上海同济大学高等数学第六版第一册第三讲第一节微分中值定理

微分中值定理及导数的应用第一节微分中值定理一、费马定理二、微分中值定理1.罗尔中值定理2.拉格朗日中值定理3.柯西中值定理中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式一、费马（Fermat)定理先定义极值若函数在点的某邻域内有定义,对于一切,有（），则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点_1216384691.unknown_1216384909.unknown_1216385344.unknown_1216385361.unknown_1216384751.unknown_1203363742.unknown_1216384666.unknown_1202715564.unknown极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值.费马引理设函数f(x)在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有那么证明不妨设时，（如果可类似的证明）.于是，对于，有从而当时，当时根据函数f(x)在可导的条件和极限的保号性，便得到所以一般称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,或临界点).几何解释:二、微分中值定理几何解释:例如,证1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,关于罗尔定理的几点说明罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.例2）罗尔定理的条件是结论成立的充分条件,但不是必要条件.3)罗尔定理的结论中不是唯一的.关于罗尔定理的几点说明4)将罗尔定理的条件（2）换为[a,b]上可导,结论仍成立.例1设为多项式函数,证明:如果方程没有实根,则方程至多有一个实根._1217317274.unknown_1217317307.unknown_1217317241.unknown证明:假设方程有两个实根和EMBEDEquation.DSMT4,则._1217317391.unknown_1217317464.unknown_1217317521.unknown_1217317401.unknown_1217317307.unknown因为多项式函数在上连续,在内可导,根据罗尔定理,必然存在一点,使得,这样就与题设中没有实根相矛盾,所以方程至多有一个实根._1217317274.unknown_1217317595.unknown_1217317722.unknown_1217317764.unknown_1217317635.unknown_1217317307.unknown_1217317241.unknown练习证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,1.设且在内可导,证明至少存在一点使求证存在使2.设可导，且在连续，3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.1.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设求证存在使2.设可导，且在连续，证：因此至少存在显然即设辅助函数使得3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数f(x)(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导,那么在内至少有一点，使等式成立._997766809.unknown_997766882.unknown_997766900.unknown_997766875.unknown_997766745.unknown几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：拉格朗日中值公式的几种表达形式注：微分中值定理是联系函数与导数的桥梁。在利用导数性质讨论函数（增量）的性质时，常用此定理。证明:在区间上任取不同的两点,并且设,则在以为端点的区间上满足拉格朗日中值定理,故必然存在一点,使得.又因为,所以.由于是区间上任意两点,在上是一个常数._1217161172.unknown_1217161495.unknown_1217161830.unknown_1224935147.unknown_1217161701.unknown_1217161466.unknown_1210233971.unknown_1217161121.unknown_1202733540.unknown例2证又例3证明不等式,其中._1217318632.unknown_1217318655.unknown证明:设EMBEDEquation.DSMT4,由于在上满足拉格朗日中值定理的条件,则必然存在一点,使得.又,,所以有=(),因为,故有()._1217318692.unknown_1217318977.unknown_1217319247.unknown_1217319314.unknown_1217319356.unknown_1217319293.unknown_1217319205.unknown_1217318820.unknown_1217318890.unknown_1217318738.unknown_1217318655.unknown_1217318677.unknown_1217318632.unknown练习证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数及(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;(3)且在内每一点处均不为零，那么内至少有一点,使等式成立._997810017.unknown_1319265246.unknown_1319266811.unknown_1319303317.unknown_1319265162.unknown_997809830.unknown_997809898.unknown_997809726.unknown几何解释:弦的斜率切线斜率证作辅助函数特别思考:柯西定理的下述证法对吗?两个不一定相同错!上面两式相比即得结论.注：柯西中值定理将两个函数的增量比与它们的导数比联系起来。在利用两个函数的导数讨论这两个函数的比值或增量比时，常用到柯西中值定理。注意柯西中值定理中分子、分母的导数是在同一点处的导数！证分析：结论可变形为例5.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.罗尔(1652–1719)罗尔是法国数学家，1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。在一百多年后，1846年尤斯托（GiustoBellavitis）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理。拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设至少有个根,它们分别在区间上.方程2.设证明对任意有证：不妨设3.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数定理3(介值定理)设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及,那末，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得._988979407.unknown_996529714.unknown_996529748.unknown_996529789.unknown_996529831.unknown_996530362.unknown_1007536078.unknown_996529809.unknown_996529773.unknown_996529733.unknown_996529743.unknown_996529723.unknown_996529350.unknown_996529386.unknown_996529512.unknown_996529361.unknown_988979559.unknown_988979585.unknown_988979439.unknown_988979158.unknown_988979380.unknown_988979391.unknown_988979366.unknown_988979053.unknown_988979121.unknown_988979026.unknown1.验证中值定理对函数的正确性,求.2.验证中值定理对函数在区间上的正确性,求.3.若方程有一正根.证明:方程必有一个小于的正根_1237311393.unknown_1237311595.unknown_1237311596.unknown_1237311597.unknown_1237311499.unknown_1237311253.unknown_1237311378.unknown_1237311239.unknown4.设函数在上可导,且.则存在一个,使._1237580031.unknown_1237580085.unknown_1237580235.unknown_1237580060.unknown_1237579953.unknown5.设函数在区间上连续,在内可导.证明:在内至少存在一个使._1237579791.unknown_1237580357.unknown_1237580371.unknown_1237830292.unknown_1237580321.unknown_1237579781.unknown6.设函数在上可导,且.则在内至少存在一点,使_1237579791.unknown_1237579825.unknown_1237579842.unknown_1237579853.unknown_1237579811.unknown_1237579781.unknown7.设函数在区间上二阶可导，且,存在一点满足.证明:在内至少存在一个,使._1237652606.unknown_1237652658.unknown_1237652684.unknown_1237652714.unknown_1237652633.unknown_1237579791.unknown_1237652551.unknown_1237579781.unknown