第三章-控制工程或自动控制-上海交通大学课件

自动控制原理上海交通大学电信学院自动化系Email:cailianchen@sjtu.edu.cn2012年9月**第三章控制系统的时域分析3-1系统时间响应的性能指标3-2一阶系统的时域分析3-3二阶系统的时域分析3-4高阶系统的时域分析3-5线性系统的稳定性分析3-6线性系统的稳态误差计算**时域分析 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。 设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微分方程解出来——从工程角度分析系统运动规律。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。 系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。 在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。**3.1时间响应性能指标3.1典型输入信号 时域分析法的特点 典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦信号。 典型时间响应：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应 系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。 相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。**第一节典型输入信号当A=1时称为单位阶跃函数,其数学表达式为**当A=1时称为单位斜坡函数,其数学表达式为**当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为**当A=1时称为单位脉冲函数,其数学表达式为 脉冲函数****[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。三、典型响应：⒈单位脉冲函数响应：⒉单位阶跃函数响应：⒊单位斜坡函数响应：⒋单位抛物线函数响应：[提示]：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲函数响应单位阶跃函数响应单位斜坡函数响应单位抛物线函数响应积分积分积分微分微分微分**a.动态过程和稳态过程动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。 稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t处于无穷时，系统输出量的表现方式。b.动态性能与稳态性能 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数等于零。**系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。如某系统的单位阶跃响应曲线如图所示：**五、瞬态过程的性能指标通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。（一）衰减振荡：具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。**输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。上升时间是响应速度的度量。输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。0�������������������t�y�**当和之间的误差达到规定的范围之内[比如或]，且以后不再超出此范围的最小时间。即，有：⒍振荡次数N：●稳态性能：由稳态误差ess描述。0�td�tr�tp�ts�t�y��������0�������������������t�y�**（二）单调变化单调变化响应曲线如图所示：**3.2一阶系统的时域分析3.2.1一阶系统的数学模型 传递函数: 结构图： 微分方程:控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如RC电路:该系统称为一阶系统，其特点是具有一阶导数。**输入r(t)=1(t)，输出3.2.2一阶系统的单位阶跃响应特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T；3）无超调；稳态误差ess=0。性能指标：延迟时间：td=0.69T上升时间：tr=2.20T调节时间：ts=3T(△=0.05)或ts=4T(△=0.02)**输入r(t)=(t)，输出3.2.3一阶系统的单位脉冲响应特点：1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2)初始斜率为-1/T2；3)无超调；稳态误差ess=0。**3.2.5一阶系统的单位加速度响应跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。 输入r(t)=t，输出 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存在跟踪误差，其数值与时间T相等。 稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1.3.2.4一阶系统的单位斜坡响应0�td�tr�tp�ts�t�y��������y�t�ts�td������tr�**结论一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。**解:(1) 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s例3.1某一阶系统如图,（1）求调节时间ts,（2）若要求ts=0.1s,求反馈系数Kh。** 例3.2试证一阶响应曲线的次割距相等，且等于T。tB-tA=T一阶系统响应的次割距证：**•整理得传递函数•取拉氏变换•又因为标准形式3.3.1二阶系统(secondordersystem)的数学模型3.3二阶系统的时域分析**•故得结构图(-)•其中：ωn—自然频率；ζ—阻尼比(dampingratio)。标准形式3.3.2二阶系统的阶跃响应其输出的拉氏变换为•其根决定了系统的响应形式。**0<<1=0**s1,2=-n=1>1**•进一步的描述如下图：**1.无阻尼二阶系统（即ζ=0时）•系统有两个纯虚根：s1,2=±jn•阶跃响应：c(t)=1-cosnt•系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。2.欠阻尼(underdamping)二阶系统(即0<ζ<1时)**•稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；•瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n(即σ，特征根实部）决定；•振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。**3.临界阻尼(criticaldamping)二阶系统（即ζ=1时）•系统有两个相同的负实根：s1,2=-n•阶跃响应:•系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，不存在稳态误差。**4.过阻尼(overdamping)二阶系统（即ζ>1时）•此时系统有两个不相等负实根•系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。•阶跃响应**以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：**阶跃响应从零第一次升到稳态值所需的的时间。1.动态性能指标计算单位阶跃响应••得3.3.3欠阻尼二阶系统的动态性能指标ξ一定时，ωn越大，tr越小；ωn一定时，ξ越大，tr越大。**峰值时间等于阻尼振荡周期的一半单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。•由•得ξ一定时，ωn越大，tp越小；ωn一定时，ξ越大，tp越大。**单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。•由仅与阻尼比ξ有关ξ越大，Mp越小，系统的平稳性越好ξ=0.4~0.8Mp=25.4%~1.5%。**欠阻尼二阶系统Mp与ξ的关系**单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。•有•根据定义•因•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。**欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：包络线**当ξ由零增大时,ωnts先减小后增大，∆=5%，ωnts的最小值出现在ξ＝0.69处；∆=2%，ωnts的最小值出现在ξ＝0.78处；出现最小值后，ωnts随ξ几乎线性增加。**•ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；•ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；•ζ=0.707，调节时间最短，快速性最好，而超调量Mp<5%，平稳性也好，故称ζ=0.707为最佳阻尼比。2.结构参数ζ对单位阶跃响应性能的影响**•即有n2=K/Tm=25,2n=1/Tm=5•解得n=5,ζ=0.5例3.3**设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。例3.4解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。**确定参量的方法：第一步　　从实验曲线中确定ＭＰ和tp第二步　　由ＭＰ确定阻尼比第三步　　确定时间常数**3.4高阶系统的时域分析-0.75-5p2p3p1jj1.2-j1.20c(t)t 分析方法：1)可由系统主导极点估算高阶系统性能。2)忽略偶极子的影响。**假设系统极点互不相同R(s)=1/sa,aj为C(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；bk、ck是与C(s)在极点处的留数有关的常数。高阶系统的单位阶跃响应**3）极点的性质决定瞬态分量的类型；实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。4)极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；如果某极点pj远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应的系数aj将比较大,其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂态响应的影响很大。1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。2）如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则随着时间t→∞，c(∞)=a，系统是稳定的。****主导极点：（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理！闭环主导极点**三阶系统二阶系统精确解近似解**系统零点分布对时域响应的影响1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度）。如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点称为偶极子，其瞬态响应分量可以忽略。2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点也可以当作一对偶极子。** 设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若，则系统稳定。3.5稳定性分析 线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部.3.5.1线性系统的稳定性(stability)概念系统工作在平衡状态,受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。**判别系统稳定性的基本方法：(1)劳斯赫尔维茨(Routh－Hurwitz)判据(2)根轨迹法(3)奈奎斯特判据(4)李雅普诺夫第二方法** 线性系统特征方程为： 稳定判据则只要根据特征方程的系数便可判别出特征根是否具有负实部，从而判断出系统是否闭环稳定。3.5.2劳斯—古尔维茨判据系统闭环稳定的充分必要条件:1)特征方程各项系数均大于零,即ai>02)赫尔维茨行列式全部为正,即1.赫尔维茨稳定判据**LLLL2.劳斯判据(Routhstabilitycriterion)1右移一位降两阶3分母总是上一行第一个元素2次对角线减主对角线**劳斯判据：当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。**例3.5设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0，试用劳斯稳定判据，判别系统稳定性。解：列出劳斯表第一列数据不同号，系统不稳定性。**S4：S3：S2：S1：S0：1212401？ε然后继续完成劳斯表1设系统特征方程为：1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用因子（s+a）乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。**例3.6设系统特征方程为s4+2s3+s2+2s+2=0；试用劳斯稳定判据，判断系统的稳定性。解：列出劳斯表s4112s3220s2(取代0)2s12-4/s02可见第一列元素的符号改变两次，故系统是不稳定的且在S右半平面上有两个极点。**2设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表517566①有大小相等符号相反(关于圆点对称)的特征根时会出现零行②由零行的上一行构成辅助方程:对其求导得零行系数:2s1继续计算劳斯表，第一列全大于零③求解辅助方程得:s2+1=0s1,2=±j由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3劳斯表出现零行系统一定不稳定2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。60** 由图所示，误差定义有两种方式：1)e(t)=r(t)-c(t),无法量测2)e(t)=r(t)-b(t)单位反馈时两种定义相同。 稳态误差是衡量系统最终控制精度的重要性能指标。稳态误差是指，稳态响应的希望值与实际值之差，即稳定系统误差的终值,e(t)=希望值–实际值3.6.1稳态误差(steadystateerror)的定义3.6线性系统的误差分析**3.6.2稳态误差计算 根据终值定理 使用该公式应满足sE(s)在s右半平面及虚轴上解析的条件，即sE(s)的极点均位于s左半平面。 当sE(s)在坐标原点具有极点时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时可用此公式。误差传递函数为：**例3.8设单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts,输入信号分别为1）r(t)=t，2)r(t)=t2/2，3)r(t)=sinωt，求系统稳态误差。1）,符合终值定理应用条件。2）,符合终值定理应用条件。解：误差传递函数为** 使用终值定理将得出错误结论。 本题说明：1）使用终值定理要注意条件2）稳态误差与输入有关。3）,不符合终值定理应用条件。**一、影响稳态误差的因素一般开环传递函数可以写成如下形式：3.6.3系统类型与静态误差系数(steadystateerrorcoefficient)式中，K为开环增益。为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，=0,1,2时，系统分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。** 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。**二、阶跃输入下稳态误差及静态位置误差系数(positionerrorcoefficient)**三、斜坡输入下稳态误差及静态速度误差系数(velocityerrorcoefficient)**四、加速度输入下稳态误差及静态加速度误差系数(accelerationerrorcoefficient)**五、系统型别、静态误差系数与输入信号之间的关系 减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶次、增加开环增益K。表3-1输入信号作用下的稳态误差**例3.9求r(t)=1(t)+2t,n(t)=-1(t)时系统稳态误差。解：r(t)作用时：Kp=∞,Kv=K=10,essr=0+2/10=0.2。n(t)作用时：** 对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。 终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。**作业： A3-1 A3-2 A3-3 A3-6 A3-7 B3-4