数学实验4

数学实验4实验4常微分方程数值解实验目的：用MATLAB软件掌握求微分方程数值解的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，并对结果作初步分析；通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。【题目1】放射性废物的处理：有一段时间，美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物时，把它们装入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深300ft的大海中。这种做法是否会造成放射性污染，自然引起生态学家及社会各界的关注。原子能委员会一再保证圆桶非常坚固，绝不会破漏，这种做法是绝对安全的。然而一些工程师们却对此表示怀疑，认为圆桶在海底相撞时有可能发生破裂。于是双方展开了一场笔墨官司。究竟谁的意见正确呢？原子能委员会使用的是55gal的圆桶，装满放射性废物时的圆桶重量为527.436lbf，在海水中受到的浮力为470.327lbf。此外，下沉时圆桶还要受到水的阻力，阻力与下沉速度成正比，工程师们做了大量实验，测得其比例系数为0.08lbfs/ft。同时，大量破坏性实验发现当圆桶速度超过40ft/s时，就会因为与海底冲撞而发生破裂。建立解决上述问题的微分方程模型。用数值和解析两种方法求解微分方程，并回答谁赢了这场官司。【问题分析】本题应该求出圆桶下沉到海底时的速度，比较其与40ft/s的大小，来决定谁最后赢了这场官司。已知水深h=300ft，装满废物的圆桶质量为m=527.436lbf，在海水中受到的浮力为B=470.327lbf，圆桶受到的海水阻力D与下降速度v成正比，比例系数K=0.08lbfs/ft。设t时刻圆桶下落深度为y，圆桶速度为v，加速度为a，所受重力为G=mg，所受浮力为f，所受阻力为K*v,则圆桶所受合力为：F=G-f-Kv依据牛顿第二定律有：ma=mdvdt=md2ydt2=G-f-Kv=G-f-Kdydt由此可以利用常微分方程求解，其中v(0)=0,y(0)=0。【程序运算】数值法记y(1)=y,y(2)=v,y=(y(1),y(2))T.编写如下M文件：functiondy=fangshe(t,y)%建立名为fangshe的函数M文件m=527.436*0.4536;G=527.436*0.4536*9.8;f=470.327*0.4536*9.8;Kv=0.08*0.4536*9.8*y(2)/0.3048;dy=[y(2);(G-f-Kv)/m]%以向量性格是表示方程编写如下运行程序：>>ts=[0:2000];>>y0=[0,0];%给定初值>>opt=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);%给定精确度>>[t,y]=ode45(@fangshe,ts,y0,opt);>>plot(t,y(:,2)，‘r’)%画出v(t)-t图象>>gtext('t');>>gtext('v(t)');运行结果如下：>>plot(t,y(:,1))，axis([0250350]),grid;%画出y(t)-t图像>>holdon,ymax=300*0.3048;>>depth=linspace(ymax,ymax,2001);>>plot(t,depth,'b')，axis([0250350]),grid;%画出最深高度图像>>gtext('t'),>>gtext('y(t)'),>>gtext('ymax')运行结果如下：由图像知，t大概等于13s时，圆桶到达海底，结合以上两图可以得知，圆桶落入海底时，会因为速度过大而破裂。二、解析法将模型分离变量得：mvdvmg-B-Cv=dy对两边分别不定积分得：y=-vmC-gm2-bmc2lng-Bm-Cvm+C1代入已知数据得：y=-v4.87676×10-3-1.06111（-4.87676）2ln1+-4.87676×10-3v1.06111当v=40ft/s时，可利用上式算出y值（即v的一阶常微分方程）：齐次解的形式为v=Aeqt，其中q=-4.87676×10-3A=-217.59 ;特解为v=217.59 ；综上，vt=-217.59e-4.87676×10-3t+217.59故有：yt=0tvtdt=0t-217.59e-4.87676×10-3t+217.59dt=91.44V(t)=13.8m/s=44.0ft/s【结果分析】结合题目的约束条件作图分析，判断下沉距离S=300ft时速度是否大于40ft/s或判断速度达到40ft/s时下沉的距离是否大于300ft（我选择用速度是否大于40ft/s判断），从而判断圆桶与海底冲撞时是否会破裂。从依据数值解图的中可见，圆桶还没沉到海底时，其速度已达到规定的圆桶不破裂的最大速度。由解析解算出的数据也说明，当下落高度达到300ft时，速度已达44.0ft/s超过规定速度，故圆桶会破裂。工程师们赢了官司。