人教版高中数学必修二《第六章 平面向量及其应用》单元教案

人教版高中数学必修二《第六章平面向量及其应用》单元教案6.1平面向量的概念【教材分析】本节课选自《普通高中课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 数学教科 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf -必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等【教学目标与核心素养】课程目标学科素养了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.D、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.E、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.1.数学抽象：平面向量的概念；2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量；3.直观想象：向量的几何表示；【教学重点和难点】1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【教学过程】教学过程教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 意图一、情景引入1.老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。二、探索新知（一）向量的实际背景与概念1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。2.（1）向量与数量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.练习：下列量不是向量的是（）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度面积（7）年龄（8）身高【答案】（1）（6）（7）（8）（二）向量的几何表示探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？1.有向线段的定义A(起点)B（终点）a在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？【答案】三个要素：起点、方向、长度.向量的几何表示画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。A(起点)B（终点）a若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.A(起点)B（终点）aA(起点)B（终点）a注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由向量.（2）.有向线段与向量的区别：有向线段：三要素：起点、大小、方向。向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。4.向量的模向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？【答案】可以为0,1，不能为负数。5.零向量：长度为0的向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量.说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）（三）.相等向量与共线向量思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；1.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.2.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.3.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.牛刀小试;填空：（1）平行向量是否一定方向相同？（）（2）不相等的向量是否一定不平行？（）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）【答案】（1）不一定（2）不一定(3零向量（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.通过生动的例子及物理知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过物理量路程与位移引入向量概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。提高练习，进一步巩固向量的概念。通过探究，引入向量表示，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，进一步理解向量的表示。提高思考，引入特殊的向量，增强对概念的理解，提高学生分析问题的能力。通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。通过练习，进一步巩固所学的向量有关知识，提高学生解决问题的能力。通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量、相等向量，提高学生解决与分析问题的能力。三、达标检测1．下列说法中正确的个数是(　　)①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0B．1C．2D．3【解析】　只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．【答案】　B2．在下列判断中，正确的是(　　)①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤【解析】　由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选D．【答案】　D3．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　)A．e1＝e2B．e1∥e2C．|e1|＝|e2|D．以上都不对【解析】　单位向量的模都等于1个单位，故C正确．【答案】　C4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．【解析】　由向量的相关概念可知④⑥正确．【答案】　④⑥5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．【解】　由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的长度相等且方向相同，所以与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(ED,\s\up6(→)).通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.向量及向量的有关概念、表示方法；2还知道有两个特殊向量；3.学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量五、作业习题6.12,3题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用.因此,本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面:(1)形成平面向量的概念,特别是要让学生体会“向量集形与数于一身的特征;（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量(3)通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路(思路)。许多老师认为本课概念多但不难理解,多次观摩本课的教学,看到的大多是沉闷的课堂,教师讲得乏味,学生学得无趣,事实上,许多概念课都有这种弊端.有的老师可以把解题讲得头头是道,但概念教学就没词、没招了.我认为,概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的理由让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 我们方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾,激发认知冲突,把学生卷入其中;另方面要让学生有参与的时间与机会,特别是有思维的实质性参与6.2.1向量的加法运算【教材分析】本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.【教学过程】一、情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法则和平行四边形法则(1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a+0=0+aaaABCa+ba+baabbaｂｂａ＋ｂa(2)平行四边形法则如图所示：eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))(三角形法则)，又因为eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a+b与非零向量a，b的模及方向的关系(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.若|a|＜|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.4．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．四、典例分析、举一反三题型一向量的三角形法则和平行四边形法则例1　如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b．