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专题-圆锥曲线的方程与性质1．椭圆〔1〕椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2〔大于〕的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。假设为椭圆上任意一点，那么有。椭圆的
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方程为：〔〕〔焦点在x轴上〕或〔〕〔焦点在y轴上〕。注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。例如椭圆〔，，〕当时
表
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示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。〔2〕椭圆的性质①范围：由标准方程知，，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，假设以代替方程不变，所以假设点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，那么曲线关于轴对称。假设同时以代替，代替方程也不变，那么曲线关于原点对称。所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令，得，那么，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。当且仅当时，，两焦点重合，图形变为圆，方程为。2．双曲线〔1〕双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线〔〕。注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支〔含的一支〕；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。椭圆和双曲线比拟：椭圆双曲线定义方程焦点注意：如何用方程确定焦点的位置！〔2〕双曲线的性质①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1〕注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的〔椭圆有四个顶点〕，双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2〕实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。⑤等轴双曲线：1〕定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；2〕等轴双曲线的性质：〔1〕渐近线方程为：；〔2〕渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即假设题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3〕注意到等轴双曲线的特征，那么等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。⑥注意与的区别：三个量中不同〔互换〕相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3．抛物线〔1〕抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F〔,0〕，它的准线方程是；〔2〕抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率说明：〔1〕通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；〔2〕抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；〔3〕注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。〔一〕椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长〔大于〕的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。对椭圆定义的几点说明：〔1〕“在平面内〞是前提，否那么得不到平面图形〔去掉这个条件，我们将得到一个椭球面〕；〔2〕“两个定点〞的设定不同于圆的定义中的“一个定点〞，学习时注意区分；〔3〕作为到这两个定点的距离的和的“常数〞，必须满足大于|F1F2|这个条件。假设不然，当这个“常数〞等于|F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数〞小于|F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。〔4〕下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1，A2，B1，B2，于是我们易得|A1A2|的值就是那个“常数〞，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数〞。同学们想一想其中的道理。〔5〕中心在原点、焦点分别在x轴上，y轴上的椭圆标准方程分别为：相同点是：形状相同、大小相同；都有a>b>0，。不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同〔第一个椭圆的焦点坐标为〔－c，0〕和〔c，0〕，第二个椭圆的焦点坐标为〔0，－c〕和〔0，c〕。椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大。〔二〕椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：几点说明：〔1〕长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。〔2〕对于离心率e，因为a>c>0，所以0
知识点
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一：椭圆的定义第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和为定值,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：假设，那么动点的轨迹为线段； 假设，那么动点的轨迹不存在.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中.注意：只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；在椭圆的两种标准方程中，都有和；椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；知识点三：椭圆的第二方程1.椭圆的参数方程〔为参数〕2.椭圆的第二定义到F〔c，0〕的距离和到直线：的距离之比为常数〔〕的点的轨迹为。3.焦半径P〔，〕在椭圆上，F1〔，0〕、F2〔，0〕为焦点例题讲解〔三〕直线与椭圆：直线：〔、不同时为0〕椭圆：那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。