从速度-时间曲线可以看到，开始时圆桶的速度随着时间逐渐增大，加速度逐渐减小，可见圆桶做的是加速度逐渐减小的变加速运动。时间充分大后（t>1500s）后，圆桶的加速度减至0，速度趋于一个定值，约为275m/s。【题目2】一只小船渡过宽为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸B点。已知河水流速为v1与船在静水中的速度之比为k。（1）建立描述小船航线的数学模型，求其解析解；（2）设d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s，用数值解法求渡河所需的时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。（3）若流速v1=0，0.5，1.5，2（m/s），结果将如何？【问题分析】假设航行者并不知道水流速度。设时间为t，小船坐标为（x,y）。据题目所给公式，可以列如下方程：dxdt=v1-v2xx2+y2dydt=-v2yx2+y2初值为：（x,y）=(0,d)【程序运算】运用解析法将上两式相除得：dxdy=v1v2(xy)2+1+xy令x/y=p<0,v1/v2=k有：dpdyy+p=kp2+1+p整理得：dpp2+1=kdyy求解得：lnp2+1+p=klncyp=12(cy)-k-12(cy)kx=12(cy)-ky-12(cy)ky代入初值（x,y）=(0,d)可求得：c=-1dfunctionx=xiaochuan(y,k)x=0.5*(-0.01)^(-k)*y.^(1-k)-0.5*(-0.01)^k*y.^(1+k);%建立函数文件>>y=[0:-0.01:-100];>>x=xiaochuan(y,0.5);>>plot(x,y);%画出图像>>gtext('x/m')>>gtext('y/m')(2)运用解析法记x(1)=x,x(2)=y,x=(x(1),x(2))T。functiondx=xiaochuan2(t,x,v1,v2)s=(x(1)^2+x(2)^2)^0.5;dx=[v1-x(1)/s*v2;-x(2)/s*v2];%建立函数文件>>ts=[0:0.1:100];>>x0=[0,-100];%给定初始值>>opt=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-9);%给定精确度>>[t,x]=ode15s(@xiaochuan2,ts,x0,opt,1,2);>>plot(t,x)%画出函数图像>>gtext('t/s')>>gtext('x,/m')>>gtext(‘y/m’)t/sx(t)/my(t)/m00-1000.10.099885-99.80.20.199576-99.60.30.29907-99.40.40.398364-99.20.50.497459-990.60.596352-98.80.70.695043-98.60.80.793532-98.40.90.891817-98.210.989899-981.11.087753-97.8001·········66.60.23916-0.0022666.70.139166-0.0007666.80.039167-6.00E-05从上图可以看出，当t=66.8s时，y接近0，故可认为小船到岸。再运行如下程序：>>plot(x(:,1),x(:,2));>>xlabel('x/m')>>ylabel('y/m')（3）改变流速v1，得到以下几种情况：①v1=0，此时为静止的湖面。显然船将沿直线直接从A到B，渡河所需时间为100/2=50s②v1=0.5m/s时，结果如下：跟v1=1时的图形基本相似，仅在趋势上有微小不同。在t=53.3s时，y=-0.0099m可以认为船到达对岸。③v1=1.5m/s时，运算结果如下：当t=114.0s时，y=0.000m，认为船到达对岸。与v1=0.5，1m/s时比较，小船几乎都是在[30s，40s]时间范围内到达x方向的最大值，然后逆流驶向B点。v1越小，小船在逆水回到B的时间就越短。④v1=2m/s时，运算结果如下：可以发现曲线的变化趋势明显不同于前几个，且最终小船无法到达B点，而到达了距离B点50米的位置。因为v1=v2，故k=1,将k代入x=12(cy)-ky-12(cy)ky得一抛物线，将d=100,y=0代入解得x=50，这与实验结果相符。【结果分析】通过改变v1的值我们可以得到以下结论：1、在01),计算并分析所得结果；若s1=1.5(>1),s2=0.7(<1),再分析结果。由此你能得到什么结论，请用生态学上的含义作解释。试验当s1=0.8(<1),s2=0.7(<1)时会有什么结果；当s1=1.5(>1),s2=1.7(>1)时又会有什么结果。能解释这些结果吗？【问题分析】此题是很好的生态模拟题，用matlab来说明不同的物种特性在竞争中的优势与劣势。(1)、【运算程序】functiondx=compete(t,x)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2;dx=[r1.