,,(32)xC93
xe11xxx(2); dxdedeeC,,,,,,(2)ln(2),,,xxxeee,,,222
1(3) ( sin2sin2cosxdxxdxxC,,,,,,x
3(利用分部积分法求下列不定积分:
xxxxsind(1); (2)( xxed,,
xxxxdxxxxdxxxxCsindcos(coscos)cossin,,,,,,,,,【解】(1); ,,,
xxxxxxxxxdexeedxxeeCed,,,,,,(2)( ,,,
4((略)
练习3.1.3
1(指出下列微分方程的阶数:
dydy2322()()1,,,,xyx,,(1); (2); xyxyx()20,,,dxdx
3dydy2,,,yxxyx,,,,3)(; (4). yxyx,,,23sin3dxdx
【解】(1)一阶;(2)一阶;(3)三阶;(4)二阶( 2(验证下列函数是否为所给方程的解:
22,,,,(1); (2). xyxyx,,2,5yyyxab,,,,,,()10,lncos()
222,,【解】(1)左边右边,所以不是方程的解; ,,,,,xyxxxx(5)102yx,5
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,,sin()1xa(2)或,则,则 ,,,yxab,,,lncos()yy,,,,2cos()xa,cos()xa,
21sin()xa,2左边 ,,,,,,,,,,yy()1122cos()cos()xaxa,,
22,,,,,1sin()cos()xaxa右边,所以为方程的解( yxab,,,lncos(),,,02cos()xa,
3(求下列微分方程的通解:
dyy(1) ; (2). y',,,,,122yxxyxdx
y1111【解】(1); ydydxdydxyxCyCx',,,lnlnln,,,,,,,,,xyxyx
dydydy,,,,,,,,,,,122,(1)2(1),(1)(12)yxxyyxyyx(2), dxdxdx
dydy2, ,, ,,(12)xdx,,(12)xdxln(1)ln,,,,yxxC,,1,y1,y
22xx,xx,即,故( 1,,yCeyCe,,1
4(求下列微分方程通解及满足初始条件的特解:
dyx5x(1); (2). ,,,,0yyyexy,,,,'2,x,4,0xdxy4
dyx11122【解】(1),所以 ,,,,,,,,,,,,ydyxdxydyxdxyxC,,dxy222222222C,16y,0,即,因为,则,即特解为:( yxC,,,xyC,,xy,,16x,4
12x(2)先求相应的齐次方程通解, yydydxyxCyCe,,,,,,'20,2,ln2ln,y
2x2xx,令原方程的一个特解为,代入原方程得: yCxe,()Cxeex(),,,
11,,,,,xxxxx222,CxexeCxexeeC,,,,,,,(),(),所以原方程的通解为:24
11522xxxC,2yCxeexCe,,,,,,(),将代入,得,故原方程的特解为y,x,0244
11xx2yexe,,,,,2( 24
第3章 积分及其应用 第 3 页 共 14 页
5((略)
习题3.1 1(求下列不定积分:
213(1),xxx(1); (2); (3)( ()xxdx,,,aedxdx3,,,xxx
313123,222【解】(1); ,,,,,,,,()lnxxdxxxxxC,3xx232
322(1)121,,,xxx2(2) dxdxxxdx,,,,(2),,,xxx
354222; ,,,,2xxxC35
xxx()aeaexxx(3)( aedxaedxCC,,,,,(),,ln()1lnaea,2(求下列不定积分:
2xdxx11ln2xxcosdxdx(1);(2);(3);(4);(5)( (x,2)dxecosedx2,,,,,2xxxx,1
12232【解】(1)(2)(24)4xdxxxdxxxxC,,,,,,,,; ,,3
22xdxdxdx11(1),2(2); ,,,,,xC1,,,22222xxx,,,111
xxxxxeedxedeeCcoscossin,,,(3); ,,
11111coscossindxdC,,,,,(4); 2,,xxxxx
2ln1x23dxxdxxC,,,lnlnln(5)( ,,x3
3(求下列不定积分:
,xxxxcos2dxxed(1); (2); ,,
,,,,,,xxxxxxxxxdexeedxxeeCed(),,,,,,,,,【解】(1); ,,,
11xxxxdxxxxdxcos2dsin2(sin2sin2),,, (2) ,,,22
