2013天津高考文科数学真题

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案凃写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式:如果事件A,B互斥,那么·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.·如果事件A,B相互独立,那么·球的体积公式其中R表示球的半径.一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则(A)(B)[1,2](C)[－2,2](D)[－2,1](2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y－2x的最小值为(A)－7(B)－4(C)1(D)2(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为(A)7(B)6(C)5(D)4(4)设,则“”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则(A)(B)1(C)2(D)(6)函数在区间上的最小值是(A)(B)(C)(D)0(7)已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是(A)(B)(C)(D)(8)设函数.若实数a,b满足,则(A)(B)(C)(D)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二．填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)i是虚数单位.复数(3+i)(1－2i)=.(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.(11)已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.(12)在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为.(13)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB//DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.(14)设a+b=2,b>0,则的最小值为.三．解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x,y,z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x,y,z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,(⒈)用产品编号列出所有可能的结果;(⒉)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.(16)(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,a=3,.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求的值.(17)(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.(19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列的前n项和为,且成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明.(20)(本小题满分14分)设,已知函数(Ⅰ)证明在区间(－1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(Ⅱ)设曲线在点处的切线相互平行,且证明.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题5分。满分40分。（1）D（2）A（3）D（4）A（5）C（6）B（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。（9）5-5i（10）（11）（12）（13）（14）三、解答题（15）本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。满分13分。（I）解：计算10件产品的综合指标S，如下表: 产品编号 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5其中S≤4的有，，，，，，共6件，故该样本的一等品率为=0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（II）（i）解：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.（ii）解：在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为，，，，则事件B发生的所有可能结果为，，，，，共6种。所以P(B)=.（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13分。（I）解：在中，由=，可得,又由，可得a=3c，又a=3，故c=1.由，=，可得（II）解：由=，得=，进而得==，.所以sin=sinEMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4（17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。（I）证明：如图，在三棱柱EMBEDEquation.DSMT4中，∥，且=，连接ED，在中，因为D,E分别为AB,BC的中点，所以DE=且DE∥AC，又因为F为的中点，可得,且∥，即四边形为平行四边形，所以∥又EMBEDEquation.DSMT4平面,平面，所以，∥平面。（II）证明：由于底面是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱⊥底面，CD平面，所以⊥CD，又EMBEDEquation.DSMT4，因此CD⊥平面，而CD平面，所以平面⊥。（III）解：在平面内，过点B作BG⊥交直线于点G，连接CG.由于平面⊥平面，而直线是平面与平面的交线，故BG⊥平面。由此得为直线BC与平面所成的角。设棱长为a，可得EMBEDEquation.DSMT4，由∽，易得BG。在Rt中，sin.所以直线BC与平面所成角的正弦值为。（18）本小题主要考查椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 解决问题的能力。满分13分。（I）解：设F（），由知.过点F且与轴垂直的直线为EMBEDEquation.DSMT4，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c=1，所以椭圆的方程为.（II）解：设点，,由F（-1，0）得直线CD的方程为，由方程组消去，整理得.求解可得，.因为A(),，所以=（）+EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4==EMBEDEquation.DSMT4=.由已知得=8，解得（19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识.考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：设等比数列的公比为q，因为,,成等差数列，所以+=EMBEDEquation.DSMT4，即EMBEDEquation.DSMT4=，可得2，于是.又，所以等比数列的通项公式为.（II）证明：=EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4当n为奇数时，随的增大而减小，所以≤当n为偶数时，随的增大而减小，所以≤故对于EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4≤（20）本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分。（I）证明：设函数EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4①=由，从而当＜＜0时，=＜3，所以函数在区间内单调递减.②=，由于，所以当0＜＜1时，＜0；当＞1时，＞0.即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.综合①，②及，可知函数在区间（-1,1）内单调递减，在区间内单调递增.（II）证明：由（I）知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.因为曲线在点（i=1,2,3）处的切线相互平行，从而互不相等，且.不防设＜0＜＜，由，可得EMBEDEquation.DSMT4，解得，从而0＜＜＜.设，则＜＜.