切比雪夫不等式证明

切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明:能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250) 2 答题完毕，祝你开心! 1 11不等式 ...

切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明切比雪夫不等式证明一、试利用切比雪夫不等式证明:能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X 表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250) 2 答题完毕，祝你开心! 1 11不等式对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε 0, 恒有P{|X-EX| =ε} =DX/ε^2 或P{|X-EX| ε} =1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX| =ε} 越小，P{|X-EX| ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX| =ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近: 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论:少于50分的人，数目不多于4个。设为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对於任意实数t 0，一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得: 概率论说法设X为随机变数，期望值为μ，方差为σ2。对于任何实数k 0，改进一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子: 这个分布的标准差σ = 1 / k，μ = 0。当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式: 证明定义，设为集的指标函数，有又可从马尔可夫不等式直接证明:马氏不等式说明对任意随机变数Y和正数a有\Pr/a。取Y = 2及a = 2。亦可从概率论的原理和定义开始证明。

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