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11; ,,,xxxCsin2cos224
1111233332(3) xxdxxdxxxxdxxxxdxlnln(lnln)ln,,,,,,,,,3333
11113233( ,,,,,xxxdxxxxClnln,3339
4(求下列微分方程的通解:
dyxy,(1); (2); (3)( ,eyyx'3,,yxy'tan1,,dx
yxyxCyx【解】(1)移项分离变量得:,两边积分得,,edyedx,eee,,edyedx,,,
两边取以e为底指数,得; yCx,
dy,x(2)先求相应的齐次方程的通解,,,,,,,,,lnln,yy'0,,dxyxCyCey
,x,x,令原方程的一个特解为,代入原方程得:, Cxex()3yCxe,(),
x,x,所以原方程的通解; 故CxxeC()3(1),,,yxCe,,,3(1)(3)将方程化成
标准
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式,先求相应的齐次方程的通yyxx'cotcot,,yyx'cot0,,dy解,,令原方程的一个特解为,,,,cot,lnlnsinln,sinxdxyxCyCxyCxx,()siny
1,并代入原方程得,故CxCxC()csc,,,,,,,所以原方程的Cxxx()sincot,sinx
通解( yCx,,,1sin
y,45(求满足初始条件的特解( dyxydxxdy,,(2)x,1
dyx22【解】原方程整理得:,两边求不定积分得: lnln(1)lnyxC,,,,dx2yx1,
2y,4两边同取以e为底的对数得方程通解:yCx,,(1),把初始条件代入通解,得x,1
2C,2y,4yx,,2(1),所以方程满足初始条件的特解为( x,1
y2,y,0yx,,6(求满足初始条件的特解( x,1x
ydy1y'0,,【解】先求相应的齐次方程的通解,,,,,,dxyxCyCx,lnlnln,xyx
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2x2令原方程的一个特解为,代入原方程得:,即, ,CxC(),,yCxx,()Cxxx(),2
3x1故原方程的通解,把初始条件代入通解,得,则方程满足初y,0C,,yCx,,x,122
3x1始条件的特解为( y,0yx,,x,122
练习3.2.1
1(利用定积分的几何意义,判断下列各式是否成立(
1 1,21(1); (2),xdx,; 2xdx,1,, 0 04
,, ,22(3); (4)( sinxdx,0cosxdx,2cosxdx,,,,, 0 , ,2【解】 以上各式均成立(
2xx,,1,22(用定积分
表
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示由曲线,直线及所围成的平面区域的面积( y,0yx,
22Sxdx,【解】( ,1
1xx,,,23(用定积分表示由曲线,直线及轴所围成的曲边梯形的面积( xyx,lne
12【解】Sxdxxdx,,lnln( 1,,1e
练习3.2.2
1(计算下列定积分:
3231,xdxxdx(1); (2); ,,0,1
,1xx2(sincos)xxdx,(2),edx(3); (4)( ,,00
33181341)【解】(; xdxx,,,0044
122121122(2) ,,,,,,,,,1(1)(1)()()xdxxdxxdxxxxx,,,,,,1111122
1113,,,,,,,,,,1(1)221; 2222
x1121xxx,,,,,,edxee(3); (2)()1,00ln2ln2
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,,22(sincos)(cossin)112xxdxxx,,,,,,,(4)( ,002(设函数
3,xx,01,,,, fx(),,xex,13.,,,,
3求( fxdx(),0
41331333xx333【解】 fxdxxdxedxxeee,,,,,,,(),,,00101443(求下列函数的导数:
x12,t(1); (2)fxedt(),( ,,()sinxttdt,,0x
,【解】(1); ,,()sinxxx
1x222,,,ttx,,,fxedtedte()[][]( (2) ,,,,,,,x1
练习3.2.3
,(求下列函数的定积分:
222xdxdx(1); (2); ,,114x,3x,1
1e1,lnx2dxx1,xdx(3); (4)( ,,10x
222dxdx1(43)11,【解】(1); ,,,,ln(43)ln5x,,1114344344xx,,
