正则系综理论在单粒子系统上的应用

正则系综理论在单粒子系统上的应用 Vol . 28 ,No . 3 第 28 卷第 3 期沧州师范学院学报 2012 年 9 月 Journal of Cangzhou Normal University Sep . 2012 正则系综理论在单粒子系统上的应用 任天忠 () 沧州师范学院 物理与电子信息系 ,河北 沧州 061001 ( ) 摘 要 :对将正则系综理论应用到简单的单粒子系统箱子中的单粒子进行了尝试 ,得出了与实际观测 结果相符的结论 ,成功解释了简单的单粒子系统的量子力学效应这一现象 ,为复杂系统的研究提供了一 种可行的研究方法. 关键词 :正则系统 ;单粒子系统 ;密度矩阵 () 中图分类号 :O413 . 1 文献标识码 :A 文章编号 :209522910 20120320062203 1 正则系综理论 () 正则系综 :宏观状态参量 粒子数 N 、体积 V 、温度 T都相同的系统的集合 . 对于平衡态几率密度算符只 ^ ^ [ 1 ] 与运动积分有关 ,即 :哈密顿算符 ^ H ,系统总的动量算符 ?P ,和总的角动量算符 M? . 若系统中的粒子数目 N^ 是可变的 ,则 N^ 要看作第四个运动积分 : ^ ^ ρρ( )^ = ^ H^ , N^ , ?P , M? ^ ^ 假设我们讨论的系统宏观静止 ,则 P? = 0 , M? = 0 ,系统的粒子数不变 , N^ = 0 ( ) 正则系综中任一系统的能量 E 是可涨落的量 ,它的能量等于 Ek 量子态的几率 ,由下式决定 :k - 1 ρ( ) (β) ( β)()E= Q , V , N exp - E 1 k k - 1 ) (β) β( 其中 = kT是正则分布的温度因子 ; Q , V , N ,由正则分布的归一条件可得是正则系综的配分函数 B ()(β) β)( 2 Q , V , N = exp - Ek ? k 上式中的求和是对满足对称性 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的系统所有可能的量子态进行的. 属于同一个简并能级的态认为是不同 的量子态 . [ 2 ] 可求得正则系统的密度算符为 - 1 - 1 ρΨ(β) ( β)(β) ( β)ΨΨΨQ , V , N exp - ^H = |〉〈|^ = | 〉Q , V , N exp - E〈| k k k k k ?? k k - 1 (β) ( β)()= Q , V , N exp - ^H 3 其中用到本征矢量的完备性 : ()ΨΨ4 〉〈| = 1| k k ? k β) ( 式中的算符 exp - H^ 理解为求和 ? j (β) j ^H )()( 1 5 -? j ! j = 0 ρ因为 Tr^ = 1 ,所以对正则系综有 (β)β)()( Q , V , N = Tr exp - H^ 6 ρβ) β)( ( ^ = exp - ^H ΠTr exp - ^H ()7 () ( ) Ψx 代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf N 个粒子的坐标 包括自旋;而 x是能量为 E的哈密顿算符 ^ H 的本征函数 . k k 动力学量 b 的观测值〈b^〉,在正则系综中可以通过下式计算 :β- H^ ( )β - 1 - H^ Tr ^be()(ρ) (β) ( ) 10 〈^b〉= Tr ^^b= Q , V , N Tr ^be = β- H^ ( ) Tr e 箱子中的单粒子 [ 4 ] 设有质量为 m 的自由粒子 ,位于边长为 L 的正方形箱中 ,粒子的哈密顿量由下式给出 : 2 2 2 2 2 9 9 9 h h 2 ( ) ()A 11 H^ = - = - + + 2222 m 2 m 9x 9y 9z 符 H^ 的本征函数满足周期性边界条件 : φ( ) φ( ) φ( )φ( )()x , y , z= x + L , y , z= x , y + L , z = x , y , z + L 12 得本征函数 1 ( ) ( )φ() = ?r= exp ?i?k ??r 13 E3Π2 L 的本征值 E 为 2 2 ()E = hkΠ2 m 14 [ 5 ]波矢 ?k 取分立的值 ,由下式决定 π2 ) ( )()15 ?k ? k, k, k= n, n, n x y z x y z L ( ) () ,故若引进矢量 n? , ?n ?n, n, n则由 15得数 n, n, n= 0 , ?1 , ?2 , x y z x y z ()π16 ?k = 2?nΠL 与热源相接触达到平衡的单粒子系统的正则系综密度矩阵 在坐标表象里 ,密度矩阵的矩阵元为 β- 1 - E3 φ ( ) φ ( )()ρ ) (β)( 17 = ?r ,?r = Q , V , N e ?r?r E E ? k [ 6 ]其中正则配分函数为 - β^H - βE 3 3 (β) φ( ) φ( ) φ( ) φ( ) ()18 Q , V , N = ?re ?rd?r = [ e ?r ?r] d?rE E E E ?? ?? E k() () () () () 把 13141516代入 17式 ,得 2 2 βh1 k ( ) ρ ) exp [ - + ?i?k ??r - ?r ]( = ?r ,?r = 3 ? 