生产与销售的协调——数学建模考试小论文（大学开放性作业）

生产与销售的协调——数学建模考试小论文（大学开放性作业） 数学建模考试论文 作者 05级 班级 学号 1 数学建模考试论文 目 录 ..................................................................................................................................................... 2 摘要.......................................................................................................................................................... 3 一、引言 ................................................................................................................................................. 3 二、模型 ................................................................................................................................................. 3 （一）问题的化简和假设 ............................................................................................................ 3 （二）模型的建立 ........................................................................................................................ 3 三、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ................................................................................................................................................. 4 （一）泛函极值问题 .................................................................................................................... 4 （二）最优解及生产率与贮存量之间的关系 .......................................................................... 4 四、结论 ................................................................................................................................................. 5 （一）变分法的基本概念 ............................................................................................................ 5 （二）泛函的变分 ........................................................................................................................ 5 （三）泛函的极值 ........................................................................................................................ 5 五、进一步的探讨................................................................................................................................. 6 （一）模型推广——生产计划模型 ........................................................................................... 6 （二）假设 ..................................................................................................................................... 6 （三）建模 ..................................................................................................................................... 7 五、参考文献 ......................................................................................................................................... 7 2 数学建模考试论文 本文将从分析生产和销售的关系出发，研究如何能使生产率和存贮量都尽量 稳定在预先设定的水平上。 这个模型是用变分法建立的动态优化模型。本文先从一个实例开始讨论，以 在一定时间T内生产率和存贮量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给 出了泛函极值问题。在设销售量为常数的条件下，求出了最优解，并在T很大的 情况下给出了生产率和存贮量之间的关系。本文最后推广出了生产计划制定的一 般模型。 如今，国家工业化和商业化的步伐越来越快，在市场经济的浪潮下，如何以最小的成本 获得最大的经济的利润无疑是人们现在最关注的问题。公司的负责人都希望生产出的产品能 够达到预期最好的销售业绩，不要在货仓里过多的积压，但也不希望产品会脱销，这就要求 人们考虑如何协调好生产和销售这两个商品流通的环节。