方法
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如下：消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下，〔1〕当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；〔2〕当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点〔相切〕；〔3〕当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度〔即弦长〕为，设直线的斜率为，可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。［例1］求适合以下条件的椭圆的标准方程：〔1〕两个焦点的坐标分别是〔－4，0〕，〔4，0〕，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；〔2〕两个焦点的坐标分别是〔0，－2〕，〔0，2〕，并且椭圆经过点〔－，〕；〔3〕焦点在坐标轴上，且经过点A〔，－2〕和B〔－2，1〕分析：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a、b即可。假设判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式。解析：〔1〕因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1〔a＞b＞0〕∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4∴b2＝a2－c2＝52－42＝9所以所求的椭圆的标准方程为＝1〔2〕因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1〔a＞b＞0〕由椭圆的定义知，2a＝又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6所以所求的椭圆的标准方程为＝1〔3〕解法一：假设焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＝1〔a＞b＞0〕由A〔，－2〕和B〔－2，1〕两点在椭圆上可得：解之得假设焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＝1〔a＞b＞0〕，同上可解得，不合题意，舍去。故所求的椭圆方程为＝1解法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1〔m＞0，n＞0且m≠n〕。由A〔，－2〕和B〔－2，1〕两点在椭圆上可得即，解得故所求的椭圆方程为＝1点评：〔1〕求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a、b。〔2〕第〔3〕小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx2＋ny2＝1〔m＞0，n＞0〕，不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？［例2］B、C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图。如下图，由△ABC的周长等于16，|BC|＝6可知，点A到B、C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图。解析：如下图，建立坐标系，使x轴经过点B、Ｃ，原点Ｏ与BC的中点重合。由|AB|＋|AC|＋|BC|＝16，|BC|＝6，有|AB|＋|AC|＝10，即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c＝6，2a＝10，∴c＝3，a＝5，b2＝52－32＝16。由于点A在直线BC上时，即y＝0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是＝1〔y≠0〕。点评：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用，另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明。［例3］一动圆与圆O1：〔x＋3〕2＋y2＝1外切，与圆O2：〔x－3〕2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程。分析：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件。解析：两定圆的圆心和半径分别为O1〔－3，0〕，r1＝1；O2〔3，0〕，r2＝9设动圆圆心为M〔x，y〕，半径为R，那么由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R∴|MO1|＋|MO2|＝10由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3。∴b2＝a2－c2＝25－9＝16故动圆圆心的轨迹方程为＝1。点评：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R，运用椭圆定义是解决此题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。［例4］P是椭圆＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积。分析：如下图，∠P＝30°，要求△PF1F2的面积，如用|F1F2|·|yP|，因为求P点坐标较繁，所以用S△＝|PF1|·|PF2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF1|·|PF2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积。解析：由方程＝1，得a＝5，b＝4，∴c＝3，∴|F1F2|＝2c＝6|PF1|＋|PF2|＝2a＝10∵∠F1PF2＝30°在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°即62＝|PF1|2＋2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－·|PF1|·|PF2|〔2＋〕|PF1|·|PF2|＝〔|PF1|＋|PF2|〕2－36＝100－36＝64，∴|PF1|·|PF2|＝＝64〔2－〕∴＝|PF1|·|PF2|·sin30°＝·64〔2－〕·＝16〔2－〕［例5］椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于P、Q两点，假设|PQ|＝2，且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为，求椭圆方程。