相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比率的性质:比率的性质示例 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 亠上O3x=2y(1)基天性质：—=—<=>3x2—=—(abedH0)baA2x+y2+3_。_(v*0)“(4)合比性质：-=-<=>^—=——(W*0)bay3y3bay_3oy—x_3—2(20)(5)分比性质：a-c^U~h-C~l/(加H0)bdbdx2X2⑹合分比性质：bda-bc_d(bd工0,aHb,c工d)等比性质：acmz.fc、—=—=???=—(b+d++“H0)bdna+c+--+ma,Axzz>-------------=——(Z?+d+???+nH0)x2x+y2+3z八一=厅0—(yHOn)y3x-y2-3234已知-=-=->则当X+F+ZHO时，yz2_3_4_2+3+4b+d+???+打bxyzx+y+z^二、成比率线段的看法：比率的项：在比率式cr.b=c：d（即纟=上）中，a,d称为比率外项，b,c称为比率内项.特别地，hd在比率式a\b=b.c（即上=?）中，b称为a,c的比率中项，满足b2=ac?bc成比率线段：四条线段6b,Gd中，假如Q和b的比等于C和d的比，即-=那么这四条线bd段a,b,c,d叫做成比率线段，简称比率线段.3.黄金切割：如图，若线段M上一点C,把线段朋分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是和BC的比率中项（即AC2=ABBC）,则称线段AB被点C黄金切割，点C叫线段&8的黄金切割点，此中AC=^1AB^Q.61SAB,=Q0.382AB,ACAB22的比叫做黄金比.（注意：对于线段A3而言，黄金切割点有两个.）???ACB三.平行线分线段成比率定理1.平行线分线段成比率定理两条直线被三条平行线所截.所得的对应线段成比率.简称为平行线分线段成比率立ABDEBCEF【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如&B）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为二=二，空=刍rr全全平行线分线段成比率定理的推论平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比率.如如AEAFAEAE_AFAE_AFAFBEEF---=--------EB^FCAB^ACACAB—=SLEFT/BC&F△ABCsMBCZB=ZB',ZC=ZCrAA'AB_BC_ACA^=WC=A^C4EBFCABAABC△A'B'C'AM、AHADA!D9AB_BC_ACAM_AH_ADA7T=WD;AABCBCA!MfA!HrAA0CBfC7^=^C=A^C==A^rAABC/\A!BfCABBCACAB+BC+AC;而一而一而一A?+B'C'+AC一>=Z4‘ZZ?=ZZTAABCsMBC砂B'C'A'C'SCSMBCABAC△A?ACZA_ZA△ABCs/WBCDE//BCoHADEsAABCoA°-AE-DE4ABABACBCAB〃CDo'AOBsHCODO竺=竺=竺CDOCODAAADG^ABCDG_ANBCZBAC=90°\ADGsHEBDs&GCsMBC/△ABCSAEMFC4EAAAAZAED=ZBAABCSZMED/IAEAD_CDEAEAC=ADABAC~BBcAZACD=ZB△ABCsAACD/ACADCD八/AC2=ADABABAC[)/BCdcBZAED=ZB^ABC^AAEDAEADDEABACAEAC=ADABBCA/\/\\----、厂A3/AABD^ACADZB=ZCADZC=ZBADAB2=AD2+BD2AC2=AD2+CD2BC2==AB2+AC2AB1.BDED丄BDAC丄ECAABCSMDEBDEABDE=BCCDAABCs*DEsAACEZABC=ZCDE=ZACEABBCACZ^ABCsMDECD^^DE^CEABDE=BCCDCBDAABCs*DEsAACEADACMBCMCDE&=忑CBDBJCDABACABBCZABC=ZACEAABBDAABCZA4CAC=CDCCE//ADBAECE//ADZ1=Z￡Z2=Z3Z1=ADZBACZ2AE=ACCE〃AD^=竺竺=竺AECDACCDDCAABCABBDAC=CDABACAF；VEAw/nBMCBMCENBM.ENBMEF//BCEF//BC一NFMCNFMC3/Dx:y:z=1:3:5x+3y—--"V+加=动=4F^AC4EAD=8DC=6AC=10.123g52sg沁善忌CE弓BC弓x6=---△ABCZXDEFZA=90°"=90ZC=85°ZE=85°2。