§162 二元函数的极限

§162 二元函数的极限 幻灯与一元函数极限类似地， 片 1 从几何直观,引入二元函 ?16.2 二元函数的极限数极限. 一. 全面极限与相对极限: 二重极限 复习一元函数极限: ,lim()fxA,,,,，,,,,,,0,0,(,),:xUa有xa, fxA(),,, 幻灯 lim(,)fxyA,1. 全面极限的定义 片 2 (,)(,)xyxy,00 定义1设函数的定义域为zfxy,(,) DPxy,(,)是的内点，是实常数;动点AD000 PxyD(,),,,,0，,,0;如果，，,,PUP(,),，0 fxyA(,),,,有:成立， Pxy(,)则称函数在点存在极限，且zfxy,(,)000 xx,yy,称为函数zfxy,(,)当，时的极A00 限(全面极限)，记为 lim(,)fxyA, xx,0yy,0 lim(,)fxyA,或lim()fPA,，或 xyxy,,,PP,，，，，000 幻灯分析法讲证明, 例1.用“”定义验证极限 ,,,片 3 22 lim()7xxyy，，, xy,(,)(2,1) 2222()7xxyy，，,,,，,，,(4)21xxyy证明:，， ,，,，,，,，，,(2)(2)(2)2111xxxyyyy，，，，，， ,,，，，,，xxyyy2213 ,,,,,(,)21,11,xyxy限制(,)((2,1),1)xyU,,, ,,，,，,xy2157,,，,,，,yy14145，，，，，， ,,,0,要使:22()7xxyy，，,,,，,7251xy ,,,,，,721xy，， 幻灯不等式与邻域部分(白)分 片 4 层讲 ,,, min1,0,,,取,,,14,, 当时xy,,,,2,1,,,,,(,)((2,1),)(xyU,方) 22,,,，7,,有:()7xxyy，，,，，,14, 22故lim()7xxyy，，,xy,(,)(2,1) 幻灯分析法讲证明, 不等式与 2xy片 5 邻域部分(白)分层讲. lim0, 例2.用“,,,”定义验证极限. 22x,0，xy y,0 证明:0, ,,,要使: 2xyxy1,,,0,,y0,,y0，，2222xy，xy，2 ,,(,)((0,0),)(xyU,方)当时xy,,,,0,0,,,取,,,,20, 2xy1有:0,,,,,22xy，22xy故lim0,220x,xy，0y, 幻灯 片 6 122例3求证lim(，)sin,0xy220x,x，yy,0 122(x，y)sin,0证22x，y 12222,x，y,sin,x，y22x，y ,,,0,，,,,, 22,,(,)((0,0),) ( xyU,圆)当时，0,(x,0)，(y,0),, 122(，)sin,0,,xy原结论成立(22x，y 幻灯分析法讲证明 22,xy,片 7 xyxy, (,)(0,0),,,22 例4.设fxy(,), xy，, ,0 , (,)(0,0).xy,, lim(,)0fxy,证明。(用极坐标变换) (,)(0,0)xy, 则(,)(0,0)xy,xr,cos,,,证明:令(极坐标变换),,,,,,,0都有ryr,sin.,, ,,,0,:要使22xy,1122,xyfxy(,)0,,,,rrsin422xy，44 122,,,，xy，，422只要 2,xy，,, 幻灯不等式与邻域部分(白)分 片 8 层讲. 22,,(,)((0,0),) ( xyU,圆)当时0,,,，,rxy,取,,,,20, 不论取什么值,,,都有:(,)0fxy,, 故lim(,)0fxy,(,)(0,0)xy, 幻灯分二层讲,无穷远点的极 片 9 限. ,.相对极限及方向极限 定义2. 设函数zfxy,(,)的定义域为数集 P(0,)，,DPxy,(,)是的聚点，是实常数;动点AD0000 PxyD(,),;如果,,,0，，,,0，，,,,0,R fxyA(,),,,,,PUPD(,),，有:成立， 当时xyR,,,0,,,0 PP,则称函数f在上当时，以为极限， AD0 记为 lim()fPA, PP,0PD, 在对不致产生误解时，也可简记为:PxyD(,), lim()fPA,lim(,)fxyA,， 或。 lim(,)fxyA,xyxy,,,PP,(,)(0,)，，xy,，,，，000 (,)xy,无穷远点的情况. 幻灯 片 10 特别，在相对极限lim()fPA,中， PP,0PD, Dxyyykxx,,，,,()为一条直线时， ，，,,00 记为lim()fPPP,,，,lim( , ())fxykxx,A000xx,PD,0 称为方向极限。 幻灯定理1及其推论的证明, 片 与一元函数极限的海涅归3.全面极限与相对极限的关系11 结原理相似. ,定理1.lim()fPA,，对D的每一个子集PP,0PD, Plim()fPA,E，只要点是E的聚点,就有. 0PP,0PE, ED,PE 推论1.设，是的聚点。若极限101 lim()fP不存在，则极限lim()fP也不存在 . PP,PP,00PE,PD,1 幻灯 片 12 EED,,PEE 推论2. 