曲面与空间曲线的方程

曲面与空间曲线的方程 第2章 曲面与空间曲线的方程 ?2.1 曲面的方程 1、 一动点移动时，与及平面等距离，求该动点的轨迹方程。 A(4,0,0)xoy 解:设在给定的坐标系下，动点，所求的轨迹为， M(x,y,z)C则 M(x,y,z),C,MA,z 222亦即 (x,4)，y，z,z 22 ？(x,4)，y,0 22由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 (x,4)，y,02、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程: (1)到两定点距离之比为常数的点的轨迹; (2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹; (3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹; (4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解:(1)取二定点的连线为轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的x 常数为，二定点的距离为，则二定点的坐标为，设动点，(a,0,0),(,a,0,0)M(x,y,z)m2a 所求的轨迹为，则 C 222222 M(x,y,z),C,(x,a)，y，z,m(x，a)，y，z 2222222亦即 (x,a)，y，z,m[(x，a)，y，z] 2222222经同解变形得: (1,m)(x，y，z),2a(1，m)x，(1,m)a,0上式即为所要求的动点的轨迹方程。 (2)建立坐标系如(1)，但设两定点的距离为，距离之和常数为。设动点，M(x,y,z)2c2a要求的轨迹为， C 222222则M(x,y,z),C,(x,c)，y，z，(x，c)，y，z,2a 222222亦即(x,c)，y，z,2a,(x，c)，y，z 2222222222两边平方且整理后，得: (1) (a,c)x，ay，az,a(a,c) 222 ？a,c？令b,a,c 22222222从而(1)为 bx，ay，az,ab 22222222即: bx，ay，az,ab 由于上述过程为同解变形，所以(3)即为所求的轨迹方程。 (3)建立如(2)的坐标系，设动点，所求的轨迹为， M(x,y,z)C 222222则 M(x,y,z),C,(x,c)，y，z，(x，c)，y，z,,2a 222xyz类似于(2)，上式经同解变形为: ,,,1222abc 222其中 (*) b,c,a(c,a) (*)即为所求的轨迹的方程。 (4)取定平面为面，并让定点在轴上，从而定点的坐标为，再令距离之比为z(0,0,c)xoy 。 m 设动点，所求的轨迹为，则 M(x,y,z)C 222 M(x,y,z),C,x，y，z,mz 22222将上述方程经同解化简为: (*) x，y，(1,m)z,2cz，c,0(*)即为所要求的轨迹方程。 2、 求下列各球面的方程: (1)中心，半径为; (2,,1,3)R,6 (2)中心在原点，且经过点; (6,,2,3) (3)一条直径的两端点是 (2,3,5)与(4,1,,3) (4)通过原点与 (4,0,0),(1,3,0),(0,0,,4) 解:(1)由本节例5 知，所求的球面方程为: 222 (x,2)，(y，1)，(z,3),36 222(2)由已知，球面半径R,6，(,2)，3,7 所以类似上 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，得球面方程为 222 x，y，z,49 2，4,3，15,3(3)由已知，球面的球心坐标，球的半径a,,3,b,,,1,c,,1222 1222，所以球面方程为: R,(4,2)，(1，3)，(5，3),212 222 (x,3)，(y，1)，(z,1),21 222(4)设所求的球面方程为: x，y，z，2gx，2hy，2kz，l,0因该球面经过点，所以 (0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,,4) l,0, ,16，8g,0, (1) ,10，2g，6h,0, ,16,8k,0, 解(1)有 l,0, ,h,,1, ,g,,2, ,k,2, 222？所求的球面方程为 x，y，z,4x,2y，4z,0 ?2.2 母线平行于坐标轴的柱面方程 1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 22(1) 4x，9y,36 解:各题的图形如下: 22(1) 4x，9y,36 z y O x ?2.3空间曲线的方程 221、平面与的公共点组成怎样的轨迹。 