AC=5BC=\3DF=\0EF=26—=—AC=1?5BC=2EF=8DE=10FD=\6ZA=46°4=80。Z￡=45BC°DF???AD=AC???ZFDC=ZACB???DE???EB=ECZABC=ZFCD??AABCsLCD(3)由等腰直角三角形获取心加MAC条件变成妙①冷―倍"巴条件变成比率形式:走気，因为妙心180。-45。以3△加.题型一亀财：字和“8”字模型例题1(1)如图4-1,已知口A3CD中，过点8的直线按序与AC.AD及CD的延长线订交于点QF、G,若BE=5,EF=2,则FG的长为?如图4?2,已知在口4BCD中，M、N为的三均分点，DM、DN分别交AC于几Q两点，分析:???AAEFsMEB,AGFD^AGBC,：.—=—=19：.2L=AI)~AF=1?FGCBEB5CBCB5DF3,即FG3得FG=10?5BGCB5FG+75?(2)!3由DC〃AB,得APAM1=-AC,同理2PC=----=—94AQ=^AC,：12吟获冷心却C,心AC,故Ap：p0：ec=l：^：|=5:3稳定4(1)如图4」在ZV1BC中，M、E把&C边三均分，MN//EF//BC.MN、EF把ZVIBC分成三部分，则自上而下部分的面积比为_____________.(2)如图4?2,AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3、则的值为__________________.(3)如图43已知在平行四边形&BCD中.M为的中点，DM,D3分别交&C于P,Q两点，则AP：PQ：QC=_____________图44图4?分析：(1)1：3:5：(2)1：(3)??心皆挥,兰=如=丄.??心“PCCD2:.PQ=\\-^-^AC=^AC,."P:P0:0C=2:1:3.题型三与内接矩形相干的相似问题例题2(2)如图5-1,△ABC中，正方形EFGH的两个极点F、F在BC上，另两个极点G、H分别在AC.AB上，BC=15,BC边上的高AD=10,求S”形时”?(2)如图5?2,已知ZV1BC中，四边形DFGF为正方形，D,F在线段AC,BC上，F,G在&3上，假如=1,S沁=3,求ZVIBC的而积?A分析：（1）设正方形EFGH的边长为x,AD.HG的交点为则解得，x=6,故S正和如G”=6’=36ADBC1015（2）设正方形边长为x,则AF=-,C/=LBG=-?XXX2由△CQESAC4B,得—,解得x=2,CHAB2+A.8+Xx:.AB=6,CH=3、:.S^tic=稳定2：如图，已知ZvlBC中.AC=3,BC=4,ZC=90四边形°,DEGF为正方形，此中D、￡在边&、、在上，求正方形的边长.上，FGC3C分析：法一：由勾股左理可求得初=5，由ABCH=ACBC可得CH=2.4?由迥“△咖可得务筹，设正方形的边长沙则汁弓产解得心善25法二：设CE=4R,贝UDE=5k,:?GE=\k、BE=—k3y,即俯知农解得"存―等题型四■"五“A字和“8”字模型的构造例题3如图，ZV1BC中，D为BC边的中点，延长4D至&延长AB交CE的延长线于P?若AD=2DE,求证：AP=3AB?分析：如图，过点D作PC的平行线，交AB于点H.9：HD//PC,AECAUADAD=2DEd—=—=2nAH=2PH,PHDERf_fRDHD〃PC、BD=CD=——=——=gBH=PH,PHCDA:?AP=AH+PH=3PH2BH,:.AB=BH=PH,、AH=BH+AB=2PH=：?AP=3PH=3AB.还可用以下辅助线来证此题:稳定3：如图，已知线段AB//CD.&D与BC订交于点K,E是线段力D上一动点.（1）若BK=?KC,求竺的值；2AB（2）连接若肚均分ZABC.则当AE=^AD时，猜想线段处、BC、CD三者之间有怎2样等量关系请写岀你的结论并予以证明.再研究：当AE=^AD（n>2），而英余条件不变时,线段人&BC.CD三者之间又有如何的等量关系请直接写出你的结论，不用证明.5CK0分析：(1)?:BK=—KC、:.一又TCD〃&B,2BK5:?HKC?\KBA￡?