设，是和的聚点。 01212 lim()fPA,lim()fPA,若存在极限，， 12PP,PP,00PE,PE,12 AA,lim()fP但，则极限不存在。 12PP,0PD, , 推论3. 极限lim()fP存在， 对D内任一PP,0PD, PP,{()}fP{ }PPP,，但，数列收敛。 点列nn0n0n 幻灯 片 lim()fP通常为了证明极限不存在， 13 PP,0 可证明沿某个方向的极限不存在， 或证明沿某两个方向的极限不相等， 或证明方向极限与方向有关。 但应注意，沿任何方向的极限存在且相等 , 全面极限存在(以下例,)。 , 幻灯Page.95例3 xy, , (,)(0,0),xy,片 ,22xy，fxy(,),例5.设 ,14 ,0 , (,)(0,0) .xy,, lim(,)fxy证明极限不存在. (,)(0,0)xy, 当动点沿着直线而趋于定点时(,)(0,0)xyykx,,证明: xkx，，k,fxkx(,),,,由于此时fxy(,)2221，kxkx，，， k？ lim(,)fxy,lim(,)fxkx,.(,)(0,0)xy,2x,01，k ykx, 这一结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明动点沿不同斜率的直线趋于原点时k, 对应的极限值也不同因此所讨论的极限不存在,. 幻灯Page.95例4 2, 1 , 0,当,,,,,,，,yxx片 例6. (,)设fxy,, 0 , 其余部分15 , fxy(,)0,,当点沿着任何直线趋于原点时(,)(0,0)xy, 在时(,)(0,0)xy,,但这并不表明, 函数的极限存在fxy(,). 2当点沿着抛物线(,)xyykx,y (01)(0,0),,,k趋于点时f,0fxy(,)1,,f,1f,1 ？极限不存在lim(,)fxy.ox(,)(0,0)xy,f,0 幻灯 片 3xy16 lim例7证明不存在(620x,x，yy,0 3y,kx,证取 333xyx,kxklimlim,,,6226260x,x,0xy，，k1，xkx3y,0y,kx 其值随k的不同而变化， 故极限不存在( 幻灯 3片 3xyxylimz,图形,不存在.62观察17 620x,，xyx，yy,0 播放播放 幻灯重极限的计算方法,(1)四 二元函数函数极限具有与一元函数极限类似片 则运算法则,(2)两边夹定的运算性质.18 理„ 例8 求下列极限: 2xyxysin).lim, ).lim,iii22(,)(0,0)(,)(3,0)xyxy,,xyy， 22xy11，,ln(1)xy，，iiiiv).lim, ).lim.22(,)(0,0)(,)(0,0)xyxy,,xyxy， 2xyxyx0,解:).i,x,0,22,22xy，xy，2(,)(0,0)xy,2xylim0,,由两夹定理知,22xy,(,)(0,0)，xy 幻灯 sinxysinxy片 ,,ii).limlimx,3,(,)(3,0)xy,(,)(3,0)xy,yxy19 22xy，,11，，xy，,11iii).lim,lim(,)(0,0)xy,(,)(0,0)xy,xyxyxy，，11，， 11,lim,,(,)(0,0)xy,xy2，，11 2222令txy,，ln(1)，tln(1)，，xylimiv).lim,，22t,0xy,(,)(0,0)txy， 1(1)，t,lim,1.，t,01 幻灯 片 2xysin()例9求极限lim.20 220x,x，y0y, 2sin(xy)lim解220x,，xyy,022sin(xy)xylim,,,2220x,xyx，y0y, 22sin()xyu,xysinulimlim,1,其中2x,0xyu,0uy,022xysin()xy1x,0？lim,0.,,,,0,22,x220x,xy，x，y2y,0 幻灯白色部分,分三层讲非正 片 常极限. lim(,)fxy,，,4(极限的定义 (,)(,)xyxy,0021 定义3. 设函数zfxy,(,)的定义域为数集 DPxy,(,)是的聚点，动点PxyD(,),; D000 如果,,M0，，,,0，,,PUPD(,),，有:0 fxyM(,),, (,)fxyM,fxyM(,),成立， PP,则称函数f在上当时，存在非正常极限D0 lim() lim()fPfP,,,,,，,，记为 lim()fP,，, ,, ,PPPP,,PP,000PDPD,,PD, lim()fP,,,lim(,) lim(,)fxyfxy,,,,,lim()fP,，,lim(,)fxy,，,简记， 或。 lim() fP,,PP,(,)(,)(,)(,)xyxyxyxy,,xyxy,,,PP,，，，，PP,000000000 其他类型的非正常极限 幻灯分析法讲授, 1片 ,，,例10.验证lim. 22xy,(,)(0,0)xy，2322 证明:,,M0,:要使 11,,M,222223xy，3xy，，， 112222只要xy，,, 即xy，,3M3M 122,,(,)(0,0),xyU,，，取,,,0,当时0,，,xy,,3M 1有:,M,2223xy， 1故,，,lim22(,)(0,0)xy,xy，23 幻灯 片 23 二. 