2 m QL k 2 2 β 1 h k( ) ?exp [ - + ?r - r ] dk i?k? ???3 2 m (π) 2Q? 2 1 m3Π2 m ) ( ) ?r - ?r ] = ( exp [ - 22Q πββ2h 2 h () ,由 18式可得 这说明 :处于热力学平衡态的系统 ,从一种状态向另一种状态转变的趋势 ,必须为此两态之间的逆过程 () 的趋势所平衡 , 21式对于维持系综内的平衡分布非常重要. - 1 ρ还注意到 ,表示粒子位于 r 附近的几率密度的对角元〈r| ^ | r〉与坐标 r 无关 ,等于一个常数 V . 这表 ???? ρ明 ,对于一个单独的自由粒子 ,箱内所有可能达到的位置都是以相等的机会出现的 . 另一方面非对角元〈r| ^ ? | ?r 〉是粒子在位置 ?r 和 ?r 之间“自发跃迁”的几率的量度 ,这也是从描述粒子运动状态的波包中心算起在距 1Π2 () (β) 离| ?r - ?r | 上波包的相对强度的量度 . 由 20式可知 ,波包在空间展延的数量级是 h Πm ,它就是粒子的 [ 7 ]平均热波长 . 用空间展延的波包描绘粒子的运动状态 ,是一个纯粹的量子力学效应 . 2. 2 哈密顿量的系综平均值 () 由 19式知 3 3 9 - β^ H 9 9 m 3 (ρ) ( ) ) k()( ] = = 22 T 〈 H^ 〉= Tr ^ H^ = - ln Tr e = - ln Q = - [ ln VB 2ββ ββ 9 2 πβ22 9 92h 这也正是我们要的与实验相符的结果 . 3 结论 ρ( 通过对与热源相接触达到平衡的系统的正则系综密度矩阵的计算 ,我们可以得到这样的共识 :p , q , ) ρ( ) ρt 的具体形式与系统所处的宏观状态有关 . 如果系统处于平衡态 ,则 = p , q不显含时间 t ,在平衡态的 系综理论中 ,由能量 、体积和粒子数都固定的系统构成的统计系综称为微正则系综 ; 由与温度恒定的大热源 接触 ,具有确定粒子数和体积的系统构成的统计系综称为正则系综 ;由与温度恒定的大热源和化学势恒定的 大粒子源接触 ,具有确定体积的系统构成的统计系综称为巨正则系综. 上述各种统计系综都有各自的概率密 度函数. 在微正则系综中 ,系统处于所有可能的微观状态上的概率都相等 ,即概率密度是不随时间改变的常 数 ,这就是等概率原理. 等概率原理是平衡态统计物理的基本假设 ,它的正确性由它的推论与实际相符而得 到肯定. 参考文献 : 1 北京大学物理系编写组 . 量子统计物理学 M . 北京 :北京大学出版社 ,1987 . () 2 王竹溪 . 统计物理学导论 第二版M . 北京 :高等教育出版社 ,1965 . [ 俄 ]朗道 , Л. Л. , Ландау, 俄 ]栗弗席兹 , Е. М. , ЛиХшид. 杨训恺译 . 统计物理学 M . 北京 :人民教育 3 出版社 ,1964 . 4 [ 前苏联 H. H. 波戈留波夫 . 杨启译. 量子统计学 M . 北京 :科学出版社 ,1959 . J . W. Gibbs. Elementary Principles in Statistical MechanicsM . New York : Yale University Press , 1960 . 5 6 R. H. Fowler . Statistical MechanicsM . 2nd ed. , Edinburgh : Cambridge University Press ,1955 . 7 F. Moling. Statistical Mechanics : Methods and ApplicationsM . Berkeley : Creative Services ,1982 . The Application of the Theory of Regular System to the Single2particle System REN Tian2zhong ()Department of Physics and Electron information , Cangzhou Normal University , Cangzhou , Hebei 061001 , China (Abstract : An attempt has been made to apply the theory of regular system to a simple single2particle system the ) box in the single2particle. After rigorous calculations a result which is consistent with the actual observation has been obtained , which successfully explained the phenomenon of a simple system of single2particle quantum mechanical effects. Hopefully , the result will contribute to the study of complex systems. Key words : regular system ; single2particle system ; density matrix [ 责任编辑 :游阳明 ]