1.1 线性空间

第1章线性空间和线性变换1.1线性空间线性空间是定义在特定数域上的。什么是数域？定义定义11设设FF是一个包含一个数集，0,10的数集，且若F1FF中的任两个数的和、差、积、商（除数为,FF0外）仍在FF中（即F对这封闭些运算封闭），则称FF为一数域。F(0)则称F是一个数域。实数域R复数域C有理数域Q工程数学沈阳航空航天大学线性空间的定义定义2设V是一个非空集合,F是一个数域，在V上定义了加法运算，即,F存在唯一的V与之对应，称为与的和，并记为=+，且这种加法运算满足以下4条规则：1)；2)()()；3)存在零元0V，使V，有+0=；4)V，存在负元V，使得+=0，记=－工程数学沈阳航空航天大学在集合V和数域F之间还定义了一种数乘运算，即kF,V，存在唯一的V与之对应，称为k与的数乘，记为=k，且数乘运算满足以下4条规则，即k,,lF,V5)1·=；6)k(l)=(kl).7)(k+l)=k+l;8)k(+)=k+k.称定义了加法运算和数乘运算且满足以上8条法则的集合V为数域F上的线性空间或向量空间，称V中的元为向量。工程数学沈阳航空航天大学例题1.实数域R上多项式全体P(t)，次数不超过n的多项式全体Pn(t)，按多项式加法和数乘运算构成实线性空间。数域P上的如下多项式集合是否构成线性空间？n{p(x)|p(x)=a0+a1x+…+anx,an0}2.定义在闭区间[a,b]上的实值连续函数全体构成的集合C[a,b]，按函数的加法和数乘运算构成线性空间。工程数学沈阳航空航天大学练习全体正实数R，加法和数量乘法定义为：ababkaak工程数学沈阳航空航天大学线性组合定义3设{1,2,…,m}为线性空间V中向量组，若向量=k11+k22+···+kmm则称为向量组1,2,…,m的一个线性组合，或称可由1,2,…,m线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 出。工程数学沈阳航空航天大学线性相关定义4设{1,2,…,m}为线性空间V中向量组，若存在一组不全为零的数k1,k2,···,km,使k11+k22+···+kmm=0(1)则称向量组{1,2,···,m}线性相关。若等式(1)只有在k1=k2=···=km=0时才成立，则称线性无关定理1设线性空间V中的向量组{1,···,m}线性无关，且向量组{,1,···,m}线性相关，则可由1,···,m唯一地线性表出。工程数学沈阳航空航天大学基、维数与坐标定义5设在数域F上线性空间V中有n个线性无关的向量1,···,n，且V中任何一个向量都可由{1,···,n}线性表出=k11+k22+···+knnT则称{1,···,n}为V的一个基，k=[k1k2···kn]为在基{1,···,n}下的坐标。此时称V为n维线性空间，记作Vn。记维数为dim(V)工程数学沈阳航空航天大学可以被基1,2,…,n线性表出：k1k=k+k+…+k(,,,)21122nn12nkn工程数学沈阳航空航天大学例题实数域R上多项式全体P(t)——无限维向量组{1,t,···,tN-1}——基N→∞次数不超过n的多项式全体Pn(t)——n+1维向量组{1,t,···,tn}——基工程数学沈阳航空航天大学工程数学沈阳航空航天大学基2例1在线性空间P2(t)中，{1,t,t}是3个线性无关向量9p(t)4t27t91tt27基4不同p(t)在基{1,t,t2}下的坐标为[9-74]T则坐标{t+1,t+2,t2}是另一组基不25同p(t)4t27t9t1t2t2164p(t)在基{t+1,t+2,t2}下的坐标为[-25164]T基变换与坐标变换在n维线性空间中，任意n个线性无关的向量都可以作为线性空间的基，即空间的基不唯一.不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的。上面的例子已经说明了这一点。我们要研究的问题是，随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的。工程数学沈阳航空航天大学基变换设{1,2,…,n}与{1,2,…,n}是V中两组基，则有基变换公式1p111p212pn1n2p121p222pn2nnp1n1p2n2pnnn新基旧基p11p12p1nppp[,,,][,,,],,,,21,22,P2n12n1122nn12npn1pn2pnnP称为由基{1,…,n}到基{1,…,n}过渡矩阵。