制定一个科学合理的生产计划是解 决这个问题的最好办法。 本文先讨论一个简单的实例。 一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和存贮量都尽量稳定在预先设定的水平上， 如果销售量可以预测，公司需要制定一个根据存贮量控制生产率的策略。 可以用变分法建立这个实例的动态优化模型。 这个数学模型的主要符号说明如下： x（t）——t时刻的存贮量 u（t）——单位时间产量（即生产率） v（t）——单位时间销量 3 数学建模考试论文 u0——预先给定的生产率 x0——预先给定的存贮量 J(u(t))—— 在时间T内u（t）和x（t）与u0和x0误差的（加权α）平方和最小的泛 函极值 记时刻t的存贮量x（t），单位时间产量（即生产率）和销售量分别为u（t）和v（t）， 则 x（t）= u（t）- v（t） （1）式 设预先给定的生产率和存贮量分别为u0和x0，则在时间T内u（t）和x（t）与u0和 x0误差的（加权α）平方和最小的泛函极值为 2T1,22J（u（t））= [(u(t),u)，(x(t),x)]dt （2）式 00,022 若设t=0和T=0时存贮量为0，则x（0）=x（T）= 0 (3)式 将（1）式代入（2）式得 2T,122J（u（t））= [(x(t)，v(t),u)，(x(t),x)]dt (4)式 00,022 (3)式和（4）式构成一个固定端点的泛函数极值问题。 当销售量v（t）=v0（常数）时，（4）式的欧拉方程为 2 x -,x（x-）= 0 （5）式 0 （5）式在条件（3）下的解为 ,,T,t,T,,t(1,e)e，(e,1)ex（t）=xx- （6）式 00,T,,Te,e 代入（1）式得 ,,T,t,T,,t(1,e)e，(e,1)e u（t）=,xv- （7）式 00,T,,Te,e 由（6）式和（7）式可得 ,,T,t2,x(1,e)e0 u（t）= ,vx+（-x（t））- （8）式 00,T,,Te,e 4 数学建模考试论文 在T很大的情况下（8）式最后一项可忽略，于是 u = ,+（- x） vx00 即生产率u可以由存贮量x直接确定 对于动态优化模型，其优化目标仍然是一个数值，而最优策略是函数。对于连续过程可 归结为求泛函的极值，常用的方法有变分法。 泛函：设S为一函数集合，若对S中的每一函数都 有一个确定的数J与之相对应，则 称J为定义在S上的一个泛函，记作J[y(x)] 。S称为泛函J[y(x)]的定义域。 13n最简泛函：设 SyxyxCxxyxyyxyFCRR,,,,,()() [,],(),()(,)，，，,,010011 定义一个泛函J:S,R，对任意y,S，设 x ,，，J[y(x)],Fx,y,y dx,y(x),S,x0 函数的变分 :函数在，，，，，，,yx,yx,yxy(x)的增量 00 ，，，，,J,Jy(x)，,y(x),Jy(x) 00 ，，,Ly(x),,y(x)，r(y(x),,y(x))00 其中L是 ,y的线性项， 而 是,y的高阶项 ,泛函 J 在 y(x)的变分 ： J(y(x))L(y(x),y(x))000 x最简泛函的变分为： ,，，J[y(x)],Fx,y,y dx,y(x),S,x0 x1,,,JFyFydx,，(')yy', x0 泛函的极值 ：泛函 取得极小值(极大值)是指： J(y(x)),s 对于任意一个与 接近的 都有 y(x)sy(x)0 JyxJyxJyxJyx(())(())((())(()),,00 ,变分与极值的关系 ： JyJyy,(),(，,,)0(x)0(x)(x) ,,0,, 5 数学建模考试论文 泛函数极值的必要条件 ： 定理：泛函J[y(x)]在上达到极小值（或极大值）的必要条件是＝０ y(x),J0 类比：连续光滑函数极值存在的必要条件：在极值点的导数为零。 最简泛函取得极值的必要条件： d,,FFFFyF-=0或-- y- 此式为欧拉方程 F,,,,y,yyxyyyyydx 此最简泛函极值的必要条件可以推广到含有两个及两个以上未知函数 x1 ,,，，，，，，，，,Jyx,zxFx,y,y ,z,zdx,x0 欧拉方程组 d,FF0,, ,yy,,dx ,d,FF 0,, ,zz,dx, 根据以上这个实例，我们可以推广出生产计划制定的一般模型。 工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 ，在制定生产计划时要考虑生 产和存贮两种费用。生产费用通常取决于生产率（单位时间的产量），生产率越高费用越大。 所谓生产计划这里简单地看作是到每一时刻为止的累积产量，它与每单位时间（如每天）的 产量可以互相推算。建模的目的是寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用（生产与 贮存费用之和）最小。 开始生产时刻记为t=0，按照合同应在t=T提交数量为Q的产品。到时刻t为止的产量记作x（t），x(t)即生产计划。因为时刻t的生产率 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为x（t），所以单位时间的生产费用可以一般地记作f（x（t）），而单位时间的贮存费用则应记为g（x（t））。于是从t=0到 t=T的总费用C（x（t））是 C（x(t)） = T，f[(x(t))，g(x(t))]dt 1式 ?,0 为了确定f和g的具体形式作如下假设。 1、单位时间内生产率提高一个单位所需的生产费用与这时的生产率成正比。在需求饱 满、生产率很高的工厂里这个假设是合理的。 2、存贮费与存贮量（即累积产量）成正比。这是关于存贮费的最常用的假设。 6 数学建模考试论文 df，，，假设1 表明，生产费f对生产率的变化率与成正比，即 ,xxx，dx 2于是f（，，（t））= kx（t） 2式 x1? 是比例系数，由假设2则可以直接写出g（x（t））= x（t） 3式 kk?12 是单位数量产品单位时间的存贮费。 k2 将23代入1式并注意到x（t）在t=0和t=T时的值，我们有 ??? TC(x(t))= ，f[kx(t)，kx(t)]dt 4式 ?12,0 x（0）=0，x(T)=Q 5式 ? 制定最优生产计划归结为在固定端点条件5下，求x（t）使4式定义的泛函C（x（t））??取得最小值 2用变分法求解，记F（t，x，，，kx，kx）=，根据欧拉方程可得 x12 d，，，F(t,x,)-(t,x,)=0 6式 xxF?，xdt 方程6在端点条件5下的解为 ?? kQkT4,k2212x（t）= + 7式 tt?4kkT411 这就是使总费用C（x（t））达到最小的生产计划。 [1]姜启源、谢金星、叶俊 ，数学模型（第三版），高等教育出版社，北京，2003. [2]姜启源、谢金星、叶俊 ，《数学模型（第三版）》习题参考解答，高等教育出版社，北京， 2003. [3]上海理工大学，数学建模课件 7