2-4矩阵的秩

2-4矩阵的秩§2.4矩阵的秩一、矩阵的行(列)秩、秩三、矩阵秩的第二定义四、小结一、矩阵的行(列)秩、列秩向量组　称为矩阵A的列向量组．向量组　称为矩阵A的行向量组．1.定义2.4.1设m×n矩阵A，称A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.解：同样方法可以求出A的列秩等于2.解：A的三个行向量为去掉A的第三个分量量4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关，因为所以A的列秩也等于3.例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了证明这一点,我们有以下两个定理.定理2.4.1初等行(列)变换不...

§2.4矩阵的秩一、矩阵的行(列)秩、秩三、矩阵秩的第二定义四、小结一、矩阵的行(列)秩、列秩向量组　称为矩阵A的列向量组．向量组　称为矩阵A的行向量组．1.定义2.4.1设m×n矩阵A，称A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩.解：同样方法可以求出A的列秩等于2.解：A的三个行向量为去掉A的第三个分量量4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关，因为所以A的列秩也等于3.例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的.为了证明这一点,我们有以下两个定理.定理2.4.1初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩.证明：此处只就第三种初等行变换不改变矩阵的行秩证明之，其余两种课下自己来完成.可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示.显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、B的行向量组的秩相同.定理2.4.1对应到化简线性方程组上即为初等变换不改变线性方程组中独立方程的个数。定理2.4.2初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的线性关系.解：对矩阵A作初等行变换如下：实际上,如果把以上每作一次初等行变换所得到的矩阵叫做B的话,B的列向量间同样存在上述线性关系.推论初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩.定理2.4.3矩阵的行秩等于列秩.证：由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化为标准形而矩阵I的行秩和列秩都等于r，根据定理2.4.1及定理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换，它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应等于r，即A的行秩等于列秩.3.定义2.4.2矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩，记为R(A).二、矩阵秩,向量组的最大无关组,秩的求法用初等变换求矩阵秩的方法：将已知矩阵A化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵的非零行数就是A的秩.例4求下列矩阵A的秩A例4求下列矩阵A的秩2.用矩阵的初等变换求向量组的秩以及最大无关组.具体做法是：将已知向量为列向量排成矩阵，并用初等行变换将其转化为行阶梯形矩阵.此时，阶梯形矩阵的非零行数就是向量组的秩；而阶梯形矩阵中非零行的第一个非零数所在的列在原向量组构成的矩阵中对应序号的列向量即构成了此向量组的一个最大无关组.解：解：(1)当t-5=0,即t=5时,R(A)=2<3,所以1,23线性相关.(2)t=5时，继续对A实施初等行变换，得矩阵B的列向量间有线性关系取A的第1，2行和2，4列三、矩阵秩的第二定义矩阵秩的第二定义：矩阵A的秩等于矩阵中不为零的子式的最高阶数。例7求例4中矩阵A的秩.于是R(A)=3.解：以矩阵不为零的子式的最高阶数给出的矩阵秩的定义，来求矩阵的秩时比较繁琐.但是在矩阵理论中具有重要作用.我们用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法仍是一种简单有效实用的方法.四、小结1.矩阵的行(列)秩、秩3.矩阵秩与向量组的极大无关和秩的求法4.k阶子式及矩阵秩的第二定义2.矩阵的初等行列变换对矩阵的行秩列秩的作用

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