平面直角坐标系与极直角坐标系

二、图形与位置1．介绍两种确定位置方法的数学原理目前，教材中有两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，它们都是平面上确定位置的方法。如上图，平面直角坐标系有一个坐标原点O，然后是横轴、纵轴。在这样的情况下，一个点对应着横坐标和纵坐标，如图中的P（2，2）。我们常说的几行几列就是直角坐标。极坐标系，首先也有一个原点O，然后是极轴。对于点P，就用OP的长度（极径）及OP相对于极轴的角度（极角）来刻画，如P（3，600）。我们常说的距离方向就是极坐标。两种刻画位置的方法，既有不同点，又有一些相同点：都要有原点；都要用两个要素来刻画，这两个要素可以是两个长度，也可以是一个长度、一个角度。为什么会有不同种确定位置的方式呢，我想更多是由于实际应用的缘故。可能在有些地方用直角坐标刻画位置会更方便一些，有些地方用极坐来刻画会更好。记得看过一个有趣的例子，在海上如何刻画船只的位置，有一个方法是用相邻两个了望台观察到的船只的角度，就是从这个了望台看船只可能是30度，从那边呢可能是60度，这两条弧线有个交点，就是船只的位置。有了上面的学习，我们再来看看前面提到的学生前测中的做法，你会发现学生的做法都是很有道理的。我们来分析一下学生的几种做法：虽然做法（1）、（2）是用文字刻画位置，（3）、（4）是用图来刻画位置，但4种做法都对应着直角坐标的思想，它们都表明学生已经意识到需要用两个要素来刻画平面上的位置。进一步，做法（2）和做法（4）还标明了参照物，当然参照物不同刻画的结果就不同。而做法（5）则对应了极坐标的初步思想。所以，老师们可以看到，学生们在没学之前都有了非常好的原始经验，关键我们老师如何去利用。我想，一个好的做法应该强调建立联系，建立学生原始想法和数学方法之间的一种联系。教学中，可以先把同一做法内部的不同表示形式建立联系，比如说都用文字表述的方式，我们来比一比有什么相同的地方，学生会发现尽管有说排的、列的、组的……，但都是用两个因素来刻画位置，如果再说明以谁为参照物，位置就确定下来了。然后，就是在所有的方法之间建立联系，比如数和形之间的对应。最后，再引申到数学上确定位置的方法。 2．学习这部分内容的价值前面已经提到过，有的老师提出对于确定位置的内容，科学课、社会课都有，为什么数学课还要学习。对于这个问题的回答，我们不妨首先看一下对孙晓天老师的采访。孙晓天老师是我们国家义务教育课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的负责人之一，同时也是小学数学实验教材评审组的组长。他长期关注中小学数学课程，他的发言会对我们有不少启发。孙老师的采访：关于位置和定位的问题，确实很多课里边都有，生活课里边有，讲自然，讲地理的时候肯定也有，但教育没有很明确的界限，说生活课里边讲了东南西北，数学里边就不能讲了，我想数学自然有数学的角度。第一学段的内容，还是带有生活的味道，但是如果仅仅告诉常识我们就打住了，这个确实可以不在数学里讲了。在数学里边，常识是定位的起点，下面就一定要表示，这马上就变成数学的内容了。数学有好几种办法，一个是可以用直角坐标，另外一个可以用方向、距离，这些别的学科没有。另外，位置定位的问题，是培养学生空间观念的一个重要载体，我仅仅告诉你在中关村南大街第二个路口左侧的红绿灯底下，你怎么就能找到我呢，实际你脑子里在过滤一个地图，是在模拟你怎么往那边走，这个过程就是一个空间想象的过程，这个就是一种能力，而生活课的教学、自然课的教学是不管这个能力的。小学的教育无疑要为 初中 初中体育教案免费下载初中各年级劳动技术教案初中阶段各学科核心素养一览表初中二次函数知识点汇总初中化学新课程标准 、高中的教育做准备，学生以后要学习坐标系，坐标系肯定是数学的内容了，现在我们讲的确定位置，实际就是坐标系的萌芽，现在我们一点一点的积淀，到真正的笛卡儿坐标系出现的时候，就变成一个顺理成章的过程了。