工程数学沈阳航空航天大学工程数学沈阳航空航天大学过渡矩阵P是可逆的.1[,,,][,,,]12n12nP-1P为由基{1,…,n}到基{1,…,n}的过渡矩阵。坐标变换[,,,][,,,]12nx12ny[,,,][,,,]12n12nP[,,,][,,,][,,,]12nx12ny12nPy[1,2,,n](xPy)0坐标变换公式xPyoryP1x工程数学沈阳航空航天大学子空间与维数定理定义6设W为线性空间V的一个非空子集，若W中的元满足：(1),W，有+W;(2)W,kF，有kW.则W为数域F上的线性空间，称W为V的子空间，并记为WV工程数学沈阳航空航天大学既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为在线性子空间中不可能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.工程数学沈阳航空航天大学在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.dim{0}0线性空间V本身也是V的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.工程数学沈阳航空航天大学例2设{1,2,…,r}是线性空间V中一组向量，集合Span(1,2,…,r)={V|k11+k22+…+krr,kiF}是V的一个子空间，称作由{1,…,r}张(生)成的子空间。工程数学沈阳航空航天大学n引理1设W是线性空间V的子空间，{1,2,…,m}为W的一组基，则可将它扩充为Vn的一组基{1,…,m,m+1,…,n}。也就是说在V中必定可以找到n-m个向量m+1,m+2,…,n，使得{1,2,…,n}是V的基.工程数学沈阳航空航天大学定义7设W1,W2是线性空间V的两个子空间,称W1∩W2={|W1且W2}W1+W2={|=1+2,1W1,2W2}分别称为W1,W2的交与和.定理2设W1=Span(1,…,r)，W2=Span(1,…,s)，则W1+W2=Span(1,…,r,1,…,s)工程数学沈阳航空航天大学维数定理定理3(维数公式)如果W1,W2是线性空间V的两个子空间，那么dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)+dim(W1∩W2).工程数学沈阳航空航天大学直和定义8若W1+W2中任一向量只能唯一地分解为W1中的一个向量与W2中的一个向量之和，则称W1+W2为W1与W2的直和，记为W1W2=1+21W1,2W2工程数学沈阳航空航天大学直和的判定条件定理4W1+W2=W1W2的充要条件是下列等价条件之一成立1)W1∩W2={0}.2)若1+2=0，1W1,2W2，则1=2=03)dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2).nn定理5设V1是V的一子空间，则必存在V的另一子空间V2n使V=V1V2.工程数学沈阳航空航天大学4练习在P中，求由基1,2,3,4到基1,2,3,4的过渡矩阵，并求向量在基1,2,3,4下的坐标.设1(1,2,2,1),1(1,1,2,0),2(1,1,3,3),2(2,1,3,1),(3,1,2,4)3(1,1,1,2),3(2,2,1,1),4(3,2,0,1),4(1,3,1,2),工程数学沈阳航空航天大学解要求由基1,2,3,4到基1,2,3,4的过渡矩阵.即要用1,2,3,4表示1,2,3,4.(1,2,3,4)=(1,2,3,4)C.TTTTTTTT令A=(1,2,3,4),B=(1,2,3,4),(即以基中的向量为列构造矩阵)，于是有B=AC解之得C=A-1B工程数学沈阳航空航天大学1113122121121123(A|B)2310231113210112AB100053391014714711162020100777700102341541740001147147EA1B工程数学沈阳航空航天大学即得563920112232404CAB.142842561458178求向量在基1,2,3,4下的坐标,即(1,2,3,4)x用矩阵的初等行变换来求解:先构造矩阵M=(1,2,3,4,)再对矩阵M实施初等行变换,使之成为行最简形矩阵即得.工程数学沈阳航空航天大学1221311231M2311201124109100085所以向量在基1,2,40100,下的坐标为85.34800105109482020,,,.0001858551717工程数学沈阳航空航天大学