解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点．②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作a＋b；【答案】见解析．【解析】如图所示．．题型二向量的加法运算例2　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：【答案】　(1)eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AC,\s\up16(→))..【解析】　(1)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→)).(2)eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→))＝(eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EA,\s\up16(→)))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).(3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(FE,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).解题技巧：(向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二1、化简或计算：(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))；(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→)).【答案】(1)eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)0.【解析】(1)eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→)).(2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋(eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(DF,\s\up16(→)))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝eq\o(AF,\s\up16(→))＋eq\o(FA,\s\up16(→))＝0.题型三利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(DO,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→)).求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】见解析.【解析】证明　eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，又∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴AB＝DC且AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明　∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))，eq\o(FC,\s\up16(→))＝eq\o(FD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→))，又eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，eq\o(FD,\s\up16(→))＝eq\o(BE,\s\up16(→))，∴eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(FC,\s\up16(→))，即AE与FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形．题型四向量加法的实际应用例4　在水流速度为向东10km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10eq\r(3)km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】　船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】　如图所示，eq\o(OA,\s\up16(→))表示水速，eq\o(OB,\s\up16(→))表示船实际航行的速度，eq\o(OC,\s\up16(→))表示船速，由eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))易知|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝10，又∠OBC＝90°，所以|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝20，所以∠BOC＝30°，所以∠AOC＝120°，即船行驶速度为20km/h，方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧：(向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为800eq\r(2)km，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BC,\s\up16(→))分别表示救护车从A地按北偏东35°方向行驶800km，从B地按南偏东55°的方向行驶800km.则救护车行驶的路程指的是|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|；两次行驶的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)).依题意，有|eq\o(AB,\s\up16(→))|＋|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up16(→))|2＋|\o(BC,\s\up16(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600km，两次行驶的位移和的大小为800eq\r(2)km，方向为北偏东80°.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.2.1向量的加法运算1.向量加法概念例1例2例3例42.三角形和平行四边形法则3.向量a+b与非零向量a，b的模及方向的关系七、作业课本10页练习，22页习题6.2的1，2题.【教学反思】本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。因此，在开始引入向量加法定后重在阐述三角行法则，然后借助向量平移得到平行四边形法则，然后对其应用.6.2.2向量的减法运算【教材分析】减法运算是平面向量线性运算的一种，是向量加法的一种转换。通过类比数的减法，得到向量的减法及其几何意义，培养学生的化归思想和数形结合思想。这样即能加深学生对向量加法运算的理解，也为后面学习向量的数乘运算打下基础。【教学目标与核心素养】课程目标1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念；2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；3.直观想象：向量减法运算；4.数学建模：将向量减法转化为向量加法，使学生理解事物之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：向量减法的概念和向量减法的作图法；难点：减法运算时方向的确定.【教学过程】一、情景导入在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数相当于加上这个数的相反数”.类比数的减法，向量的减法与加法有什么关系呢？怎样定义向量的减法？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本11-12页，思考并完成以下问题1.a的相反向量是什么？2.向量的减法运算及其几何意义是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.相反向量（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-0=0.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0如果a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=02、向量减法（“共起点，后指前”）（1）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.（2）作法：在平面内取一点O，作OA=a,OB=b，则BA=a-b四、典例分析、举一反三题型一向量的减法运算例1化简：(eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→)))－(eq\o(AC,\s\up15(―→))－eq\o(BD,\s\up15(―→)))．