x,cx，y,2x,0 解:上述二图形的公共点的坐标满足 222,,x，y,2x,0y,c(2,c) ,,,x,cx,c,,从而:(?)当时，公共点的轨迹为: 0,c,2 ,,y,c(2,c)y,,c(2,c),, 及 ,,,,x,cx,c,, 即为两条平行轴的直线; (?)当时，公共点的轨迹为: c,0 y,0, 即为轴; z,x,0, (?)当时，公共点的轨迹为: c,2 y,0, 即过且平行于z轴的直线; (2,0,0),x,2, (?)当或时，两图形无公共点。 c,2c,0 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线, 222222(1); (2); x，y，16z,64x，4y,16z,64 22222(3); (4) x,4y,16z,64x，9y,16z解:(1)曲面与面的交线为: xoy 22222,,，，16,64，,64xyzxy, ,,,0,0zz,,此曲线是圆心在原点，半径且处在面上的圆。 xoyR,8 222同理可求出曲面与面及面的交线分别为: yoz(x,0)(y,0)x，y，16z,64zox 2222,,，16,64，16,64yzxz， ,,x,0y,0,,它们分别是中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在yyoz轴上，且处在面上的椭圆; xzox 222(2)由面与面，面，面的交线xoy(z,0)yoz(x,0)(y,0)x，4y,16z,64zox 分别为: 222222222,,,，4,16,64，4,16,64，4,16,64xyzxyzxyz,, ,,,,0,0,0zxy,,, 222222,,,,4,16yz,16,64xz，4,64xy亦即:,, ,,,,0,0z,0xy,,, 即为中心在原点，长轴在轴上，且处在面上的椭圆;中心在原点，实轴在轴，且处xoyyx 在面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线。 yozxzox 222(3)曲面与面，面，面的交线xoy(z,0)yoz(x,0)(y,0)x,4y,16z,64zox 分别为: 222222222,,,,4,16,64,4,16,64,4,16,64xyzxyzxyz,, ,,,,0,0,0zxy,,, 222222,,,,4,16,64,16,64yzxz,4,64xy亦即,, ,,,,0,0z,0xy,,, 即为中心在原点，实轴在轴，且处在面上的双曲线;无轨迹以及中心在原点，实轴在xoyx 轴上，且处在面上的双曲线。 xzox 22(4)曲面与面，面，面的交线分别xoy(z,0)yoz(x,0)(y,0)x，9y,16zzox为: 222222,,,，9,16，9,16，9,16xyzxyzxyz,, ,,,,0,0,0zxy,,, 2222,,,9,16,16，9,0yzxzxy亦即,, ,,,,0,0z,0xy,,, 即为坐标原点，顶点在原点以z轴为对称轴，且处在面上的抛物线，以及顶点在原点，yoz以z轴为对称轴，且处在面上的抛物线。 zox 3、 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。 2222,,，,,0，,3,2，3,3,0,0xyzxzyzxz(1);(2) ,,,，1,，1,0zxyz,, 222,x，2y，6z,5x，y，z,1,,(3)(4) ,,2223x,2y,10z,7,x，(y,1)，(z,1),1,, 22,，,,0xyz解:(1)从方程组 ,,，1zx, 22分别消去变量，得: x,y,z(z,1)，y,z,0 22亦即: (?) z，y,3z，1,0 (?) z,x,1,0 22 (?) x，y,x,1,0 (?)是原曲线对平面的射影柱面方程; yoz (?)是原曲线对平面的射影柱面方程; zox (?)是原曲线对平面的射影柱面方程。 xoy (2)按照与(1)同样的方法可得原曲线 (?)对平面的射影柱面方程;; y,z，1,0yoz 22(?)对平面的射影柱面方程;; zoxx,2z,2x，6z,3,0 22(?)对平面的射影柱面方程。。 xoyx,2y,2x，2y，1,0(3) 原曲线对平面的射影柱面方程: 2y，7z,2,0yoz 原曲线对平面的射影柱面方程: zoxx,z,3,0 原曲线对平面的射影柱面方程: 7x，2y,23,0xoy (4) 原曲线对平面的射影柱面方程: y，z,1,0yoz 22原曲线对平面的射影柱面方程: zoxx，2z,2z,0 22原曲线对平面的射影柱面方程:xoyx，2y,2y,0