微微对偶不等式的控制证明

微微对偶不等式的控制证明微微对偶不等式的控制证明微微对偶不等式的控制证明 Vo1.12,No.4高等数学研究 Ju1.,2009STUD1ESlNC()LLEGEMATHEMATICS45 微微对偶不等式的控制证明朱琨翁凯庆 (成都市树德中学成都61003l;四川师范大学数学与软件科学学院成都610068) 摘要利用控制不等式理论和凸函数的性质.可证明微微对偶不等式,并将其推广到非对称的形式. 关键词微微对偶不等式;控制不等式;凸函数.中图分类号O151.25 利用微微对偶不等式不仅可以证明许多不等式,而且可以作出一些有...

微微对偶不等式的控制证明微微对偶不等式的控制证明 Vo1.12,No.4高等数学研究 Ju1.,2009STUD1ESlNC()LLEGEMATHEMATICS45 微微对偶不等式的控制证明朱琨翁凯庆 (成都市树德中学成都61003l;四川师范大学数学与软件科学学院成都610068) 摘要利用控制不等式理论和凸函数的性质.可证明微微对偶不等式,并将其推广到非对称的形式. 关键词微微对偶不等式;控制不等式;凸函数.中图分类号O151.25 利用微微对偶不等式不仅可以证明许多不等式,而且可以作出一些有用的推广L1],因此它具有一定的应用价值.过去主要的证明方法多是数学归纳法[33.控制不等式能深刻地描述许多数学量之间的内在关系,它能把许多不等式用统一的方法推导出来并作出推广.本文利用了控制不等式的方法来证明微微对偶不等式. 1微微对偶不等式的定义考虑非负数构成的两个m×,z矩阵 A=:,A一 , 1n , m2…a , r堋其中a?a?…?a(一1,2,…,),A的第i行是A中第i行的一个重排列.微微对偶不等式是 ??n???n,(1)J=:1i=1J=l=1 ??n???a..(2) 即A的列积和?A的列积和,记作S(A)?S(A);A的列和积?A的列和积,记作T(A) ?T(A). 称A为同序阵,A为A的乱序阵.如果一个×矩阵M可由A施行列列交换或行行交换而得到,则S(M)一s(A),丁(M)一T(A),称M是A的可同序阵. 2控制不等式理论的相关定义对于.27一(,.,…,)?R,把的分量排成递减的次序后记作一 (xE1],z[2],…,[), 即]?q]?…?q].把z的分量排成递增的次序后记作 z十=((1),(2),…,X(H)), 即…?.27(2)?…?z(rI). 定义1若.27,Y?R满足 ^ ?订??j,c,k=1,…,一1, 收稿日期:2007—01—31.修改日期:2007—08—31 h榭 "n一口一?一一 .?. 地钯?秘na?? ? n一枇 nnn 46高等数学研究2009年7月则称被Y所(强)控制,或说Y控制,记作<Y. 定义2若z,Y?只满足?目??,k一1,…川,则称z被所下(弱)控制,记作z<.i一j;l 女定义3若z,Y?满足???Y?,k一1,…,,则称被Y所上(弱)控制,记作<.1;l 3控制不等式理论的相关定理定理lt4]设z,Y?R,z<Y甘<Y且<Y. 定理2[设z,Y?R,则+y十<z+Y<十+Y十. 推论l设37??R,i一1,2,…,,则??<?(z?十).i=1i=1 定理3.设,Y?JR, (a)对任意增的凸函数g:J—R,z<Y(g(z1),…,g(x))<(g(3,1),…,g(Y)); (b)对任意增的凹函数g:—R,<Y(g(1),…,g(x))<"(g(1),…,g(y)). 定理4设z,Y?辟R罩,z<Y 这里辟,R旱表示非负.显然当某个z一0或Yj:0时结论成立;当X,Y的分量均大于0时,利用lnt是增的凹函数和定理3(b)即可得证.' 4微微对偶不等式的控制证明先证明(2)式.令 a,?0,(i一1,…,m;一1,…,),?"一(nn,…,口),a"一a"十. 由定理1和推论1有因为再由定理4, 所以 ,m ??n ?n.f=1 下面证明(1)式. 首先证明口d>0(i一1,…,;=:=1,…,")时的情形. 记lnx一(1nx",lnx).因为lnt是增函数,所以 (1nx)十=((1nx)(1),…,(1nx)())一(1nx(I),…,lnx())=ln(x十), ?ln(a?). (3) (4) ? — ? l IJ ? ? z? 口? u< 一忌口? ? ? 口? ? 一 % ? ? ll ? ? — n? ? ? n? ? 一 ? ? ? % ? ? U n? ? ? ? ? 即立成式 ,, 2 / 时一奄当别特一 ?t ? , ? = ? ,, n ,-量 ? 第12卷第4期朱琨.翁凯庆:微微对偶不等式的控制证明47 因此由推论l, 即所以 ?ln(a)<?ln(a?).=li=1 (1n?a,…,In?")<(1nIIaif)'…,InII..i:1i=1f一1i一1 注意到X—P,而厂(,)一是增的凸函数,所以由定理1和定理3(a)有所以 (?n,(1',…,?n)<(?n…,?n,f=1f一1f=1 mmm ??"??(?n,…,?n)啪???a,忌==:1,…,n.(5) 特别当五一时,(1)式成立,即?1In???a.J=1f=1J;1i=1 以下证明存在某些?=0,(—l,…,m;一l,…,)的情形下(1)式也成立. 若某些n一0,则必然存在某个a,1?t?m,它包含的0最多,设n包含r(1?r?n) 个0,不妨设它的前,.项为0.令 rb'=a'", Jf口,— j{,L=1....," Ia?0), a:?0, 口一0,1…?9t--1,汁1…?,? 即保持第t行不变,其余各行的0全换成该行不为0的最小的元素.则 ??n.??IIb一?IIb. J=1i=1J=1f;1J=,广r+1一1 这时a>0,b>O(i一1,…,m;——r+1,…,),再由(5)式得, ?IIb??IIa一??J=件1i一1J一'r件1i=1J1i一1 所以 ??"???口.J一1=1=1i一1 故当日?O(i一1,…,m;一1,…,)时,(1)式成立.证毕. 可以看到在上面的证明过程中,实际上已经对微微对偶不等式进行了推广,即(3)式和(5)式. 参考文献 E1]叶军."微微对偶不等式" 设计八例I-J].数学通报,1989(6):27—30. [2]赵美霞.李蕴芬.利用微微对偶不等式证明几个重要不等式[J3.西安联合大学.1999,2(4):34—38. [33续铁权.微微对偶不等式的证明和讨论I-j].潍坊教育学院(综合版),1994(2):49 —51. [4]王伯英.控制不等式基础[M].北京:北京师范大学出版社,1990:3,11. [5]A.W.Marshall,I.Olkin.Inequalities:TheoryofMajorizationandItsApplications[M].Ne wYork: ACADEMICPRESS.INC.1979.12. , ? ? , < ,, n n ? n n ?

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