函数的基本性质函数的最大（小）值复习引入问题1某些事物的发展或者衰落可以用函数的单调性来刻画，那由盛转衰的转折点在数学中如何刻画呢？类比上一环节探究单调性的路径，设计用数学语言刻画“转折点”的蓝图．问题1 观察图中的三个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？图象的共同特征是它们都有最高点．问题导入问题2 以函数f（x）＝－x2＋1为例，如图所示，该函数的图象有一个最高点（0，1），你能用函数的观点描述该点满足的性质吗？结论：当一个函数f（x）的图象有最高点时，最高点的纵坐标就是函数f（x）的最大值.新知探究从图象上看，其它点的纵坐标都不超过该点的纵坐标；从函数要素的角度看，该函数所有的函数值都不大于该处的函数值.问题3 你能用符号语言刻画函数f（x）＝－x2＋1的最大值吗？（1）∀x∈R，都有f（x）≤1；（2）1是值域中的元素，即存在自变量0，使得f（0）＝1．新知探究追问1 你能用符号语言刻画函数f（x）的最大值吗？设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x∈I，都有f（x）≤M；（2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M．那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值．新知探究追问2 你能用符号语言刻画函数f（x）的最小值吗？设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x∈I，都有f（x）≥m；（2）∃x0∈I，使得f（x0）＝m．那么，我们称m是函数y＝f（x）的最大值．例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距底面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距底面的高度是多少（精确到1m）？新知探究解：画出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图)．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．由二次函数的知识，对于函数，我们有：当t＝＝1.5时，于是，烟花冲出去1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m．函数有最大值追问1 有同学计算f（2）＝2，f（6）＝0.4，f（2）＞f（6），则最大值是2，最小值是0.4，你能说说这个做法有什么问题吗？答：f（2）＞f（6），这个式子只说明x＝2时的函数值比x＝6时的函数值大，并不能说明它与区间（2，6）上的其它函数值的大小关系，没有验证最大值定义中的第一条．例2 已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．新知探究追问2 为了解决上述解法中的问题，你认为应该借助函数的什么性质研究最大（小）值？答：要说明f（2）与f（x）（∀x1，x2∈（2，6））的大小关系，我们只要将两者作差判断符号即可．更一般地，对于∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，都可以判断f（x1）－f（x2）的符号，本质上就是先确当函数的单调性，弄清楚这个函数在区间[2，6]上的增减情况才能把握在哪里取到最大（小）值．新知探究追问3 如何确定该函数的单调性？答：图象法探路，先描点画图，再用单调性定义证明．然后用软件绘制函数f（x）＝ （x∈[2，6]）的图象（如图），可知函数f（x）＝ 在[2，6]上单调递减；新知探究例2 已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．解：∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，（x1－1）（x2－1）＞0，于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．则f（x1）－f（x2）新知探究在x＝6时取得最小值，最小值是0.4．解：所以，函数f（x）＝在区间[2，6]上单调递增．因此，函数f（x）＝在x＝2时取得最大值，最大值是2；例2 已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．新知探究问题4 本节课我们主要学习了函数的最大（小）值，什么是函数的最大（小）值？你能说说求解函数的最大（小）值需要注意什么吗？如果存在实数M满足：（1）∀x∈I，都有f（x）≤M；（2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M，那么就称M是函数y＝f（x）的最大值．归纳小结答：如果存在实数m满足：（1）∀x∈I，都有f（x）≥m；（2）∃x0∈I，使得f（x0）＝m，那么就称m是函数y＝f（x）的最小值．因为最大（小）值是函数的整体性质，所以必须先确定函数在整个定义域上的单调性，才能求解最大（小）值．问题4 本节课我们主要学习了函数的最大（小）值，什么是函数的最大（小）值？你能说说求解函数的最大（小）值需要注意什么吗？归纳小结谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！
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