数学建模排队论模型

(数学建模)排队论模型排队论模型一、排队论的基本概念二、单通道等待制排队问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （M／M／1排队系统）三、多通道等待制排队问题（M／M／c排队系统）一、排队论的基本概念（一）排队过程1.排队系统“排队”是指在服务机构处要求服务对象的一个等待队列，而“排队论”则是研究各种排队现象的理论。在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可能要等待到可以利用服务台的时候为止。排队系统队列除了有形的还有无形的。排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词可以从不同的角度去理解。排队系统顾客服务台上、下班的工人乘公共汽车工人公共汽车病人到医院看病病人医生高炮击退敌机敌机高炮机器发生故障需要维修机器修理工在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此，系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系统。各式各样的排队现象呈现的基本特征：排队系统由输入过程、排队 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 及服务机构三部分组成。(1)输入过程输入过程就是顾客按怎样的规律到达，它首先应包括顾客总体数，是有限的还是无限的；其次应说明顾客到达的方式，是成批到达(每批数量是随机的还是确定性的)还是单个到达；最后应说明相继到达的顾客(或批或单个)之间的时间间隔的分布是什么。排队规则是指到达的顾客以怎样的规则接受服务。1）损失制：顾客到达，服务台不空立即离去，另求服务。2）等待制：顾客到达，排队等待。对等待制服务可分为：先到先服务，后到先服务，优先服务，随机服务，成批服务等。3）混合制：在现实生活中，很多服务系统介于损失制和等待制之间，当顾客到达时，服务台不空就排队，若排队的位置已满就离去。(2)排队规则服务机构主要指服务台的数目，多个服务台进行服务时，服务方式是并联还是串联；服务时间服从什么分布等。(3)服务机构引进了排队模型分类符号，现已广泛采用，这里仅针对并列的服务台。记X：顾客到达的时间间隔分布；Y：服务时间的分布；Z：服务台数。则排队模型：X／Y／Z。常用的记号：M——负指数分布；D——确定型；Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布；GI——一般相互独立的随机分布，G——一般随机分布。这里主要讨论M／M／1，M／M／C。（二）排队模型的分类及数量指标(1)队长队长是指系统中的顾客数(包括排队等候和正在接受服务的顾客数)；等待队长是指系统中等待服务的顾客数。无论是队长还是等待队长，都是顾客和服务机构最关心的数量指标，特别是对系统 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 者来说，尤为重要，因为它涉及到系统等待空间的大小。逗留时间是指一顾客从进入系统起一直到接受服务后离开系统为止所花费的时间；等待时间是指一顾客从进入系统起到接受服务时所花费的时间。显然，一个顾客的逗留时间等于其等待时间与接受服务的时间之和。逗留时间与等待时间对顾客来说是最关心的，因为每个顾客都希望自己用于排队等待的时间愈短愈好。(2)逗留时间忙期是指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲为止的这段时间，即服务机构连续繁忙的时间长度。这是服务机构最关心的数量指标，因为它直接关系到服务员的工作强度，与忙期相对应的是闲期，即为服务机构连续保持空闲的时间长度。显然，在排队系统中，忙期与闲期是交错出现的。(3)忙期Poisson过程记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。（三）Poisson流与指数分布最简单流应具有以下特征称(1)流具有平衡性对任何和,的分布只取决于而与无关。(2)流具有无后效性对互不交接的时间区间序列，是一组相互独立的随机变量。(3)流具有普通性即在时间内，事件发生多于1次的概率为。定理1设是最简单流，则对任何和都有我们把满足这一分布规律的随机过程称为Poisson过程，最简单流亦称Poisson流，特别取得故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。2.Poisson流的发生时间间隔分布当流(过程)构成Poisson过程时，就称为Poisson流。设流发生的时刻依次为,…，发生的时间间隔记为，其中。定理2事件流为Poisson流的充要条件是的流发生时间间隔相互独立，且服从相同的负指数分布，即Markov特性定理3设T为连续型随机变量，且T≥0，那么，T服从负指数分布的充要条件是：对任何，都有上式可改写为：对任何，都有如果把T解释为寿命，上式表明：如果已知年龄大于岁，则再活x年的概率与以前的(年)无关，所以有时又风趣地称指数分布是“永远年轻”。上面两式表明连续型随机变量T的Markov特性当且仅当非负随机变量服从负指数分布时才具有。例1设某一服务系统的输入流是Poisson流，平均每3分钟进入5名顾客，试计算：(1)12分钟内进入15名顾客的概率；(2)输入时间间隔大于1分钟的概率。解(1)由于，在［0，t］内进入k名顾客的概率于是12分钟内进入15名顾客的概率(2)由于输入时间间隔τ服从参数为λ的指数分布则所求概率为对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服务台的情形，即M／M／1排队系统。