22222xx,,111122dxdxxdxxxx,,,,,,,,(1)[ln(1)](2)1,,,111xxx,,,1112
1,,,ln3ln2; 2
311111122222(3); xxdxxdxx11(1)(1),,,,,,,,,,,000233
eee1ln13,x2(4)( dxxdxx,,,,,,(1ln)(1ln)(1ln),,111x22,(求下列函数的定积分:
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,3e3x32xcos2xdx(1); (2); (3)( xedxxlnxdx,,,011
333331121xxxxx3333933【解】(1) xdxxdxdxeee,,,,,,ee(ee),,,111113339
8593,,ee; 99
,,,,211222,,,xxdxxdxxxxdxcos2sin2(sin2sin2)(2); ,,,000022
,211,,,cos2x; 042
eeeee1111344344(3) xxdxxdxxxxdxex,,,,,lnln(ln),,,1111144416
314,,e( 1616
练习3.2.4
(求下列广义积分 1
,,,,,,211x,dxxedx(1); (2); (3)( dx4,,,104xx
b,,b111111【解】(1); dxdx,,,,,,limlim()lim(1)4433,,111,,,,,,,,,bbbxxxb333
b,,b11(2); dxdxx,,,,,limlim(2),,444,,,,,,bbxx
b,,b2221112,,,xxx(3)( xedxedxe,,,,,,lim()lim(),,000,,,,,,bb222
2((略)
习题3.2 1(求下列函数的定积分:
,62122sincosxxdx,(2)xdx,dx(1); (2); (3); ,,,01213,x
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22e11lnxx1x(4); (5); (6); dxdxedx2,,,0e0x,1xx
,x1e222xedxxxdxsin(7); (8); (9)( xxdxln,,,001
6614023【解】(1); (2)(2)xdxxx,,,,,2233
22211111(2); dxdxx,,,,,,,,(13)ln13(ln2ln5),,1111331333,,xx
,,,242(3) sincos(cossin)(sincos)xxdxxxdxxxdx,,,,,,,,,004
,,42; ,,,,,,,(sincos)(cossin)2(21)xxxx,04
111x11122(4); dxdxx,,,,,(1)ln(1)ln2,,22000xx,,1212
1111xxx(5); edxedxee,,,,2222,,000x
2222eeeln17x236)(; dxxdxx,,,lnlnln,,eeex33
xxxxx1111122222(7); xedxxdexeedxeee,,,,,,,22()2442,,,00000
,,,,,222222222xxdxxdxxxxdxxxdxsincos(coscos)2cos,,,,,,(8) ,,,,00000,,,,2222,,,,,,,2sin2sin2sin2cos2xdxxxxdxx,,; ,,0000
2eeee111e229)(( xxdxxdxxxxdxlnln(ln),,,,,,,,11112244
2(计算下列广义积分:
,,0,,1x,dxedxcosxdx(1); (2); (3)( 3,,,10,,x
b,,b1111111【解】(1); dxdx,,,,,,limlim()lim()332222,,aa,,,,,,,,,bbabxxxaba222
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b,,b1,,,xxx(2); edxedxe,,,,,,limlim()lim(1)1,,b000,,,,,,,,,bbbe
000(3)不存在( coslimcoslim(sin)lim(sin)xdxxdxxa,,,,,,,,,aaaaa,,,,,,,,,
*3(求下列函数的导数:
x,22u2(1); (2)( Fxtdt()cos,,,()sinxeudu,,0x
xd22,【解】(1); ()coscosFxtdtx,,,0dx
,2xdd222uux,(2),,,,,,()sinsinsin( xeudueuduex,,x,2dxdx
练习3.3
1(用定积分表示下面5个图形阴影部分的面积.