由＜，解得＜＜0，所以++＞EMBEDEquation.DSMT4，设，则，因为，所以，故++＞，即++＞._1436771067.unknown_1436774279.unknown_1436783683.unknown_1436789544.unknown_1436859068.unknown_1436860104.unknown_1436862805.unknown_1436862891.unknown_1436862934.unknown_1436862950.unknown_1436862962.unknown_1436863135.unknown_1436862942.unknown_1436862910.unknown_1436862919.unknown_1436862901.unknown_1436862830.unknown_1436862868.unknown_1436862817.unknown_1436860920.unknown_1436861350.unknown_1436862748.unknown_1436862770.unknown_1436862781.unknown_1436861366.unknown_1436861068.unknown_1436861209.unknown_1436861237.unknown_1436861100.unknown_1436860938.unknown_1436860644.unknown_1436860868.unknown_1436860787.unknown_1436860793.unknown_1436860710.unknown_1436860610.unknown_1436860550.unknown_1436859451.unknown_1436859904.unknown_1436860061.unknown_1436860098.unknown_1436859927.unknown_1436859726.unknown_1436859783.unknown_1436859712.unknown_1436859274.unknown_1436859403.unknown_1436859444.unknown_1436859344.unknown_1436859147.unknown_1436859182.unknown_1436859099.unknown_1436797755.unknown_1436858433.unknown_1436858685.unknown_1436858959.unknown_1436858981.unknown_1436858736.unknown_1436858563.unknown_1436858606.unknown_1436858488.unknown_1436858222.unknown_1436858304.unknown_1436858376.unknown_1436858252.unknown_1436797861.unknown_1436857967.unknown_1436858020.unknown_1436858037.unknown_1436857892.unknown_1436797795.unknown_1436796908.unknown_1436797587.unknown_1436797632.unknown_1436797723.unknown_1436797693.unknown_1436797436.unknown_1436797461.unknown_1436797483.unknown_1436796998.unknown_1436796462.unknown_1436796640.unknown_1436796857.unknown_1436796569.unknown_1436796606.unknown_1436796513.unknown_1436794536.unknown_1436794666.unknown_1436794519.unknown_1436784495.unknown_1436788563.unknown_1436788846.unknown_1436789136.unknown_1436789156.unknown_1436789070.unknown_1436788678.unknown_1436788743.unknown_1436788629.unknown_1436788386.unknown_1436788505.unknown_1436788550.unknown_1436788429.unknown_1436784626.unknown_1436784956.unknown_1436784578.unknown_1436783964.unknown_1436784093.unknown_1436784284.unknown_1436784380.unknown_1436784260.unknown_1436783986.unknown_1436784056.unknown_1436783978.unknown_1436783842.unknown_1436783949.unknown_1436783951.unknown_1436783876.unknown_1436783864.unknown_1436783775.unknown_1436783818.unknown_1436783829.unknown_1436783794.unknown_1436783729.unknown_1436775535.unknown_1436776110.unknown_1436783077.unknown_1436783366.unknown_1436783506.unknown_1436783625.unknown_1436783397.unknown_1436783275.unknown_1436783334.unknown_1436783118.unknown_1436779618.unknown_1436779797.unknown_1436779980.unknown_1436779772.unknown_1436776244.unknown_1436779508.unknown_1436779588.unknown_1436779234.unknown_1436779070.unknown_1436779164.unknown_1436776204.unknown_1436775802.unknown_1436776033.unknown_1436776057.unknown_1436776083.unknown_1436775939.unknown_1436775974.unknown_1436776007.unknown_1436775922.unknown_1436775686.unknown_1436775773.unknown_1436775578.unknown_1436774748.unknown_1436775282.unknown_1436775438.unknown_1436775531.unknown_1436774883.unknown_1436774927.unknown_1436775261.unknown_1436774810.unknown_1436774553.unknown_1436774614.unknown_1436774661.unknown_1436774592.unknown_1436774431.unknown_1436774448.unknown_1436774315.unknown_1436772237.unknown_1436773504.unknown_1436773956.unknown_1436774207.unknown_1436774270.unknown_1436774004.unknown_1436773862.unknown_1436773915.unknown_1436773782.unknown_1436773287.unknown_1436773325.unknown_1436773332.unknown_1436773301.unknown_1436772271.unknown_1436772313.unknown_1436772325.unknown_1436772285.unknown_1436772253.unknown_1436771556.unknown_1436772142.unknown_1436772189.unknown_1436772212.unknown_1436772166.unknown_1436771992.unknown_1436772053.unknown_1436771927.unknown_1436771093.unknown_1436771116.unknown_1436771138.unknown_1436771105.unknown_1436771081.unknown_1432295194.unknown_1432295669.unknown_1436770233.unknown_1436771017.unknown_1436771029.unknown_1436771052.unknown_1436770981.unknown_1436771003.unknown_1436770352.unknown_1436770253.unknown_1432295719.unknown_1436770157.unknown_1436770182.unknown_1432363327.unknown_1432295702.unknown_1432295711.unknown_1432295677.unknown_1432295592.unknown_1432295632.unknown_1432295648.unknown_1432295661.unknown_1432295641.unknown_1432295621.unknown_1432295626.unknown_1432295612.unknown_1432295372.unknown_1432295401.unknown_1432295505.unknown_1432295539.unknown_1432295550.unknown_1432295526.unknown_1432295450.unknown_1432295390.unknown_1432295216.unknown_1432295347.unknown_1432295203.unknown_1432295079.unknown_1432295087.unknown_1432295093.unknown_1432295095.unknown_1432295096.unknown_1432295097.unknown_1432295094.unknown_1432295090.unknown_1432295091.unknown_1432295088.unknown_1432295083.unknown_1432295085.unknown_1432295086.unknown_1432295084.unknown_1432295081.unknown_1432295082.unknown_1432295080.unknown_1432295071.unknown_1432295075.unknown_1432295077.unknown_1432295078.unknown_1432295076.unknown_1432295073.unknown_1432295074.unknown_1432295072.unknown_1432295067.unknown_1432295069.unknown_1432295070.unknown_1432295068.unknown_1432295065.unknown_1432295066.unknown_1432295064.unknown