—=2ABBK5当3F均分ZABC,=时，AB=BC+CD；2证明：取BD的中点为F,连接FF交BC于G点，由中位线左理，得曰〃4B〃C6???G为BC的中点，ZGEB=ZEBA,又??SA"BE,5SBG*^GF=-CD,EF=、AB,???EF=EG+GF,即：-AB=-BC+^-CDt?.AB=BC+CD;22222当AE=-AD(n>2)^fBC+CD=(n-\)AB?题型六斜“A”和斜“8”模型例题4r例题5如图，在△ABC中，AD丄BC于D,比丄加于&△MC的而积是面积的4倍，AC=6,求DE的长?分析：VAD丄BC，CE丄AB，ZABD=ZCBE,???MBDSMBE，RFA-^=—VZEBD=ZCBA9:仏BEDsgCA,BDABD-DE"AC_稳定4：（1）如图，△ABCBC,AC上，且BD=CE,AD是等边三角形，点6￡分别在与BE订交于点F?求证：①BD'=ADDF；②AFAD=AEAC：③BFBE=BDBC?⑵如图，四边形沁是菱形,杠丄初交BD于E,交BC于F.求证:AD=DE皿A分析：（1）T等边MBC，???AB=BC，ZABC=ZACB=ABAC=6^???BD=CE???^ABD◎厶BCE?ZBAD=ZC8E,:.ZBFD=ZBAD+ZABE=ZCBE+ZABE=ZABCRDr\c:.Z\ABDs/\BFD:-------------------???BD2=ADDF?ADBD②证明zMFEsZCD即可.③证明Z\BFDS^BCE即可.（2）方法一：取DE中点M,连接AM,ITAF丄AD，M为DE中点=AC9:.MA=MD=-DE,???Z1=Z2,又T2Z2=Z3t?Zl=Z3t9???:?/\DAMs/\DBA,:.DAr=DMDB,:.AD2=-DEDB?2方法二：取BD中点N,连接&/V.由等腰三角形的性质可知：AN丄BD,又VZE4D=90°>2=DNDE,:.AAND^Z^EAD.:.AD又?:DN=LBD,:.AD2=-DEBD?22 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :考査斜“A"“8”“A”“8和斜常有结论，看到比率乘积想到斜和斜冷也要会找稳定5：在等边ZiABC中，点D为AC上一点,连接B6直线/与处，BD,BC分别订交于点E、P、F.且厶PF=60°?（1）如图8-2,写出图中全部与相似的三角形，并选择英中一对恩赐证明.（2）若直线/向右平移到图8-2、图8-3的位垃时（苴它条件不变），（1）中的结论能否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明原由.⑶探短如图8」当嘶足什么条件时（其他条件不变），吩拯请写出研究结果,并说明原由.（说明：结论中不得含有未表记的字母）分析：(1)/\BPFSEBF与厶BPFs认为例，证明如卜?:△BCD，?:乙BPF=/EBF=3、ZBFP=ZBFE,:仏BPFsgBF?(2)均成立，均为厶BPFs厶EBF,厶BPFs/\BCD?(3)BD均分ZABC时，PF=-PE?2证明：?:BD均分ZABC,:.ZABP=ZPBF=30?/ZBPF=60>:./BFP=90,/.PF=^PB、2又ABEF=60-30=30=ZABP,:?BP=EP,APF=-PE?2題型七射影定理例题6如图，已知AD、CF是ZvlBC的两条髙，丄AC与E,交CB延长线于G,交AD于H,求证：EF2=EHEG?分析：?:CF丄AB,EF丄AC,:.EF2=AECE,又由ADLBC可知，ZAEH=ZCEG=90。，ZEAH=ZEGC,CLJCA:?MEHsMEC、稳定6：(1)如图9」，在ZkABC中，CQ丄AB于D,DE1AC于E,DF丄BC于F?求ECEG2:.EHEG=EAEC,:.EF=EHEG?证：ACEF^ACBA.(2)如图92在RtAABC中，AD是斜边BC上的髙，丄AC于&DF丄AB于F,求4FB?FD.ABrut：——=---------?AC4ECEDA分析：(1)分别在△ADC△CDB2=CECA,CD》=CFCB，CECF与中由射影左理获取：CD???CECA=CFCB,即——二——，\AECF=ABCA./.ZkECFs&C4?CBCA⑵由射眈理可以挨次获取务=鹽升熬于是仅需证明AB_FD而因为△BDA/AB_DF,DF、DE分别是AB与AC上的髙，因此有SVQCAC=DE得证.”九三垂直模型例题7如图，M为线段&3的中点，AE与3D交于点C,ZDME=ZA=ZB=a,且DM交&C于F,ME交BC于G.