*x(1).*(1-x(1)./n1-s1.*x(2)./n2);r2.*x(2).*(1-s2.*x(1)./n1-x(2)./n2)]ts=0:0.1:30;x0=[10;10];[t,x]=ode45(@compete,ts,x0);[t,x]plot(x(:,1),x(:,2)),grid,gtext('x')gtext('y')pauseplot(t,x(:,2)),grid,gtext('t')gtext('y')pauseplot(t,x(:,1)),grid,gtext('t')gtext('x')运行结果如下：最初甲群数量随时间的推移而增长。但甲种群种数量随时间推移达到饱和，保持在100左右，不再随时间变化。最初乙群数量随时间的推移而增长。对于乙种群，随着时间的推移，在第2个单位时间时，种群数量达到最大值，之后种群数量便开始下降，直至灭绝。【结果分析】在甲和乙的种群竞争中，由于供养甲所需的资源少。供养甲所需的资源少。最初环境适宜食物充足，两种群数量都在都增长，但经过一定时间的资源消耗，甲乙的环境、食物等竞争变得激烈，在种群竞争中，占有优势的甲种群数量增加至达饱和，而乙种群数量大幅下降直至灭绝。改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,s1,s2保持不变),计算并分析所得结果；A.只改变固有增长率r1=0.5;r2=0.8时，源程序如下：functiondx=compete(t,x)r1=0.5;r2=0.8;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2;dx=[r1.*x(1).*(1-x(1)./n1-s1.*x(2)./n2);r2.*x(2).*(1-s2.*x(1)./n1-x(2)./n2)]ts=0:0.1:30;x0=[10;10];[t,x]=ode45(@compete,ts,x0);[t,x]plot(x(:,1),x(:,2)),grid,gtext('x')gtext('y')pauseplot(t,x(:,2)),grid,gtext('t')gtext('y')pauseplot(t,x(:,1)),grid,gtext('t')gtext('x')由上图看出，即使使得甲种群的固有增长率比乙小，在竞争中甲仍占有优势，但是，乙种群存活的时间变长。B、改变最大环境容量n1=50,n2=150，源程序省略。由上图看出，即使使得甲种群的最大容量变得比乙小，在竞争中还是甲占有优势，但是，相对增长速率而言，容量的影响更小。C、改变种群初值x0=5,y0=15时源程序省略。甲始终占有优势，而且改变初值没有改变相对增长率的作用大。D．s1=1.5,s2=0.7,源程序省略。改变s之后，甲乙的优势关系就反转了。起初环境适宜食物充足，两种群都增长，一定时间后，甲乙开始对环境、食物等竞争变得激烈，在种群竞争中，占有优势的乙种群数量增加至达饱和，而甲种群数量大幅下降直至灭绝。s1=0.8,s2=0.7,源程序省略。当s均小于1时，两种群间无绝对竞争优势。而是经过一定的数量起伏后共存平衡。其中两种群数量由s决定，s越小，数量越多。S1=1.5,s2=1.7,源程序省略。此时两种群仍然没有较绝对的竞争压力，但是对资源的消耗过大，环境无法承受，只能导致生态系统的崩溃，其中，对环境消耗即s大的容易灭绝。【结果分析】本题是很好的生态模拟题，用matlab来说明不同的物种特性在竞争中的优势与劣势。比较以上运行结果不难发现：首先，物种对资源的需求量在竞争中是决定性因素。固有增长率月最大容量以及初始值都只影响达到平衡的时间，而不改变s造成的趋势。结合第三问，s的改变分为三种情况：1、在s均小于1时，两种群对资源的消耗都较小，仅受环境最大容量的限制，竞争的最终是两种群数量都趋于稳定，和平共存；2、在s均大于1时，两者对资源的消耗量都较大，竞争激烈，最终结果是对对方资源的消耗较小的种群成为优势种群，而另一种群灭亡；3、在一个s大于1，另一个s小于1时，对资源的消耗量小的一方占有绝对优势。竞争的最终结果是s小者成为优势种群，而另一种群灭亡；实验 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：这次作业的三道题都是对应着习题里面的例子，所以可以把程序给写出来，但是发现自己在数学实验中手动解数学的能力下降，或者在转化上存在问题，应当多练习。第五题、很容易列出物理方法的数学方程，但是在转化为数学模型上花费的时间较长。第六题、整体比较简单，但是在建立坐标系以及应用几级几阶上遇到了麻烦，后来通过翻阅资料 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 得以解决，如ode45或ode23的计算时间太长，就使用了ode15。第九题、这一题比较常规，没有什么难度，重点在于分析结果。以后一定要多加练习，将数学建模应用于生活学习中！\(^o^)/~