PAGE\*MERGEFORMAT1高中数学（理科）常用
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及结论班级：姓名：第一章集合与逻辑1.包含关系2．集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.3.充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p4.充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，命
题
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p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若p＝q，则p是q的充要条件.(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.5.含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题p∨q为真命题，p，q同时为假命题时，命题p∨q为假命题，简记为：一真则真，同假则假.(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题p∧q为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真.(3)命题p：与命题p真假相反.6.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题语言
表
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示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)第二章函数与导数7.函数的单调性（1）设那么上是增函数；上是减函数.(2)设那么上是增函数；上是减函数.（3）设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.原函数图象只看升降判增减；导函数图象只看上下定正负8.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.9．奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反之，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．10.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.11.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与的图象关于直线对称.12.若,则函数的图象关于点对称;13.若,则函数为周期为的周期函数.14.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数的图象关于直线对称.15.几个常见的函数方程(1)正比例函数(2)指数函数(3)对数函数(4)幂函数,(5)余弦函数,(6)正弦函数16.几个函数方程的周期(约定a>0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；17.分数指数幂(1)（，且）.(2)（，且）.18．根式的性质：（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.19.指数式与对数式的互化式.20.对数的换底公式(,且,,且,).推论(,且,,且,,).21．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1);(2);(3).22.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.23.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；y＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；当0
0时，有.或.62.指数不等式与对数不等式(1)当时：;.(2)当时：;第七章立体几何63．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a⊂α,l⊄α))⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l⊂β,α∩β＝b))⇒l∥b64.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a⊂α,b⊂α))⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b65.直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b66.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α67.平行、垂直关系的转化示意图68.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．三点共线.、共线且不共线且不共线.69.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.70.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.71.空间向量的直角坐标运算：设a＝，b＝则（1）a＋b＝；（2）a－b＝；（3）λa＝(λ∈R)；（4）a·b＝；72.设A，B，则=.73．空间的线线平行或垂直：设，，则；.74.用空间向量证明平行、垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3).则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.75.夹角公式设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.76.用向量求空间角(1)直线l1，l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量).(2)直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量).[来源:学科网](3)平面α，β的夹角θ满足cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，则二面角α－l－β的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量).77.（1）空间两点间的距离公式：若A，B，则=.（2）异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).（3）点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.78.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.79．柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图表面积体积直棱柱长方形S＝2S底＋S侧[来源:Zxxk.Com]V＝S底·h圆柱[来源:学科网ZXXK]长方形S＝2πr2＋2πrlV＝πr2·l棱锥由若干个三角形构成S＝S底＋S侧V＝S底·h圆锥扇形S＝πr2＋πrlV＝πr2·h棱台由若干个梯形构成S＝S上底＋S下底＋S侧V＝(S＋＋S′)·h圆台扇环S＝πr′2＋π(r＋r′)l＋πr2[来源:学科网]V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h球S＝4πr2V＝πr3第八章平面解析几何80.斜率公式（、）.81.直线的五种方程（1）点斜式(直线过点，且斜率为)．（2）斜截式(b为直线在y轴上的截距).（3）两点式()(、()).(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式(其中A、B不同时为0).82.两条直线的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,①；②；83．常用直线系方程(1)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．(2)垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．84.点到直线的距离(点,直线：).85.圆的方程（1）圆的
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方程.（2）圆的一般方程(＞0).（3）圆的参数方程.即三角换元86.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.87.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;;.其中.88.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;;;;.89.圆的切线方程(1)已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆．①过圆上的点的切线方程为;②斜率为的圆的切线方程为.90．椭圆的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．91.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a；－b≤y≤b－b≤x≤b；－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系a2＝b2＋c292.椭圆的切线方程（1）椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是93.双曲线的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.94.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)95.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.96.双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是97..抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．98.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径x0＋eq\f(p,2)－x0＋eq\f(p,2)y0＋eq\f(p,2)－y0＋eq\f(p,2)通径长2p99.抛物线的焦半径公式抛物线焦半径.过焦点弦长.抛物线上的动点可设为P或P，其中.100.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(k为直线斜率)．第九章概率与统计101.抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样.(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为.(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量.102.统计中四个数据特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.(2)中位数：在样本数据中，将数据按从大到小(或从小到大)排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn).[来源:学科网ZXXK](4)方差与标准差方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].标准差：s＝.103.线性回归(1)线性回归方程一定过样本点的中心(，)，其中(2)相关系数r具有如下性质：①|r|≤1；②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越高；③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱.104.独立性检验：利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大.105.概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式：P(A)＝.(2)互斥事件的概率计算公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(3)对立事件的概率计算公式：P()＝1－P(A).(4)几何概型的概率计算公式P(A)＝.(5)条件概率公式：P(B|A)＝.106.分类计数原理（加法原理）：N＝m1＋m2＋…＋mn.分步计数原理（乘法原理）：N＝m1×m2×…×mn107.排列数公式：==.(，∈N*，且)．注:
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关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
.108.组合数公式：===(∈N*，，且).109.组合数的性质(1)=(2)+=.注:规定.(3).(4).(5).110.排列数与组合数的关系：.111.二项式定理112.二项展开式的通项公式：.113.离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)期望公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)期望的性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p.(4)方差公式：D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.(5)方差的性质①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).(6)独立事件同时发生的概率计算公式：P(AB)＝P(A)P(B).(7)独立重复试验的概率计算公式：P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.114.正态分布密度函数：，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.115.正态分布：:若随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是①P(μ－σ
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