反比例函数典型例题

PAGEPAGE1反比例函数知识点及考点：（一）反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y=(k是常数,k=0)的函数叫做反比例函数。注意：（1）常数k称为比例系数，k是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y=（k≠0），（B）xy=k（k≠0）（C）y=kx-1（k≠0）例题讲解：有关反比例函数的解析式例一.下列函数，①②.③④.⑤⑥；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。例二．函数是反比例函数，则的值是（　　）　A．－1　　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．2或－2例三．若函数(m是常数)是反比例函数，则m＝________，解析式为________．例四.如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（　）A．反比例函数　B．正比例函数　C．一次函数　D．反比例或正比例函数对应练习：1.如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的（）2.如果是的正比例函数，是的正比例函数，那么是的（）3.反比例函数的图象经过（—2，5）和（，），求1）的值；2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由4.已知y与2x－3成反比例，且时，y＝－2，求y与x的函数关系式．5.已知函数，其中与成正比例,与成反比例，且当＝1时，＝1；＝3时，＝5．求：（1）求关于的函数解析式；　　（2）当＝2时，的值．(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时,双曲线分别位于第________象限内。3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x的增大而________；（2）当k<0时,_________________,y随x的增大而______。4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y=和y=）来说，它们是关于x轴，y轴___________。例题讲解：例题讲解。反比例函数的图象和性质：例一．写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限　　　　　　　　　　　　　．　例二．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（　　）A、－1或1;　B、小于的任意实数;C、－1;　　　Ｄ、不能确定例三．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（　　）　A．　　　B．　　　C．　　　D．．例四．已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，则的值是（）A．正数　　　B．负数　　C．非正数　　　D．不能确定对应练习1.若点（，）、（，）和（，）分别在反比例函数的图象上，且　，则下列判断中正确的是（　　）　A．　　B．　C．　　D．2.在反比例函数的图象上有两点和，若时，，则的取值范围是　　　　　　．3.老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:甲:函数的图象经过第二象限;乙:函数的图象经过第四象限;丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数:.4.作出反比例函数的图象，结合图象回答：(1)当x＝2时，y的值；(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．PyMx0N3（三）反比例函数与面积结合题型。PyxOMN图1知识要点：1、反比例函数与矩形面积：若P(x，y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，求矩形PMON的面积.分析：S矩形PMON=∵,∴xy=k,∴S=.OByxAQ图22、反比例函数与矩形面积：若Q(x，y)为反比例函数(k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q作QA⊥x轴于A(或作QB⊥y轴于B)，连结QO，则所得三角形的面积为：S△QOA=（或S△QOB=）.说明：以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.例题讲解：例一．如图3，在反比例函数（x＜0）的图象上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N，那么四边形的面积为　　．MyNxO图4图6OACB图7图5例二．反比例函数的图象如图4所示，点M是该函数图象上一点，MN⊥x轴，垂足为N.如果S△MON=2，这个反比例函数的解析式为______________对应练习。1.如图5，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作AB⊥轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（　　　）　A．1　　B．2　　C．4　　D．随的取值改变而改变．2.如图6，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥轴，AC∥轴，△ABC的面积记为，则（　　）A．　　　B．　　C．　　　D．3.如图7，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（）(四)一次函数与反比例函数例题讲解：例一．一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=QUOTE的大致图象是（　　）A、B、C、例二．一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是()对应练习1.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=QUOTE（k1∙k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）A、﹣2＜x＜0或x＞1B、﹣2＜x＜1C、x＜﹣2或x＞1D、x＜﹣2或0＜x＜12.正比例函数和反比例函数的图象有个交点．3.正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y=(k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.4.设函数y=QUOTE与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），则QUOTEQUOTE的值为　QUOTE（第（7）题）5.如图，RtΔABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB垂直轴于B，且S△ABO＝，则反比例函数的解析式　　　　　　　　．6.若反比例函数与一次函数y＝3x＋b都经过点(1，4)，则kb＝________．7.如图，已知A（4，a），B（－2，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝－QUOTE的图象的交点．（1）求反比例函数和一次函数的解祈式；（2）求△A0B的面积．8.如图,在平面直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于点A，与轴交于点C，AB⊥轴，垂足为B，且＝1．求：（1）求两个函数解析式；　（2）求△ABC的面积．9.平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B且与反比例函数图象分别交于C、D两点，过点C作CM⊥x轴于M，AO=6，BO=3，CM=5．求直线AB的解析式和反比例函数解析式．（五）反比例函数的应用：例题讲解：例一．一个水池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x立方米的水，经过y小时可以把水放完，那么y与x的函数关系式是________，自变量x的取值范围是________．