分析：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a、b之值即可解析：由得〔a＋b〕x2－2bx＋b－1＝0设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，那么x1＋x2＝，x1x2＝∴|PQ|＝·＝∴＝a＋b①又PQ的中点C〔，1－〕，即C〔，〕∴kOC＝②由①②得a＝，b＝∴所求椭圆方程为＝1［例6］中心在原点的椭圆C的一个焦点是F〔0，〕，又这个椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标是，求该椭圆方程。分析：此题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法〞。解析：据题意，此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆，设其方程为＝1〔a＞b＞0〕设直线l与椭圆C的交点分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么有：＝1，两式相减得：＝0∴即3＝∴a2＝3b2①又因为椭圆焦点为F〔0，〕∴c＝那么a2－b2＝50②由①②解得：a2＝75，b2＝25∴该椭圆方程为＝1［例7］设P是椭圆〔a＞b＞0〕上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2=90°，求证：椭圆的离心率e≥证明：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a①在Rt△F1PF2中，由①2，得∴|PF1|·|PF2|=2〔a2－c2〕②由①和②，据韦达定理逆定理，知|PF1|·|PF2|是方程z2－3az+2〔a2－c2〕=0的两根，那么△=4a2－8〔a2－c2〕≥0，∴〔〕2≥，即e≥选择题：1、到x轴和到y轴的距离之比等于2的点的轨迹方程是〔〕A．y=2xB.y=2|x|C.|y|=2|x|D.|x|=2|y|2、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，那么此椭圆的离心率e等于〔〕A．B.C.D.3、椭圆的两个焦点是和，一条准线方程是，那么此椭圆方程是〔〕A．B.C.D.4、直线x=2被椭圆截得弦长等于，那么的值是〔〕A．B.8C.10D.5、方程y=|x|和对应的两曲线围成的图形的面积等于〔〕A．B.C.D.6、椭圆的一个焦点是〔-2，0〕，那么a等于〔〕A．B.C.D.7、在直角坐标平面上，点集M={〔x,y〕|y=,y0},N={(x,y)|y=x+b},当时，b的取值范围是〔〕A．B.C.D.填空题：1、由椭圆的四个顶点组成的菱形的高等于：。2、不管k为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x轴的椭圆总有公共点，那么的取值范围是：。3、与椭圆轴长为2的椭圆方程是：。解答题：求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过P〔4，〕，Q〔〕两点的椭圆方程。圆C与直线3x–4y–11=0及x轴都相切并且经过点M〔6，2〕，求圆C的方程。经过点A〔2，4〕的直线l,被圆截得弦长为，求直线l的方程。椭圆和抛物线有四个不同的交点。〔1〕试确定 m的取值范围；〔2〕证明这四个交点都在同一圆上。5、点P在圆上运动，点Q在椭圆上运动，求最大值。6、椭圆内部一点A〔4，〕过A作弦PQ，使A恰为PQ中点，M为椭圆上任一点，求的最大值。7、P、Q为椭圆上两点，O为原点，，求证：参考答案选择题：1、〔C〕2、〔A〕3、〔D〕4、〔B〕5、〔C〕6、〔B〕7、〔B〕填空题：1：2：。3、解答题：1解：设椭圆方程为，将P，Q两点坐标代入，解得故为所求。2解：设圆C方程为，由|b|=r,,解得a=2,b=r=5或a=-2,b=r=17故为所求。3解：设圆心，半径r=4.，弦长为，弦心距，设由，解得故为所求。4、解：代入，得=1\*GB3①，由椭圆与抛物线有四个交点知，关于的方程有两相异正根。解不等式组得，由两曲线方程可得故四交点共圆。5、解：圆心A〔0，2〕Q〔，〕∴6、解：中点弦公式∴：设M〔，〕∴∴7、解：P〔，〕Q〔，〕∴∴即∴课后作业1.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.〔0，＋∞〕B.〔0，2〕C.〔1，＋∞〕D.〔0，1〕2.椭圆＝1，F1、F2分别为它的两焦点，过F1的焦点弦CD与x轴成α角〔0＜α＜π＝，那么△F2CD的周长为A.10B.12C.20D.不能确定3.椭圆＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A.±B.±C.±D.±4.设椭圆＝1的两焦点分别是F1和F2，P为椭圆上一点，并且PF1⊥PF2，那么||PF1|－|PF2||等于A.6B.2C.D.5.直线y＝x与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，那么|AB|等于A.2B.C.D.6.点P是椭圆＝1上一点，F1、F2是其焦点，且∠F1PF2＝60°，那么△F1PF2的面积为___________。7.△ABC的两顶点B〔－8，0〕，C〔8，0〕，AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30，那么顶点A的轨迹方程为___________。8.F1、F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，那么M点的轨迹是___________。9.以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P〔，－4〕和Q〔－，3〕，那么此椭圆的方程是___________。10.在椭圆＝1内，过点〔2，1〕且被这点平分的弦所在的直线方程是___________。11.△ABC的两个顶点坐标分别是B〔0，6〕和C〔0，－6〕，另两边AB、AC的斜率的乘积是－，求顶点A的轨迹方程。12.在面积为1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程。[参考答案]1.解析：将方程x2＋ky2＝2化为椭圆的标准方程为＝1，又焦点在y轴上，∴>2，解之得00，n>0，m≠n〕，把P〔，－4〕，Q〔－，3〕代入得解得m＝1，n＝，故椭圆方程为x2＋＝1。10.解析：设弦的两端点分别为A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，那么有＝1，＝1两式相减得∴即弦所在直线的斜率为－，又弦过〔2，1〕点，故弦所在直线的方程是x＋2y－4＝011.解：设顶点A的坐标为〔x，y〕，由题意得：∴顶点A的轨迹方程为：＝1〔y≠±6〕12.解：以直线MN为x轴，以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如下图。设所求椭圆方程为＝1〔a>b>0〕，分别记M、N、P点的坐标为〔－c，0〕、〔c，0〕和〔x0，y0〕∵tanα＝tan〔π－∠N〕＝2∴由题设知解得即P在△MNP中，|MN|＝2c，MN上的高为，∴S△MNP＝＝1，解得c＝即P〔〕，由此得|PM|＝，|PN|＝∴a＝〔|PM|＋|PN|〕＝，从而b2＝a2－c2＝3故所求的椭圆方程为＝1
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