多元函数的极限
三(二元函数的极限
对于一元函数，当时，假定f(x)的极限为。这里Ax,xy,f(x)0
，x始终在实数轴上，或者在的左侧或者在的右侧，或者忽x,xxx000左忽右，从而一元函数有左极限，右极限和极限之分。
现在我们来看一下二元函数的极限。即对二元函数，当z,f(x,y)
时，的极限假定为A。这里的(x,y),(x,y)(x,y),(x,y)f(x,y)0000情形极为复杂。点可以沿着任何路径以任何方式趋近于。 (x,y)(x,y)00
定义 设函数在点的某邻域内有定义(在点P(x,y)Pz,f(x,y)0000
P处可以没有定义)。为该邻域内任意一点，若当点沿任意路径趋P(x,y)
AA向于时，趋向于一个确定的常数，则常数叫做函数Pf(x,y)f(x,y)0
当时的极限，记为 x,x,y,y00
limf(x,y),Alimf(P),A 或 x,xP,P00y,y0
也可记作
x,x0limf(x,y),A 或 当时 f(x,y),A(x,y),(x,y)00y,y0
说明
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:(1)函数在某点是否存在极限与函数在这点是否有定义无关。
p(2)定义中要求动点p(x，y)趋向于定点的方式是任意的，即如0
果方式不同结果不一，则极限不存在。
xy例6 求极限。 lim22x,2，xyy,5
xy2510，解 。 lim,,2222x,2xy，，2529y,5
xysin()例7 求极限。 limx,0xy,0
sin(xy)sin(xy)解 lim,lim,y,1，0,0x,0x,0xxyy,0y,0
表面看来，二元函数极限的定义与一元函数情形是类似的，似乎没有什么值得注意的地方。事实是否如此呢,
例8 考察二元函数
2xy f(x,y),24x，y
在原点的极限情况。
解 这个函数在原点以外的地方都有定义，所以我们可以考察它在原点的极限情况。
设ax十by,0是过原点的任意一条直线
ab,0y,,x当时，直线方程可以写成。此时，若点(x,y)沿着该直b
ax,0(x，,x),(0，0)线趋于原点，即，它等价于。于是 b
22aa,,,,x,xx,,,,bb,,,, lim(,),lim,lim,0fxy44x,x,x,000aa,,,,22y,0x，,x1，x,,,,bb,,,,
当b=0时，直线方程可以写成x=0，此时，若点(x,y)沿着该直线趋于原点时，即为，于是 y,0
2y0,fxylim(,),lim,0 24x,0y,0y0，y,0
总之，对于任意过原点直线，点(x,y)沿着它趋于原点时，均有f(x,y),0。但我们令(x,y)沿着曲线趋于原点时，就有 y,x
xx1,fxylim(,)lim ,,22x,x,002xx，y,0
根据二元函数极限的定义，该极限不存在。
P22练习 4(1)
四(二元函数的连续性
定义 设函数在点的某邻域内有定义，若P(x,y)z,f(x,y)000
，则称函数在点处连续。而点limf(x,y),f(x,y)P(x,y)f(x,y)00000x,x0y,y0
叫做函数的连续点。如果函数在平面区域D内Pz,f(x,y)z,f(x,y)0
每一点都连续，则称在区域D内连续，而D叫做函数的连续域。 z,f(x,y)
显然，二元连续函数的图形是一个无孔隙、无裂缝的曲面。
根据极限定义判断一个二元函数的连续性是相当麻烦的。我们可以利用下面这些结果，对于我们分析通常遇到的函数，基本上可以很快断定一个函数在哪些地方是连续的。
(1)基本初等函数在作为二元函数时，在其定义域上都是连续的。例
z,sinx如， 在整个xoy平面上连续。
(2)二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)是连续函数。
(3)二元连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上几条可知，由基本初等函数通过四则运算和复合得到的函数，它在定义域内是连续的。而在分析中遇到的函数绝大部分是这种函数。因此，判别函数的连续性问题变成了求函数的定义域问题，求出了定义域，便知在定义域上是连续的。
二元函数的间断处可以是点，也可以是一条线。
22讨论函数例9 在点(1，1)处的连续性。 f(x,y),x，2xy，y
xyxRyR,,,,解 因为函数的定义域为，且点(1，1)是定义，，,,
域内的点，所以函数在点(1，1)是连续的。
同一元函数一样，可以应用二元函数的连续性求二元函数的极限。
xyecosylim例10 求极限。 ,0x1，x，y,0y
xyecosy解 由于点(0，0)是函数定义域内的点，所以是连续点，1，x，y
由连续的定义可知，该点的极限值就等于它的函数值，即
xyecosylim,f(0,0),1 ,0x1，x，y,0y
二元连续函数也有与一元连续函数类似的性质，这里我们不加
证明
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把
二元连续函数在有界闭区域上的性质叙述如下:
最大最小值定理 若函数在有界闭区域D上连续，则它在D上f(x,y)
一定能取得最大值和最小值。
中间值定理 若函数在有界闭区域D上连续，且它取到两个不f(x,y)
同的函数值，则它一定能取到这两个函数值之间的一切值。
推论(零点存在定理)若函数在有界闭区域D上连续，且它取f(x,y)
到的两个不同的函数值中，一个大于零，另一个小于零，则至少存在一点
。 (,,,),D，使f(,,,),0
有界性定理 若函数在有界闭区域D上连续，则它必在D上有f(x,y)
界。
小结 1 二元函数的极限定义(强调“趋向方式”的任意性)。
2 二元函数的连续性概念。
3 二元连续函数在有界闭区域上的性质(由一元连续函数推广即
得)。
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