bb【解】图(1)Sfxdx,();图(2)Sfxdx,,(); ,,aa
cbb图(3)Sfxdxfxdx,,,()();图(4); Sfxfxdx,,[()()]12,,,aac
b图(5)Sfxfxdx,,[()()]. 21,a
22 2(求由曲线及直线所围成在第一象限的图形面积( y,1yxyx,,2,
11422,2222【解】( Sxxdxxdx,,,,,2(2)2(1)1,,032
223(求由曲线所围成的图形面积( yxyx,,,2,
1822Sxxdx,,,,2(2). ,03
x,Rx()100,,4(已知生产某商品单位时,边际收益函数为 (元/单位),求生产单xx20
位时总收益以及平均单位收益,并求生产这种产品1000单位变化到2000单位时Rx()Rx()
的总收益和平均单位收益的改变量(
2xx,RxRxdxdxxC()()(100)100,,,,,,【解】,由于R(0)0,,所以,,2040
2xRxx()C,0Rxx()100,,Rx()100,,,,故总收益函数,平均单位收益函数; 40x40
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2000,(元)( ,,,,,RRRRxdx(2000)(1000)()25000,1000
(元/件) ,,,,,RRR(2000)(1000)25
5(已知某产品产量的变化率是时间的函数(是常数),设此产品时的ftatb(),,ab,tt
,已知,求( 产量函数为P(0)0,Pt()Pt()
12【解】,由于知C=0,故 PtftdtatbdtatbtC()()(),,,,,,P(0)0,,,2
2( Ptatbt(),,
复习题3
一(选择题:
sin2x1. 下列哪一个不是的原函数( )
11222A(,,cos2xC B(sinxC, C( ,,cosxC D(. sinxC,22
2x,则 ( ) 2. 设fxdxec(),,fx(),,
12x2x2x2xe2eec,A( B(e C( D( 2
3(若f(x)dx,F(x),C,则sinxf(cosx)dx,( ) ,,
A( B( C( D( F(sinx),C,F(sinx),CF(cosx),C,F(cosx),C
k2(2x,3x)dx,04(如果,则k=( ) ,0
3A(0 B(1 C(-1 D( 2,(下列积分满足牛顿—莱布尼兹公式条件的有( )
35e14x1xxdxdxdxA( B(dx C( D( 123,,,,02,01x,1lnxx1,xe2(x,5)【答案】 1 2 3 4 5
D A D B A
二、填空题
,x,1,. 已知fxx()21,,y,2fx(),,且时,则 .
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22,(设上连续,_______________. dlnxdx,f(x),lnx在(,,,,,),
2,x,(已知是的一个原函数,则_______________. xfxdx(),ef(x),
35x,4(__________________. []dx,2,0x,1
325(方程,,是_______________阶微分方程( yyxy,,,0
【答案】
2232,x1.;2.;3.;4.0;5.2. xx,lnxdxeC,
三(求不定积分
x5(1)(21)xdx,; (2); dx,,22,x
sinx1(dxdx3); (4)( 22,,cosxxxln
115561); 【解】((21)(21)(21)(21)xdxxdxxC,,,,,,,,,212
x1122(2); dxdxxC,,,,,,,(2)2,,22222,,xx
sin11x(3)dxdxC,,,,cos; 22,,coscoscosxxx
111dxdxC,,,,ln(4)( 22,,xxxxlnlnln
四(求定积分和广义积分
1,x2,1e132cossin2xxdxdx(1); (2); (3); dx2,,3,01,2x,(115)x
1,,1ttedt(4); (5)( dx,,01x
,1,,11111117【解】(1); ,,,,,dxdx(115),,332,,22,2,,,(115)5(115)10(115)72xxx
,,,,2223445222,,,,,,cossin22cossin2coscoscosxxdxxxdxxdxx(2); ,,,000055
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111x222e1xx(3); dxedeee,,,,,,,,2111xx
111ttttt11(4); tedttdeteedtee,,,,,,100,,,000
,,b11b(5)( dxdxx,,,,,limlim(2)1,,11bb,,,,,,xx
五((略)(
六(已知某产品产量的变化率是时间的函数(是常数),设此产品时ftatb(),,ab,tt
的产量函数为,已知,求,并求出当时间从5变化到10时的产量增量( Q(0)0,Qt()
a2【解】QtatbdttbtC()(),,,,,由于,代入得C=0,所以Q(0)0,,2
1010a17522Qttbt(),,; ( ,,,,,,,Qatbdtatbtab()()5,55222
QP,0P七(设某产品的需求量是价格的函数,该商品的最大需求量为1000(即时
P1,,Q,1000Q,),已知需求量的变化率(边际需求)为,求需求量与价QP,,,()1000ln4,,4,,P格的函数关系(
P1,,,P,【解】 QPQPdPdPdP()()1000ln4(1000ln4)4(),,,,,,,,,,,4,,
P,P41,, CC,,,,1000ln41000,,ln44,,
P1,,由于,代入上式得, C=0,所以 ( Q(0)1000,QP,()1000,,4,,八(求下列图形面积
1yx,y,4y,(1)求由与直线,所围成的平面图形的面积( x
2(2)求由yx,2与所围成的平面区域的面积( yxx,,4
141411152Sdxxdxxxxx,,,,,,,,,,(4)(4)(4ln)(4)2ln2【解】(1); 1,,111x2244
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222142223(2)( Sxxxdxxxdxxx,,,,,,,,(42)(2)(),,00033
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