求证：^AMFsHBGM?连接FG,假如a=45。，AB=4y/2,AF=3,求FG的长.分析：(1)由题意得，^DME=ZA=ZB=atSO°-a.ZAA/F+ZA加=180°-a,:.ZBMG=ZAFM9又ZA=ZB=a?:.HAMFS&GM?(2)TZXAMFs&GM,/.—=—>TM为的中点，AAM=BM=-AB.BGBM2?:AB/2?AF=38?A-BG=；,4V?=45°,AZACB=90°,—,AC=BC=4,:.CF=AC-AF=\.CG=BC-BG=3.?.FG=4CF2+CG-=|.稳定7：(1)如图10-1,矩形ABCD中，由8个而积均为1的小正方形构成的(型模板如图放程，则矩形A3CD的周长为?(2)如图10-2,在直角坐标系中，矩形ABCO的边O&在x轴上，边OC在y轴上，点3的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点F,则D点坐标为?分析：(1)厶ABEs厶ECFs厶FOG,—=—=2,FDFG:.AB=2DF,:.AB=2CF,—=—=—=1,ECEFCF???AB=CE,BE=CF,二CE=2CF,又V￡F=4>ACE=-x/5>CF=±:?$BC=1书,AB=^$555V5?I矩形&BCD的周长为8石?2）过D点做DF丄x轴于F点，BC与FD的延长线交于G点CG_GDCD\DF=AF=75=3设CG=x,贝ijDF=3x,AF=\+x,GD=3-3x,因为AF=3GD,列得方程：I+x=3(3-3x),4412解得A=-,故CG=-tDF弋.求得D点坐标为（-百，yj.稳定8：如图11-1,ZV1BC和是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90。,△D￡F的极点F与的斜边BC的中点重合.将绕点F旋转到如图11-2,线段DE与线段AB订交于点P,△ABC△DEF线段EF与线段C4的延长线订交于点Q.1）求证：MPEsMEQ?分析：(1)VZXABC和是两个全等的等腰直角三角形,°>AZfi=ZC=ZDEF=45???ZBEP+ZCEQ=135。,ZC0E+ZCEQ=135,°/.ZBEP=ZCQE,XVZfi=ZC=45°,:.MPEsMEQ?RPRJ7(2)连接PQ,???/XBPEsMEQ,??------------=—,CECQ?：BP=a,CQ=hBE=CE,:?BE=CE='d,22/.BC=3\/2a?AB=AC=3ci>/.AQ=二“，PA=2a?2在R(AAP0中，PQ=JQ2+AP，=*.A题型十三平行模型例题8（例题9已知：如图，在梯形&BCD中，AB//CD,M是&3的中点，分别连接AC、BD.MD.MC,且&C与MD交于点E,03与皿（7交于F.求证：EF//CD；若AB=a,CD=b,求EF的长.分析：(1)9：AB//CD..ME_AM*￡D"CD9：AM=BM,（中间过渡量）??(2)VAM//EF//CD,?丄二丄+丄ab?EFAMCD稳定9：以下列图，中，ZBAC=120°>AD均分ABAC交BC于点D.求证:111ADABAC分析：分别过B、C两点做4D的平行线，分别交C&、的延长线于QF两点.因为〃〃FC,有—:因为ZEB4=39=60。，Z￡4B=180-Za4C°=60°￡BADADBEFC因此为正三角形，同理AMC亦为正三角形.題型十一角均分线定理例题10在△ABC中，4的均分线交AC于D,ZC的均分线交于E,且BE=CD?求证：AB=AC?解乐由角均分线立理获取荒.疋就*AZ)AE/即一=——，:.AD=AC-CD9AE=AB-BE__________AABACBc???AC(AC一CD)=AB(AB一CD),整理获取(AC-AB)(AC+AB-CD)=0明显AC+AB—CDHO.故=.稳定10：(1)如图13-1,在/XABC中，ZC=90°C4,=3,CB=4、且CD是ZC的均分线.则AD的长为?IDBC图13-图13-(2)如图13-2,/是ZVIBC内角均分线的交点，川交对应边于D点，求证：—=/W+AC,分析：(1)由角均分线办理兽=等￡,因为AB=jAChCB'=5,DBBC477/八亠厶f八小宀eHrA/ABAC亠亦,“工丹A/AB+ACAB+AC8(2)由角均分线足理获取矿而二而’由等比性质获取：75=T=^^'BDCD稳定11：若AP=PB,ZAPB=2ZACB.AC与P3订交于点D,且P3=4,PD=3?