关于状态转移矩阵的一种简便计算方法

关于状态转移矩阵的一种简便计算方法关于状态转移矩阵的一种简便计算方法 1996年第4期总第3O期关于状态转移矩阵的一种简便计算方法f/ 李振壁r (准五奄320.1) 1摘要状态转移矩阵的计算是自动控制理论中一十基幸而重要的问题?但状态转移矩阵的求解很繁琐,特别是在高时?本文升绍了一种计算状态转移矩阵的简便方法.系统的阶敬越高,这种方法的茼化效果越明显. 关键词线性定常呆坑状志转移矩阵 l引言根据现代控制理论的观点,一个多变量线性控制系统可以由下面的状态空间模型描述: X:Ax+Bu(1) Y:Cx十Du(2) 式中,...

关于状态转移矩阵的一种简便计算方法 1996年第4期总第3O期关于状态转移矩阵的一种简便计算方法f/ 李振壁r (准五奄320.1) 1摘要状态转移矩阵的计算是自动控制理论中一十基幸而重要的问题?但状态转移矩阵的求解很繁琐,特别是在高时?本文升绍了一种计算状态转移矩阵的简便方法.系统的阶敬越高,这种方法的茼化效果越明显. 关键词线性定常呆坑状志转移矩阵 l引言根据现代控制理论的观点,一个多变量线性控制系统可以由下面的状态空间模型描述: X:Ax+Bu(1) Y:Cx十Du(2) 式中,x是描述系统内部状态的n维状态向量,Y是系统的1TI维输出向量.u是r维控制同量An× n,Bn×r,Cm×n,Dm×r是由系统的结构和参数确定的系数矩阵.在很多情况下,例如为了分析系统的动态响应或预测x(t)的未来数值时都需要求解状态x(t)时间表达式: (幻=.+lBu(r)dr 这样,求解x(t)的关键是求出状态转移矩阵e 目前计算e有各种不同的方法,但这些方法的计算过程都比较复杂,尤其是当系统阶次高时, 计算量很大. 2用Laplace变换计算e的简化方法为了求出状态转移矩阵e.令u(t)=0,在(1)式两端取Laplace变换得: sX(s)一x(0):AX(s) 解得:X(s)-二(sI—A)..xr,O) 取L变换得x(t):L{(sI,A)} I:I-- : A) 这样.按照常规的办法,对于一个n阶系统,为了求出L{(sI—A)需要完成下列计算过程: ?计算一个11阶行到式求出det(sIA) ?计算n个n一1阶行列式求出adj(sI—A) ?对(sI—A)的n个元素分解成为分部分式 ?按照上述分解的结果对n个元素求L逆变换. 可见当n较大时,其计算量是相当可观的.F面从两个方面来简化这一计算 1adj(sI—A)的求取设det(sI,A)=a.+a】s一…+aLs”一…s adj(sI—A)一B+BJS一…B:s【.”+B】sI: 则; ?= aaa蔷n—l3十……十j 按照这种方法,可把计算n个n一1个阶行列式简化为计算n一2次n阶矩阵的乘法和加法. 在求L{(sI--A)I1)时,不难证明,可以把矩阵视同为标量,在形式上对整个(sI--A)-1而不是对其每一个元素进行分部分式.这样就使其计算效率几乎提高了n倍. 在对整个分式矩阵求分部分式时,同标量情形一样,仍然是根据其分母det(sI--A)的因式分解结果来确定其分项,而分子的待定系效则成为待定常数矩阵这些待定矩阵的隶法在形式上也同标量情形相同.求Laplace变换时,这些系效矩阵也可以视为常数提到外面来设A有P个单根s?s?,…,8,及一个d重的重根s…(p+=n) 则(aI--A)一丽一—— +…—++墨!+…+=— S--—S I 十— S-- — SZ十…十十==十=:卞…卞.= Mp…+一[(s--ap+ls卜1])(„z?…(5) 实际计算时可以采用一些技巧,而不一定利用(5)式求M 3计算举例我们通过下面的例子说明上述方法的应用已知线性定常系统的状态方程如下,求其状态转移矩阵e ;= fS一2--2—1l 解;IaI—AI—I一1S--3—1I一一7S+1Is-5 I一1—2S-2I f一] 根据式(4)BIB,一A+(--7)I:l1—41l l12—5』 f一一] B.一AB+11I=I一13—1l L一1—24J adj(sI--A)=Bo+SB+SI—ls一1S一4S+3s一1l 于是可把(sI—A)?分解为部分分式如下: 56 (sl—A,一?一 rS一5S+42S一2S一1] lS一1S一4s+3s一1l Ls一12S一2S—5S+4J (S一5)(S一1) M..M;”M— s-?5十-f?话二式中,MM{“M为待定的3阶常系数矩阵 M,一(S一5)(sI—A)I1lb5 M一(s一1)(sI—A)Is- 2S一2 S—4SJ-3 2S一2 S一11 S一1I 一 +4J 在式(6)中令S=0,井把MM代入可得 f3—2一i] M一{I一2—1lL一1—21J 这样,在式(6)两端取L逆变换得状态转移矩阵为 e:Mle+M{“e+M(2】te {e+{e5E 一 {e?+{e5| 一 {e+{e5I + 吉e+{e 丢e+吉e 一 1et 1 e 一 {e+{e ?4l1et?41e5t 参考文献 (6) [1]李友善主编.?自动控饼原理?.罾防瓶.1980 [2]堵方胜彦(日).?现代控翩工程?,科学出艟社-l976 [3]刘豹.?理代拉制理论),. [4]北京大学敛力系.1高等代数?,人民教育出版社.1978 ASimpleAlgorithmforSolvingStateTransiveMatrix LiZhen~” Abstractsolutonofstatetransivematrixisabasicandimportantproblemforw hichthe solvingprocessiscomplex.Asimplif{edAtgorithmisintroducedinthispaper .Tkghtheorder is,themOTetangiblethesimplificationis. KeywoldsLiniearz一invariblesystem,StateTrasiveMatrix. 57 n? 1—4 一

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