【答案】0【解析】法一：(eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→)))－(eq\o(AC,\s\up15(―→))－eq\o(BD,\s\up15(―→)))＝eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→))－eq\o(AC,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＝eq\o(AB,\s\up15(―→))＋eq\o(DC,\s\up15(―→))＋eq\o(CA,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＝eq\o(AB,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＋eq\o(DC,\s\up15(―→))＋eq\o(CA,\s\up15(―→))＝eq\o(AD,\s\up15(―→))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＝0.法二：(eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→)))－(eq\o(AC,\s\up15(―→))－eq\o(BD,\s\up15(―→)))＝eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→))－eq\o(AC,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＝(eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(AC,\s\up15(―→)))－eq\o(CD,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＝eq\o(CB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＝eq\o(DB,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＝0.法三：设O是平面内任意一点，则(eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→)))－(eq\o(AC,\s\up15(―→))－eq\o(BD,\s\up15(―→)))＝eq\o(AB,\s\up15(―→))－eq\o(CD,\s\up15(―→))－eq\o(AC,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＝(eq\o(OB,\s\up15(―→))－eq\o(OA,\s\up15(―→)))－(eq\o(OD,\s\up15(―→))－eq\o(OC,\s\up15(―→)))－(eq\o(OC,\s\up15(―→))－eq\o(OA,\s\up15(―→)))＋(eq\o(OD,\s\up15(―→))－eq\o(OB,\s\up15(―→)))＝eq\o(OB,\s\up15(―→))－eq\o(OA,\s\up15(―→))－eq\o(OD,\s\up15(―→))＋eq\o(OC,\s\up15(―→))－eq\o(OC,\s\up15(―→))＋eq\o(OA,\s\up15(―→))＋eq\o(OD,\s\up15(―→))－eq\o(OB,\s\up15(―→))＝0.解题技巧（向量减法运算技巧）1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和；(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．跟踪训练一1、化简：(1)eq\o(OA,\s\up15(―→))－eq\o(OD,\s\up15(―→))＋eq\o(AD,\s\up15(―→))；(2)eq\o(AB,\s\up15(―→))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))－eq\o(BC,\s\up15(―→))－eq\o(CA,\s\up15(―→)).【答案】(1)0.(2)eq\o(AB,\s\up15(―→)).【解析】(1)eq\o(OA,\s\up15(―→))－eq\o(OD,\s\up15(―→))＋eq\o(AD,\s\up15(―→))＝eq\o(DA,\s\up15(―→))＋eq\o(AD,\s\up15(―→))＝0.(2)eq\o(AB,\s\up15(―→))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))－eq\o(BC,\s\up15(―→))－eq\o(CA,\s\up15(―→))＝eq\o(AB,\s\up15(―→))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＋eq\o(CB,\s\up15(―→))＋eq\o(AC,\s\up15(―→))＝(eq\o(AB,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→)))＋(eq\o(AC,\s\up15(―→))＋eq\o(CB,\s\up15(―→)))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＝eq\o(AD,\s\up15(―→))＋eq\o(AB,\s\up15(―→))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＝eq\o(AD,\s\up15(―→))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＋eq\o(AB,\s\up15(―→))＝0＋eq\o(AB,\s\up15(―→))＝eq\o(AB,\s\up15(―→)).题型二向量的减法及其几何意义例2　已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.【答案】见解析【解析】在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，作，，则=a-b，=c-d解题技巧：(求两个向量差向量的思路)(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练二1、如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.【答案】见解析【解析】法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(―→))＝b，则eq\o(OB,\s\up15(―→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up15(―→))＝c，则eq\o(CB,\s\up15(―→))＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up15(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(―→))＝b，则eq\o(OB,\s\up15(―→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up15(―→))＝c，连接OC，则eq\o(OC,\s\up15(―→))＝a＋b－c.题型三用已知向量表示未知向量例3平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.【答案】=a+b，==a-b【解析】由平行四边形法则得：=a+b，==a-b解题技巧（用已知向量表示未知向量的步骤）(1)观察待表示的向量位置；(2)寻找相应的平行四边形或三角形；(3)运用法则找关系，化简得结果．跟踪训练三1.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up15(―→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(―→))＝b，eq\o(AE,\s\up15(―→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up15(―→))，eq\o(BC,\s\up15(―→))，eq\o(BD,\s\up15(―→)).【答案】eq\o(CD,\s\up15(―→))＝eq\o(AE,\s\up15(―→))＝c，eq\o(BC,\s\up15(―→))＝b－a，eq\o(BD,\s\up15(―→))＝b－a＋c.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up15(―→))＝eq\o(AE,\s\up15(―→))＝c，eq\o(BC,\s\up15(―→))＝eq\o(AC,\s\up15(―→))－eq\o(AB,\s\up15(―→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up15(―→))＝eq\o(BC,\s\up15(―→))＋eq\o(CD,\s\up15(―→))＝b－a＋c.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.2.2向量的减法运算1.相反向量例1例2例32.向量减法定义及表示七、作业课本12页练习，22页习题6.2的4，6，7，10题.【教学反思】向量加法是加法运算的逆运算，所以本节课安排学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算，利用三角形做出减向量，然后进一步应用。6.2.3向量的数乘运算【教材分析】实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.数学学科素养1.数学抽象：向量数乘概念；2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；3.数学运算：向量的线性运算；4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.【教学重点和难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.