1.3勾股定理的应用学习目标1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径”的问题。树立转化思想。2、会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。回顾与思考1.∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则∆ABC的面积为 . 如何判断一个三角形为直角三角形的方法是： .较短的两边平方和等于最长边的平方1202.两点之间 最短.线段BA蚂蚁怎么走最近？在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？问题情境BA以小组为单位，研究蚂蚁爬行的最短路线合作探究
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(1)方案(2)方案(3)方案(4)蚂蚁A→B的路线BAA’dABA’ABBAOABA’BAA’O怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，侧面展开图=122+929cm12cm=225=152所以蚂蚁爬行的最短路程是沿圆柱侧面爬行，距离是15cm.∴AB=15圆柱(锥)中的最值问题例1、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的
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面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？做一做李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？做一做∴AD和AB垂直.解：（2）知2－讲例2如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,试求滑道AC的长.解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,AE的长度为（x－1）m,在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2,解得x=5.故滑道AC的长度为5m.（来自
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）做一做．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得:BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。应用勾股定理解决实际问题的一般思路：方程思想是解决数学问题常用的重要思想1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。感悟与收获如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB拓展1AB101010BCA正方体中的最值问题例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B）√5（C）2（D）1AB分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB拓展2分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右面;(3)经过左面和上底面.AB23AB1C321BCA321BCA(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为解:AB23AB1CAB＝＝＝(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为AB321BCAAB＝＝＝(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为ABAB＝＝＝321BCA例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1①421AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412AC1=√52+22=√29.长方体中的最值问题做一做、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？201015BCA分析根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①②),由勾股定理可求得图1中AB最短.①BA2010155AB=√202+152=√625BAB=√102+252=√725②A2010155例5、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC531512台阶中的最值问题∵AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13.数学思想平面图形转化展开(2)实际问题转化建模数学问题(1)立体图形作业：1、习题1.434题。2、课堂精练对应练习。谢谢
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