那随着以后，我们还要有极坐标系，还有其他形形色色的坐标系，那么所有这些坐标系，其实都是建立在我们小学关于方向，关于位置认识的基础之上的，而这个责任，生活和自然课或者说其他的课程，完全承载不起来。实际上，如果把确定位置看成一个起点的话，就是科学课里边讲了，数学该讲也还要讲，所以一方面是可以重复的，另一方面，数学是有自己的认知和教学的体系的。我想至少不要认为，别人讲了我就不用讲了。你去听听别人怎么讲，你再看看你讲的这个和别人一样不一样，就会认识到这个事情的重要。我想确定位置是这样，类似像平移、旋转、轴对称，这样一些跟变换有关的内容，也是如此。美术课这几样玩的最花哨，但角度不一样，我们现在是从直观的角度，我们的目的是以后逐渐地要把它抽象起来，要把它形式地表示出来。和美术等其他课程之间的相通，恰恰说明了数学的作用，其实无论多少漂亮的图形，归根到底都是数学里边的平移、旋转、轴对称组合出来的，其实让学生认识到这一点，完全是积极的。在小学阶段，关于这几个对象的认识，都是从直观的角度，都是从把握空间的高度，大家认识到这一点，就不会产生重复啦，多余啦，太难啦等疑问了。听完了上面的一段采访，我觉得有两点很有启发。第一，数学跟其他学科，在学习图形与位置上的不同，就是数学的表达。你在其他的学科也会学习确定位置，但是要把它用数学的语言表达下来，就需要学习数学了。另外，数学还要思考背后的道理是什么，为什么用数对就能刻划平面上点的位置。实际上就牵涉到对维数的一种认识。教师可以设计一些活动，使学生体会到，如果在一条直线上确定位置，比如说在小组一排中确定位置，告诉我从哪开始数，只要1个数就可以了；那么在平面上就要用2个数，即数对。比如电影院里，上面有一层、下面有一层，就要用3个数来刻画了。当然，确定位置的内容也是发展学生空间观念的良好素材。第二，千万不要认为，一个内容在某些学科学过就不用再学了，关键是找寻各个学科对一个内容的不同的刻画角度，这样就便于学生养成从多种角度来观察事物的习惯。 3．教学建议（1）重视探索如何确定位置的过程对于这部分内容的教学，教师应鼓励学生在具体的情境中，探索如何来描述物体或图形的位置，探索刻画位置需要哪些要素。看下面的一个教学中的例子，教师在学生学习确定位置之前，设置了丰富的情境：l       说一说剧院、教室是如何确定观众和学生的位置的。l     城区的地图经常有小方格在上面，以便于我们确定位置，如汽车站在（E，7）小方格里。l     在地图上确定某地的位置需要知道它的经度和纬度。在此基础上，教师介绍了17世纪一个叫笛卡尔的法国人用同样的想法来确定点的位置，以及直角坐标确定位置的方法。这个 案例 全员育人导师制案例信息技术应用案例心得信息技术教学案例综合实践活动案例我余额宝案例 提供了丰富的情境，针对这些现实问题的讨论，学生将感受确定位置在生活中的重要性，体会数学对确定位置的作用，并抽象出不同确定位置方式的共同特征。 （2）注重从具体情境中抽象出坐标的过程教学中还应重视从具体情境中抽象出坐标的过程。前一阵也听到过这样的一节课，老师就比较重视这一过程。教学最开始呈现的是一个教室的场景，确定教室里一个同学的位置；然后，教师利用 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 将每个同学抽象成点；接着在点上套上方格，就体现了一个抽象的过程。 （3）淡化非本质的对“行列”的讨论最后想要的一点是，在教学中不要在一些非本质的内容上下太大的功夫，比如行和列，有的老师说横为行，有的老师说竖为行，还有的老师用组等名称，对于这些，千万不要纠缠，实际上就是一个规定，有了规定以后大家表达起来就统一了。建议老师，不妨在教学的开始就把这些“障碍“扫清，向学生说明为了交流方便，统一把这一行当成第一行……这个当成第一列……评价中更不能用这些去考学生。