【教学过程】一、情景导入我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本13-16页，思考并完成以下问题1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？2、向量数乘运算满足哪三条运算律？3、向量共线定理是怎样表述的？4、向量的线性运算是指的哪三种运算？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、定义实数与向量的积是一个向量，记作.它的长度和方向规定如下：（1）.（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.2、实数与向量的积的运算律设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）；（2）；（3）.3、向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.四、典例分析、举一反三题型一向量的线性运算例1化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)eq\f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．【答案】(1)14a－9b.(2)－2a＋4b.【解析】(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b.解题技巧（向量线性运算的方法）(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．跟踪训练一1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)．2、已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.【答案】1、－eq\f(5,3)i－5j.2、eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,11)a＋\f(2,11)b，,y＝\f(3,11)a－\f(5,11)b.))．【解析】1、原式＝eq\f(1,3)a－b－a＋eq\f(2,3)b＋2b－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1－1))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,3)＋2))b＝－eq\f(5,3)a＋eq\f(5,3)b＝－eq\f(5,3)(3i＋2j)＋eq\f(5,3)(2i－j)＝－eq\f(5,3)i－5j.2、联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝a，,3x－y＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,11)a＋\f(2,11)b，,y＝\f(3,11)a－\f(5,11)b.))题型二向量线性运算的应用例2如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up15(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(―→))＝b，eq\o(DC,\s\up15(―→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up15(―→))，eq\o(MN,\s\up15(―→)).【答案】　　eq\o(BC,\s\up15(―→))－a＋b＋c.eq\o(MN,\s\up15(―→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.【解析】　eq\o(BC,\s\up15(―→))＝eq\o(BA,\s\up15(―→))＋eq\o(AD,\s\up15(―→))＋eq\o(DC,\s\up15(―→))＝－a＋b＋c.∵eq\o(MN,\s\up15(―→))＝eq\o(MD,\s\up15(―→))＋eq\o(DA,\s\up15(―→))＋eq\o(AN,\s\up15(―→))，又eq\o(MD,\s\up15(―→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up15(―→))，eq\o(DA,\s\up15(―→))＝－eq\o(AD,\s\up15(―→))，eq\o(AN,\s\up15(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(―→))，∴eq\o(MN,\s\up15(―→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.解题技巧：(用已知向量表示未知向量)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．跟踪训练二1、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq\o(BC,\s\up15(―→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(―→))＝b，试用a，b分别表示eq\o(DE,\s\up15(―→))，eq\o(CE,\s\up15(―→))，eq\o(MN,\s\up15(―→)).【答案】eq\o(DE,\s\up15(―→))＝eq\f(1,2)a.eq\o(CE,\s\up15(―→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(―→))＝eq\f(1,4)a－b.【解析】由三角形中位线定理，知DE平行且等于eq\f(1,2)BC，故eq\o(DE,\s\up15(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(―→))，即eq\o(DE,\s\up15(―→))＝eq\f(1,2)a.eq\o(CE,\s\up15(―→))＝eq\o(CB,\s\up15(―→))＋eq\o(BD,\s\up15(―→))＋eq\o(DE,\s\up15(―→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(―→))＝eq\o(MD,\s\up15(―→))＋eq\o(DB,\s\up15(―→))＋eq\o(BN,\s\up15(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up15(―→))＋eq\o(DB,\s\up15(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(―→))＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.题型三共线定理的应用例3　已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up16(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.【解析】　(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq\o(AB,\s\up16(→)).∴eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(BD,\s\up16(→))共线，且有公共点B．∴A，B，D三点共线．(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.∵e1与e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得k＝±1.解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量eq\o(AB,\s\up15(―→))＝λeq\o(AC,\s\up15(―→))，则eq\o(AB,\s\up15(―→))，eq\o(AC,\s\up15(―→))共线，又eq\o(AB,\s\up15(―→))与eq\o(AC,\s\up15(―→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．跟踪训练三1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；2、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，求x＋y的值．【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.【解析】1、证明：∵eq\o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CB,\s\up16(→))＝e1－4e2.又eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝2eq\o(BD,\s\up16(→))，∴eq\o(AB,\s\up16(→))∥eq\o(BD,\s\up16(→)).∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．2、解由于A，B，P三点共线，所以向量eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AP,\s\up16(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使eq\o(AP,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))，即eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))，所以eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up16(→))＋λeq\o(OB,\s\up16(→))