余数问题

1.把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。 2.求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数1为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数。 3.求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。 4.成为互质关系的两个数:1和任何自然数互质;相邻的两个自然数互质;当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质。 一、基本概念和符号: 1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”; 二、整除判断方法: 1. 能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。 2. 能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7. 能被13整除: ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 三、整除的性质: 1. 如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2. 如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 : 在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9, 8,4整除? 解:如果56□2能被9整除,那么 5+6+□+2=13+□ 应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除; 如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除; 如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5, 7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。 1、在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除? 解:如果56□2能被9整除,那么 5+6+□+2=13+□ 应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除; 如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除; 如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612, 5632,5652,5672,5692时能被4整除。 2、期末考试六年级某班 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 平均分是90分,总分是□95□,这个班有多少名学生? 解析:总分=平均分×人数,即□95□是90的倍数,而90=2×5×9,□95□也应为2、5、9的倍数,根据相关数的整除特征,□95□的个位数一定是0,而□+9+5+0的和也一定是9的倍数,所以千位上的□一定是4,总分一定是4950,学生人数=4950÷90=55(人) 3、一位马虎的采购员买了36套桌椅,,洗衣服时将购货发票洗烂了,只能依稀看到:36套桌椅,单价:□3.□□元,总价:1□24.5□元。你能帮忙算出单价和总价吗? 解析:先不考虑小数点.总价=单价×数量,即1□245□应是36的倍数,而36=4×9,1□245□也应为4、9的倍数,根据相关数的整除特征,5□应为4的倍数,即个位上的□只能是2或6,同时,1+□+2+4+5+□应是9的倍数. 如果个位上取2,那么百位上的□应是4,1424.52÷36=39.57,与题不符 所以个位上只能取6,那么百位上的□应是0或9,如果是0,1024.56÷36=28.46,与题不符.所以总价应为1924.56元,单价=1924.56÷36=53.46元 3、水果店运来苹果和桔子共六筐,分别重15,16,18,19,20,31千克,两天已卖出其中五筐.卖出的五筐中苹果是桔子重量的2倍.剩下一筐是哪筐? 解析:因为五筐中苹果是桔子重量的2倍,说明这五筐的总重量应是3的倍数.六筐的总重量是15+16+18+19+20+31=119千克,119÷3=39…2,由于其中5筐总重量是3的倍数,除以3没有余数,也就是说剩下的那筐重量除以3后,余数是2.在六筐中,20除以3的余数是2,所以,剩下那筐重20千克. 4、小兵和小亮两人做一种轮流报数的游戏。规则是:每个人报出的数不能超过8,也不是0,把两人报出的数加起来,谁报数后加起来是100,谁就获胜。小亮先报,并且第一次都报1,以后不管小兵报几,最后小亮准赢。这是为什么?请说明理由?解析:因为小亮总是先报1,那么剩下的和就只能是99,又因每次报的数在0至8之间,99÷9=11,没有余数,不管小兵报几,小亮就报9减去小兵报的数的差,这样,加起来是100的数一定是小亮报,所以小亮准赢。 5、在1至100的整数中,能被2整除或能被3整除的整数共有多少个? 解析:由于100÷2=50,能被2整除的有50个 100÷3=33、、、1,能被3整除的有33个 以上这些数中,包括了既能被2整除也能被3整除,即能被6整除的数,共有100÷6=16、、、4,有16个,是重复计数的,要扣除 所以,符合题目要求的数有50+33-16=67个 6、从1、3、5、 7、、、、97、99中最多可以选出几个数,使它们当中的每一个数都不能另一个数的倍数。解析:题中全部是奇数,在考虑倍数时,首先把数字1排除,最小的倍数应是3倍由于3×33=99,3×35=105超过99,因此从35开始,以后每一个奇数都不可能是另一个数的倍数,1—99有50个奇数,1—33有17个奇数,所以最多可以选出50-17=33个数,使它们当的任一个数都不会是另一数的倍数。 7、某住宅区有12家住房,他们的门牌号分别是1、2、3、、、、12,他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除。已知这些电话号码的首位数字都小于6,并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除。这一家的电话号码是多少?解析:两个整数甲和乙,如果甲能被乙整除,那么甲与乙的差仍能被乙整除。由于每家电话号码能被门牌号整除,所以电话号码与门牌号的差也能被门牌号整除。电话号码是12个连续的自然数,门牌号也是1、2、3、、、12这12个连续的自然数,每家的电话号码与门牌号的差是同一个整数。它能被1、2、3、、、12这12个数整除,因此它是1、2、3、、、12这12个数最小公倍数的倍数,即27720的倍数,可以写成:27720×某个整数。 门牌号是9的这一家,电话号码是:27720×某个整数+9。因为它能被13整除,9除以13的余数是9,那么27720×某个整数除以13的余数应该是4,而27720=13×2132+4,27720×某个整数=(13× 2132+4)×某个整数,说明4×某个整数除以13的余数是4,那么某个整数除以13的余数应该是1,这样的整数可能是1、14、27、、、、 由于这家的电话号码首位小于6,经尝试,27720×14+9=388089符合题意.所以,这家电话号码是388089 8、甲、乙两人进行下面的游戏。两人先约定一个整数N,然后由甲开始,轮流把0、1、2、、、、9这10个数字之一填入□□□□□□的任一格中,每一方格只填一个数字,数字可以重复,填满后就形成了一个六位数。如果这个六位数能被N整除,就算乙胜;如果不能,就算甲胜。假设N小于15,那么当N取哪几个数时,乙才能取胜。解析:由于甲先取,N如果是偶数,只要甲在最右边方格中放入一个奇数,就能使这个六位数不能被N整除,乙不能获胜。如果N=5,甲可以在最右边方格中填入一个不为0或5的数,乙也不能获胜。如果N=1,随便怎么取,乙必胜;如果N=3或9,乙在放入最后一个数时,总能把这6个数之和凑成3的倍数或9的倍数,乙也能胜;如果N=7、11、13时。我们注意到1001=3×11×13,举个例子1001×123=123123,我们把格子从左到右配好对了,第1格和第4格,第2格和第5格,第3格和第6个配对,甲在任意一对格子中放入一个数,乙就在这对格子的另一个格子中放入同样的数,那样这六位数肯定能被1001整除,也就能被7整除,乙获胜。 所以,当N=1、3、7、9、11、13时,乙才能获胜