累次极限 lim(,)fxy 上段研究的极限中,两个自变(,)(,)xyxy,00 xy,量同时以任何方式趋于.这种极限又称xy,00 为重极限.在这一段里,我们要考察与依一定xy xy与时的极限,这种极限称的先后顺序趋于f00 为累次极限. 幻灯二类累次极限,平行地分常认为均是区间1. 累次极限的定义片 二层次讲授. Ey 定义4. 设是的聚点，是的聚EEx,,,REx0xy0y24 点，二元函数在集合上有定义.若对每一fDEE,，xy 个,存在极限lim(,)fxy,此极限一般与yEyy,,,yxlim(,)fxyxExx,,,y0x0xx,yy,00xE,yE,0x0y类似地可定义 有关,记作:,()lim(,)yfxy,, ,()lim(,)xfxy,xx,yy,00xE,yE,先对后对 yxx0y0 Kx,lim(),Ly,lim(),如果进一步存在极限 , 的累次极限， xx,yy,00yExE,,x00y ,x,,xy,y则称此极限为f先对先对x(())后对后对y(() )的累次极yx0000 Kfxy,limlim(,)Kfxy,limlim(,)Lfxy,limlim(,)Lfxy,limlim(,)限，记作 ,简记. xxyy,,xxyy,,yyxx,,yyxx,,00000000xEyE,,yExE,,00xy00yx 幻灯 xy片 例11.设fxy(,),，求在点的两( 0 , 0 )22xy，25 个累次极限。 xylim当时y,0:,有,0,解:220x,，xy xy从而有 limlim,0,22yx,,00，xy xy同理得: limlim0.,22xy,,00，xy xy注:此例全面极限不存在lim,见例5.22(,)(0,0)xy,，xy 幻灯 22xy,片 例12.设, 求在点( 0 , 0 )的fxy(,),22xy，26 两个累次极限。 222xy,,y解:lim,,,1,当时y,0:,有222x,0yxy，22xy, limlim,,1,从而有22yx,,00xy， 222xy,x: limlim同理得,lim,1.222xy,,00x,0xy，x 22xy,lim注:此例中全面极限不存在.22xy,(,)(0,0)xy， 幻灯 11 例13.设fxyxy(,)sinsin,，，求在点片 yx27 ( 0 , 0 )的两个累次极限。 ,,11limsinsinxy，当时y,0:不存在,解:,,x,0yx,, ,,11从而有 limlimsinsinxy，不存在.,,yx,,00yx,, ,,11同理得: limlimsinsinxy，不存在.,,xy,,00yx,, 注:此例中全面极存在限事实上lim(,),,fxy(,)(0,0)xy, 11fxyxy(,)sinsin,，,，xy0,,0yx ？,lim(,)0.fxy(,)(0,0)xy, 幻灯先请同学们,总结归纳关2.全面极限与累次极限的关系片 系. ?两个累次极限存在时，可以不相等. (例12) 28 ?两个累次极限中的一个存在时, 另一个 可以不存在. 1例如函数fxyx(,)sin,在点( 0 , 0 )的情况。 y ?全面极限存在时, 两个累次极限可以不 存在.如例13。 ?两个累次极限存在(甚至相等) ,全面极限存在. ( 参阅例5和例11 )., 综上所述，全面极限、两个累次极限三者的存在性 彼此没有关系。但有以下确定关系. 幻灯 lim(,)fxy 定理2 若全面极限和累次极限片 (,)(,)xyxy,00 29 limlim(,)fxy(或另一次序)都存在，则必相等。 xxyy,,00 证明:设lim(,),fxyA,则 0,,,,(,)(,)xyxy,00 当且时xxyyxyxy,,,,,,,,,(,)(,),，,,0,0000 有:fxyA(,). (1),,, 又当时0 lim(,)(),,,,xxfxyx,,,有:0yy,0 于是中令得, (1), : ().yyxA,,,,,0 ？,lim(),xA,即limlim(,)lim(,)fxyfxy,xx,yyxxxyxy,,,(,)(,)00000 幻灯 片 推论1全面极限和两个累次极限三者都存在30 时，三者相等。 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分 条件. 推论2两个累次极限存在但不相等时，全面 极限不存在。 但两个累次极限中一个存在，另一个不存在 ,全面极限不存在。参阅?的例. , 幻灯 片 n利用点函数的形式有元函数的极限 31 DP, 定义5设元函数的定义域为点集nfP()0 是其聚点，是实常数,动点;如果,,,0，APD, ，，有: ，,,0,,PUPD(,),|()|fPA,,,0 PP,成立，则称函数f在上当时，以为极AD0 lim()fPA,限，记为 PP,0PD, lim()fPA, 也可简记为: PP,0