例二．三角形的面积为6cm2，如果它的一边为ycm，这边上的高为xcm，那么y与x之间是________函数关系，以x为自变量的函数解析式为________．例三．长方体的体积为40cm3，此长方体的底面积y(cm2)与其对应高x(cm)之间的函数关系用图象大致可以表示为下面的()．对应练习1．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是()．(A)小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系(B)长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系(C)压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系(D)一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系2．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：体积x(ml)10080604020压强y(kpa)6075100150300则可以反映y与x之间的关系的式子是()．(A)y＝3000x(B)y＝6000x(C)(D)3．甲、乙两地间的公路长为300km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为V(km/h)，到达时所用的时间为t(h)，那么t是V________的函数，V关于t的函数关系式为________．4．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)________．5．有一面积为60的梯形，其上底是下底长的三分之一，若下底长为x，高为y，则y关于x的函数关系式是()．(A)(B)(C)(D)6．一个长方体的体积是100cm3，它的长是y(cm)，宽是5cm，高是x(cm)．(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；(2)画出(1)中函数的图象；(3)当高是3cm时，求长．7．一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(1)写出这一函数的解析式；(2)当气体体积为1m3时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？8．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题图中所提供的信息解答下列问题：(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为________，自变量x的取值范围是________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为________．(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量小于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？备用练习　1．反比例函数的概念　　（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．　　A．y=3x　　　B．　　　　C．3xy=1　　　　D．　　（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．　　A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．2．图象和性质　　（1）已知函数是反比例函数，　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．　　A．第一象限　　　　B．第二象限　　　C．第三象限　　　　　D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．　　A．第一、二、三象限　　　　　　B．第一、二、四象限　　C．第一、三、四象限　　　　　　D．第二、三、四象限　（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．　　　　　　A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D．3．函数的增减性　　（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．　　A．正数　　　　B．负数　　　　　C．非正数　　　　　D．非负数　　（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．　　A．＜＜　　　B．＜＜　　　　　C．＜＜　　　D．＜＜　　（3）下列四个函数中：①；②；③；④．　　　　y随x的增大而减小的函数有（）．　　A．0个　　　　B．1个　　　　　C．2个　　　　　D．3个　　（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而　　　　（填“增大”或“减小”）．　4．解析式的确定　　（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．　　A．正比例函数　　　B．反比例函数　　　　C．一次函数　　　　D．不能确定　　（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．　　（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．　　①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．　5．面积计算　　（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．　　A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（1）题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（2）题图　　（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．　　A．S=1　　　　B．1＜S＜2　　　　　　C．S=2　　　　　D．S＞2　　（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（3）题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（4）题图　　（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小．　　（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（5）题图　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（6）题图　　（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．　　①求这两个函数的解析式；　　②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．　（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．　　①求B点坐标和k的值；　　②当时，求点P的坐标；　　③写出S关于m的函数关系式．6．综合应用　（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（　　）．　　A．互为倒数　　　B．符号相同　　　C．绝对值相等　　　D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．　　①求反比例函数和一次函数的解析式；　　②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．　　（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．　　①求点A、B、D的坐标；　　②求一次函数和反比例函数的解析式．