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专题复习最短路径问题 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？将军饮马问题 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．将军饮马问题1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”，从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。2.能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决。3、通过训练，提高综合运用知识的能力。学习目标 如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，选择哪条路距离最短？你的理由是什么？两点之间线段最短知识回顾对应点所连的线段被对称轴垂直平分。知识回顾如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？P所以泵站建在点P可使输气管线最短数学原理：两点之间线段最短 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线． 点P是直线上的一个动点，当点P在l的什么位置时，PA+PB最小？你能利用轴对称的有关知识解答这个问题吗？（1）作点B关于直线l的对称点B′；B′P 如图，点A，B在直线l的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l的什么位置时，PA+PB最小？（2）连接AB′，与直线l相交于点P．则点P即为所求．作法： 已知直线l和A、B两点，点P是直线上的一个动点，当点P在l的什么位置时，PA+PB最小？（1）A、B两点在直线异侧时：PB′P（2）A、B两点在直线同侧时：模型分析如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A、B两点，OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当△PCD的周长最小时，求P点坐标．PC′·典型例题11.什么情况下，△PCD的周长最小？2.如何找到点P?题组一1.如图,在边长为1的等边三角形ABC中,点D是AC的中点,AE⊥BC，点P是AE上任一点,则PC+PD的最小值为。ABC·DEP利用等边三角形的轴对称性2.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。利用正方形的轴对称性N题组一如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达C的最短距离为________cm．典型例题21.在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？题组二1.在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？题组二沿过点A的母线剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.2.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?题组二圆锥的侧面展开图如图所示，连接BB′，则BB′为蚂蚁爬行的最短路径.41B’解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB′,∠BAB′=n°∴△ABB′是直角三角形解得:n=90∵圆锥底面半径为1,母线长为4连接BB′,即为蚂蚁爬行的最短路线这节课我学会了……反思小结1、“最短路径”问题的数学模型。2、利用转化的数学方法解决问题。3、分析问题时，要抓住问题的本质，注重解决问题的通性通法。在长为5、宽为3、高为4的长方体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从长方体的外
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面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？拓展提升
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