（一）标准模型即为M／M／1／∞排队系统。所谓标准模型，就是顾客的输入流是参数为λ的Poisson流，每个顾客的服务时间是相互独立的且服从参数为μ的负指数分布，单个服务台且系统的容量无限(排队模型分类第四个表示系统中允许的最大顾客数)。二、单通道等待制排队问题（M／M／1排队系统）Markov特性考虑随机过程，其中为时刻时排队系统中的顾客数。对于任何条件概率由于输入为Poisson流，服务时间服从负指数分布，则无论在处取何值，上式条件概率仅依赖于的值和区间的长度，即直观地说，如果知道现在时刻时系统的顾客数状况，那么从概率意义上来说，将来时刻时系统的顾客数状况，与过去时刻时顾客数的状况无关。这个特性就是随机过程的Markov特性。我们把系统在某一时刻的顾客数看做系统在这个时刻的状态。根据系统状态的Markov特性，容易研究在时间区间内系统状态的转移概率，为研究系统在任一时刻的状态分布提供工具。记时刻t系统处于状态n的概率利用M／M／1／∞对输入与服务时间分布的假设，在时间区间内，新进入或离开顾客个数有以下结果：内没有顾客进入内新进入一名顾客内多于一名顾客进入内没有顾客离开内有一名顾客离开内多于一名顾客离开2.排队系统的稳态解当时有导出满足的微分方程组故满足的微分方程组对对于系统的稳定状态情形，与t无关，故，记，从而有对于上述差分方程，利用归纳法不难求得记为排队系统的来往强度，当时，由可得由于构成概率分布，则，从而级数必须收敛，故有。M／M／1／∞系统的数量指标(1)稳定状态下系统中顾客数的数学期望的定义为被称为系统中顾客的平均数，简称平均队长。稳定状态下系统中等待服务顾客数的数学期望，简称平均等待队长。(2)顾客在系统中的平均逗留时间则顾客在系统中的平均等待时间可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为μ-λ的负指数分布。与是衡量排队系统质量的很重要的效率度量，它们之间有着有趣的联系：上式称为Little 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。对M／M／1／∞排队系统，它有着明显的直观意义：从平均意义来说，表明系统中的顾客数，等于一个顾客在系统时间内来到的新的顾客数；表明系统中处于等待状态的顾客数，等于一个顾客的等待时间内来到的新顾客数。Little公式(3)稳定状态下忙期的数学期望由此可见，一个忙期中所服务顾客的平均数为忙忙例2（病人候诊问题）某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊病时间服从负指数分布，试 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 该科室的工作状况，如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位?如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元?如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊6人，单位每天可减少损失多少?可减少多少座位?解：由题意可知，则该科室平均有病人数(人)该科室平均等待的病人数（人)看一次病平均所需的时间（小时)看一次病平均所需的等待时间(小时)医生的忙期(小时)一个忙期中平均看病人数(人)忙忙为了满足99%以上的病人有座，设科室应设m个座位，即：P｛医务室病人数≤m｝≥0.99故该设20个座位。该单位24小时上班，平均每天有4×24＝96人看病，看病所占的总时间为1×96＝96小时，所以因看病平均每天损失30×96＝2880(元)。若医生诊病速度提高到每小时6人，即μ＝6、＝2／3，类似于上面的计算，有以下结果：（人），（人）(小时)，（小时)这样单位每天损失：30×0.5×96＝1440（元），比原来减少1440元，此时只需座位：即11个座位，比原来减少9个座位。（二）系统容量有限的模型即为M／M／1／N排队系统。考虑排队系统的容量为N，即若系统已有N个顾客，则再来新顾客即被拒绝进入系统。对于n＝N，与M／M／1／∞相类似，，有对于n＝N，即满足微分方程在稳态情况下，，，则则由，可得系统的各项指标由于有容量的限制，顾客实际进入系统的速率不是λ，而是(有效到达率)，因而Little公式成立：三、多通道等待制排队问题（M／M／c排队系统）多通道就是多服务台，这里主要讨论M／M／c／∞排队系统问题，即输入、输出与M／M／1／∞相同，这里有c个相互独立工作，且服务速率相同的服务台，这时整个系统的服务能力为cμ。当时，系统有稳定解系统指标因而Little公式成立：例3某火车站售票处有三个窗口，顾客的到达服从Poisson分布，平均每分钟0.9人到达，服务时间服从负指数分布，每个窗口每分钟可售票0.4人，现假设排成一队，依次向空闲的窗口购票，试分析该排队系统；若排成三队，与前面的情形比较。解假设排成一队(如图)，由题意可知：c＝3，λ＝0.9，μ＝0.4，则，即整个售票处空闲的概率为0.0743。图7-2假设排成一队示意图平均等待队长：＝1.7(人)；平均队长：L＝3.95(人)；平均等待时间：＝1.89（分钟)；平均逗留时间：ω＝4.39(分钟)。假设排成三队，即3个M／M／1／∞排队系统。如图假设排成三队示意图。μ＝0.4，λ＝0.3则整个售票处空闲的概率整个系统的平均等待队长：3×＝6.75(人)整个系统的平均队长：3×L＝9(人)平均逗留时间：ω＝10(分钟)平均等待时间：＝7.5(分钟)从顾客及服务效率来说排成一队优于排成三队。