求ADDC的值.pp分析：过P点做ZAPB的角均分线PF,交AD于￡点?VZEPD=ZAPE=ZC,a"DE=ZCDB,：4PDEs/\CDB,：.EDDC=PDDB=3,PAAF47又因为PE是角均分线，???=忌命，???PA=PB=4,：?AE「ED,AD「ED,PDED337:?ADDC=—EDDCT.3题型十二线束模型法一：如卜?左图，过作〃交于交AM、AN于、DDG3C4CG,Q,由线束定理可知DP=PQ=g?：DF〃AC,：签=詈吉,g=>2,:?罟三，—DE?过F点或F点作眈的平行线也可获取近似的证法.法二以下右图，过M作PQ〃DF,交&3于P,交AF延长线于Q,则有AC//DF//PQ..PM_3M_1QM_MNAC"BC"3^AC"A?C"'PM1由线束定理可知眾霧斗??---=—即EF=3DE?过B点或/V点作DF的平行线也可获取近似的证法.稳定12：(1)如图15-1,AB//CD,&D与BC交于点P,过P点的直线与AB、CD分别交于1F.求证：AE_DFBE"CF如图152AB//CD.AD与BC交于点P,连接C4.DB并延长订交于0,连接0P并延长交CD于M,求证：点M为CD的中点.3）如图在图15?2中，若点G从D点向左挪动（不与C点重合），AG与BC交于点P,连0P并延长交CD于直接写出MC、MG、A4D之间的关系式.图15-分析：(1)证明：如图1,-AB//CD.AD与3C交于点P,:?MEPSMFP、HBFPSMFP、.AE_EPBE_EP.AE_BE.AE_DFBF"FP'CF"FP1Or"CF'??亦一乔：证明：如图2,设OM交A3于点N.9：AB//CD.???△AONsMOM，^BON^^DOM,AAOB^ACOD,.OA_ANOB_BNOA_OB.??竺=竺①,DMCM??荒一而’而一而’OC"OD/\APBSDPC、厶BNPs厶CMP、???竺=型②,.AN_APDN_BPAP_BPDMCM??而二丽’CM=CP^DP=CP'①十②?=——,:.CM=DM,即点M为CD的中点；CMDM(3)解：MC2=MG^MD.原由以下：如图3,设OM交&3于点MMCMPNANP9：AB//CD.:?/\MCPs/\NBP,/\NAPS------------------①，一=一②,3GP、:NBNPMGMPG、&、MCNAMPNP,.MCNB⑴X②，得——X——NPMPMGNA?S人厂?NAONNBON???△AQVMOM,MCOMMDOM.NANB」D=NB,JC/D,...曲=沁沁MCMDMCNAMGMC题型十三相似综合例题13如图，点力的坐标为点C是线段少上的一个动点（不与0、A两点重合）,过点（2,2）,C作CD丄x轴，垂足为D，以CD为边在右边作正方形连接&F并延长交x轴的正半轴CDEF.于点连接若以、、为极点的三角形与△OFE相似.则点的坐标EFBB,OF.B分析：要使ZiBEF与/XOFE相似,"EO=ZFEB=9Q。只要鲁篇或券备即归2『或EB弓②当BE=2t时，30=4/,2/.??20（舍公）或层,0)?2^7???B(6.⑴当B肛的左边时，如“弓,⑹当〃在E的右边时’OB“E+EB=*,:.B(3.0)?稳定13：如图，RtAABC中，ZACB=9O°,CD丄A3于D,过点D作QE丄BC,/\BDE边DE上的中线BF延长线交AC于点G.1）求证：ADBD=CECB；（2）若AG=FG、求BF.GF;3）在（2）的条件下，若BC=6迈.求BD的长度.分析：(1)证明：VCP丄是直角三角形.VDE丄BC,ACD=CECB?是直AB,???△BCD2???△ABC2；角三角形，CD丄AB.???CD=ADBD,:?ADBD=CECB解：过G作GP丄DF交DF于P,连接DG,AC丄BC,DE丄BC,GFIDE，t四边形CEPG是矩形，.??CG=EP在Rt/MDC中，TG是边AC中点，AG=DG=CG.又VAG=FG.:?DG=FG、:.AGFD是等腰三角形.:.GP是"的中线，DP=FP,即FP=-DF=-EF?22?：CG=EP,FP=-EF,:?PF:CG=\:3,二PF:FG=1:3?2JMFGsgFBsMGB,；?CG?.BG=EF:BF=PF:GF=\:3,:.FG:BG=1:3,BF:GF=2:X解：?:BC=6迈、CE:BE=GF:BF=\:2,:.CE=2迈,BE=4迈.EF:BF=1:3,设EF=x,则BF=3x.???F+(4血)2=9/,解得x=2.:?BF=6,GF=3,AC=6,???AB=JCUBC?=届+(6毎=6冬,:?ABD=4书.